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Rango con parámetros: cuatro retos para justificar casos 2027
Estudia el rango con parámetros en cuatro retos originales, justifica los casos y corrige divisiones. Recibe el enlace a la hoja imprimible por email.
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1. Determinante y casos excepcionales
- Modelo y método
- Cuatro retos originales con parámetros reales. No son preguntas oficiales ni una rúbrica. Las filas se escriben entre paréntesis; justifica cada rango con una cota superior y una prueba de que se alcanza. Resuelve antes de consultar.
- Reto 1
- A tiene filas (2, 1, 0), (0, t − 2, 1) y (0, 0, t + 1). Estudia su rango para todo t real. Cuando el determinante se anule, busca un menor de orden dos que permita cerrar el caso.
- Tu respuesta
- Determinante: __________. Valores excepcionales: __________. Menor elegido y valor: __________. Rango en cada caso: __________.
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Preguntas frecuentes
- ¿Puedo llevar este cuaderno al examen de la PAU?
- Depende de tu comunidad y de la materia: algunas facilitan un formulario con el propio examen y otras no permiten ninguno. Mira las instrucciones oficiales de tu convocatoria. La hoja está pensada para estudiar y repasar.
- ¿Qué bloques de Matemáticas II incluye la hoja?
- 5 bloques: 1. determinante y casos excepcionales, 2. la matriz cero también es un caso, 3. rectangular y división peligrosa, soluciones razonadas, comprueba y vuelve a intentarlo.
- ¿Cómo la recibo?
- Dejas tu email y te enviamos un enlace personal. Al abrirlo tienes la hoja completa, lista para imprimir en A4 o guardar como PDF. Es gratis.
1. Determinante y casos excepcionales
- Modelo y método
- Cuatro retos originales con parámetros reales. No son preguntas oficiales ni una rúbrica. Las filas se escriben entre paréntesis; justifica cada rango con una cota superior y una prueba de que se alcanza. Resuelve antes de consultar.
- Reto 1
- A tiene filas (2, 1, 0), (0, t − 2, 1) y (0, 0, t + 1). Estudia su rango para todo t real. Cuando el determinante se anule, busca un menor de orden dos que permita cerrar el caso.
- Tu respuesta
- Determinante: __________. Valores excepcionales: __________. Menor elegido y valor: __________. Rango en cada caso: __________.
2. La matriz cero también es un caso
- Reto 2
- B tiene filas (t, 2t) y (3t, 6t). Su determinante es cero para todo t. Decide cuándo tiene rango cero y cuándo rango uno; justifica ambos casos sin dividir por t antes de separarlos.
- Tu respuesta
- Relación entre filas: __________. Caso t = 0: __________. Caso t ≠ 0 y entrada no nula: __________.
3. Rectangular y división peligrosa
- Reto 3
- C tiene dos filas y tres columnas: (1, t, 2) y (2, 2t, t + 4). Estudia su rango usando el menor de columnas 1 y 3. Comprueba por separado el valor que lo anula.
- Reto 4
- D tiene filas (t, 1) y (0, t). Una persona divide la primera fila por t y concluye que el rango siempre es dos. Explica qué caso ha perdido y escribe la respuesta completa.
- Tu respuesta
- Reto 3, menor y casos: __________. Reto 4, condición de la división: __________. Matriz original en el caso omitido: __________.
Soluciones razonadas
- 1
- A es triangular: det(A) = 2(t − 2)(t + 1). Si t no es 2 ni −1, el rango es 3. En t = 2 y t = −1, el determinante nulo da rango ≤ 2. El menor de filas 1 y 2, columnas 1 y 3, tiene filas (2, 0) y (0, 1): vale 2. Así, el rango es 2 en ambos casos. No basta con escribir determinante cero.
- 2
- La segunda fila es tres veces la primera; por tanto, rango ≤ 1. Para t ≠ 0, la entrada t no es nula y el rango es 1. Para t = 0, todas las entradas son cero y el rango es 0. El determinante nulo no permite elegir entre esos dos rangos por sí solo.
- 3
- El máximo es 2 porque hay dos filas. El menor indicado vale 1·(t + 4) − 2·2 = t. Para t ≠ 0, rango = 2. En t = 0, las filas son (1, 0, 2) y (2, 0, 4): la segunda duplica la primera y esta no es nula; rango = 1. No existe determinante completo de una matriz 2 × 3.
- 4
- Dividir por t exige t ≠ 0. En ese caso det(D) = t² ≠ 0 y el rango es 2. Para t = 0 hay que volver a D: filas (0, 1) y (0, 0), de rango 1. Una transformación válida en un caso no autoriza a extender la conclusión al valor donde no está definida.
Comprueba y vuelve a intentarlo
- Pauta
- ¿Separaste todas las raíces? ¿Probaste tanto el máximo posible como un menor no nulo? ¿Comprobaste la matriz cero? ¿Anotaste la condición antes de dividir? Esta pauta no asigna puntos oficiales.
- Registro
- Reto que repetiré: ______. Caso perdido: ______. Prueba que faltaba: ______. Nueva respuesta sin mirar: ____________________.
- Referencia conceptual
- Consulta la fuente didáctica. Los enunciados, cifras y soluciones de esta hoja son originales.