Matemáticas II Murcia: examen PAU y ejercicio resuelto

En la Región de Murcia la prueba de acceso a la universidad se llama EBAU y la organiza el Distrito Único con la Universidad de Murcia (UMU) como universidad coordinadora y la Universidad Politécnica de Cartagena (UPCT) como coorganizadora. Matemáticas II es la materia de modalidad de la vía de Ciencias y Tecnología (código 306), y se resuelve en 90 minutos sobre 10 puntos con calculadora científica no programable y las tablas estadísticas que el propio examen adjunta.

Un aviso de vigencia antes de seguir: el formato de referencia más reciente es el de 2026. A septiembre de 2026 la Comisión Organizadora todavía no ha publicado la estructura de la PAU 2027, así que lo que viene debajo se apoya en el modelo vigente de 2026 y hay que volver a contrastarlo con el documento oficial en cuanto salga. En cómo es el examen de Matemáticas II en la PAU tienes la ficha general de la prueba; aquí bajamos al examen murciano concreto.

Cómo es el examen: cinco preguntas de 2 puntos

El modelo vigente, idéntico en junio y en julio de 2026, reparte la prueba en cinco preguntas de 2 puntos: las tres primeras obligatorias y las dos últimas con opción.

Pregunta	Bloque	Puntos	Optatividad
1	Álgebra: sistema 3×3 con parámetro	2	No
2	Análisis: optimización con derivadas	2	No
3	Geometría en el espacio: rectas y planos	2	No
4	Análisis: teoremas (4.1) o integrales y áreas (4.2)	2	Sí: 4.1 o 4.2
5	Probabilidad: total y Bayes (5.1) o distribuciones (5.2)	2	Sí: 5.1 o 5.2

Tres reglas que conviene tener interiorizadas antes de entrar:

• En las preguntas 1, 2 y 3 no hay optatividad. Son las tres obligatorias.
• En la 4 y la 5 eliges una de las dos opciones; si respondes las dos, solo se corrige la primera que hayas contestado.
• Análisis aparece dos veces, en las preguntas 2 y 4, y reparte 4 de los 10 puntos: el doble que cualquier otro bloque.

Y así puntúa el criterio oficial, que también es parte del examen:

• Un resultado correcto sin el desarrollo que lo justifica vale 0 puntos en ese apartado. Está escrito literalmente en las observaciones generales de cada convocatoria.
• Los errores simples de cálculo restan entre 0,1 y 0,25 puntos; los importantes o reiterados pueden llevar el apartado entero a 0.
• Se valora el uso correcto del vocabulario y de la notación.
• El criterio reparte puntos por pasos: plantear no es lo mismo que resolver, y comprobar una hipótesis no es lo mismo que concluir. Cada paso se cobra aparte.

Los formatos anteriores ayudan como banco de problemas, pero no para simular el examen. Entre 2021 y 2024 había 8 cuestiones de las que se respondían 4, y en 2025 fueron 4 cuestiones con opción A o B dentro de cada una. Los exámenes reales de todas esas convocatorias están gratis en el archivo de exámenes de selectividad de Murcia, con enlace al PDF original y sus criterios de calificación.

Qué cae de verdad en Murcia

Este es el patrón que sostienen los 12 exámenes reales de 2021 a 2026, ordinaria y extraordinaria de cada año:

• Los cuatro bloques caen todos los años: álgebra, análisis, geometría y probabilidad. Lo que cambia es cuántas preguntas los separan y dónde está la elección.
• La pregunta 1 es siempre un sistema 3×3 con parámetro, planteado desde un enunciado con contexto (una inversión, unas cajas de fruta) y discutido con Rouché-Frobenius. No siempre es un sistema con un valor crítico: a veces el determinante no depende del parámetro y la discusión es corta.
• La pregunta 2 es siempre optimización con una ligadura geométrica, y el primer apartado pide demostrar la función objetivo antes de derivarla. Ese paso tiene puntuación propia.
• La pregunta 3 es siempre geometría del espacio: posición relativa entre recta y plano, distancia, ángulo o la construcción de un plano que cumple condiciones.
• La pregunta 4 ofrece una vía de teoremas de existencia (Rolle o el valor medio de Lagrange) y otra de integrales y áreas. El criterio de junio de 2026 admite indistintamente Rolle o Lagrange.
• La pregunta 5 ofrece probabilidad total más Bayes o distribuciones, y las tablas de la binomial y la normal vienen adjuntas al examen: se usan de verdad.

Para el mapa completo por bloques, con las frecuencias contadas examen a examen, tienes los temas que más caen en Matemáticas II.

Ejercicio resuelto: la pregunta 1 de junio de 2026

El enunciado real de la convocatoria ordinaria de 2026 plantea esto:

Darío y Cayetana están organizando un pequeño negocio y deciden invertir dinero en tres áreas: x miles de euros en publicidad, y miles de euros en materiales y z miles de euros en logística. El reparto depende de un parámetro positivo k. Se sabe que la suma de todo lo invertido es un total de 12 mil euros. Darío propone que la inversión en publicidad más el doble de la inversión en materiales sea igual a la inversión en logística más k. Cayetana quiere que el doble de la inversión en publicidad menos la inversión en materiales más la inversión en logística sea igual a 4 mil euros. a) [0,75 puntos] Plantee un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas que refleje los datos del problema. b) [1,25 puntos] Discuta el sistema. En caso de existir solución única, encuéntrela y exprésela en función de k si es necesario.

Planteamiento

Las incógnitas son las tres cantidades de dinero, así que cada frase del enunciado se traduce por separado:

• «la suma de todo lo invertido es un total de 12 mil euros»: x + y + z = 12.
• «la inversión en publicidad más el doble de la inversión en materiales es igual a la inversión en logística más k»: x + 2y = z + k, es decir, x + 2y − z = k.
• «el doble de la inversión en publicidad menos la inversión en materiales más la inversión en logística es igual a 4 mil euros»: 2x − y + z = 4.

El sistema queda así, con su matriz de coeficientes A:

x + y + z = 12 x + 2y − z = k 2x − y + z = 4

A = [[1, 1, 1], [1, 2, −1], [2, −1, 1]]

Este apartado vale 0,75 de los 2 puntos: más de un tercio de la pregunta se juega en traducir bien, no en calcular.

Discusión: ¿hay solución única?

Con Rouché-Frobenius, la pregunta es si el determinante de A se anula para algún valor de k. Por Sarrus:

|A| = 1·(2·1 − (−1)·(−1)) − 1·(1·1 − (−1)·2) + 1·(1·(−1) − 2·2) = 1 − 3 − 5 = −7

El determinante vale −7 y no depende de k, así que nunca se anula: el rango de A es 3 para cualquier valor del parámetro, coincide con el número de incógnitas y el sistema es compatible determinado para todo k. La justificación de este caso único vale 0,25 puntos.

Aquí está la trampa del ejercicio. Venimos entrenados a buscar el valor crítico que anula el determinante y a discutir dos ramas; en esta convocatoria no hay valor crítico, y quien dé por hecho que «tiene que haber un caso raro» pierde tiempo o se inventa una discusión que no existe. La discusión es corta, pero hay que escribirla.

La solución en función de k

Por la regla de Cramer, cada incógnita es el cociente entre el determinante de la matriz con esa columna sustituida por los términos independientes y el determinante de A:

• det(Aₓ) = −2k, luego x = (−2k)/(−7) = 2k/7.
• det(A_y) = −(k + 28), luego y = (k + 28)/7.
• det(A_z) = 3k − 56, luego z = (56 − 3k)/7.

Comprobación con k = 7: sale x = 2, y = 5 y z = 5. La suma es 12, la segunda ecuación da 2 + 10 = 12 = 5 + 7 y la tercera, 4 − 5 + 5 = 4. Correcto. Ese cálculo en función del parámetro vale 1 punto, la mitad de la pregunta.

Si quieres entrenar la discusión con el caso difícil —el que sí tiene valor crítico—, en matrices y sistemas con parámetro está resuelto paso a paso.

Los otros tipos que repite el modelo de 2026

Con las dos convocatorias de 2026 delante, estos son los ejercicios concretos que salieron en las preguntas restantes:

• P2, optimización (junio 2026): demostrar que el área de un rectángulo inscrito en una circunferencia de radio 10 es f(x) = 100·sen(x)·cos(x) y calcular el ángulo que la maximiza. El máximo cae en x = π/4 radianes, es decir, 45°.
• P3, geometría (junio 2026): plano π: 2x − y + 3z − 5 = 0 y una recta dada en forma continua. Con v·n = 0 la recta no corta el plano, pero eso solo descarta el corte: hay que comprobar además que no está contenida y calcular la distancia. En geometría en el espacio: rectas y planos está el método completo.
• P4.2, integrales (junio 2026): la integral indefinida de 1/(x·(ln x)²) por sustitución, más la primitiva que pasa por el punto (e, 1). En integrales de Matemáticas II: elegir método tienes cómo decidir la técnica en cada caso.
• P5.1, probabilidad (junio 2026): tres máquinas A, B y C que fabrican el 50 %, el 30 % y el 20 % de las piezas, con un 3 %, un 4 % y un 5 % de defectuosas. La probabilidad total de que una pieza sea defectuosa es 0,037; la de que venga de B sabiendo que es defectuosa, 12/37 ≈ 0,324; y la de que no sea defectuosa sabiendo que viene de C, 0,95. El desarrollo completo está en el teorema de Bayes en la PAU.

Practica con la muestra real del curso

No hace falta comprar nada para probar el método. La muestra de Matemáticas II está abierta: tres temas —álgebra, análisis y geometría— explicados como dentro del curso, con su refuerzo corto al final de cada sección. Es el mejor sitio para comprobar si esta forma de trabajar te encaja antes de decidir nada.

Y si lo que quieres es el examen en bruto, el archivo gratuito de la comunidad es el punto de partida honesto: exámenes de selectividad de Murcia.

Si quieres saber por dónde vas ahora mismo, hay un test de nivel de Matemáticas II de diez preguntas con corrección al momento. Y si quieres trabajar los doce exámenes reales con su criterio de corrección delante, la guía está en exámenes resueltos de Matemáticas II de Murcia: cómo usarlos, con el catálogo de qué penaliza más en errores que más penalizan en Matemáticas II de Murcia.

Fuentes oficiales

• Estructura, calendario y matrícula: portal de acceso de la Universidad de Murcia, um.es/web/estudios/acceso. Es la fuente que manda sobre cualquier estimación.
• Exámenes y criterios de calificación: los criterios van dentro del propio PDF de cada examen, en la sección «CRITERIOS DE CALIFICACIÓN». Los de 2024 (ordinaria y extraordinaria) y la extraordinaria de 2026 incorporan además la resolución oficial completa firmada por el coordinador de la materia.
• Ponderaciones y nota de admisión: buscador oficial de la UMU, um.es/web/estudios/utilidades/ponderaciones. En Murcia hay dos universidades, así que conviene mirar la tabla del grado y la universidad que te interesen.

Preguntas frecuentes

¿La EBAU de Murcia y la PAU son lo mismo?

Sí. Es la misma prueba con dos nombres: en Murcia se usa EBAU y el nombre estatal del modelo LOMLOE es PAU. La organiza el Distrito Único de la Región de Murcia, con la UMU como universidad coordinadora y la UPCT como coorganizadora. El examen es único para toda la comunidad.

¿Cuántas preguntas tiene Matemáticas II en Murcia?

Cinco preguntas de 2 puntos en el modelo vigente de 2026. Las preguntas 1, 2 y 3 son obligatorias y las preguntas 4 y 5 ofrecen dos opciones cada una, de las que solo se corrige la primera que respondas. En formatos anteriores el examen tenía 8 cuestiones (2021-2024) o 4 cuestiones con opción A/B (2025).

¿Se puede usar calculadora programable en el examen de Murcia?

No. Las instrucciones del examen solo permiten calculadora científica no programable y prohíben las gráficas y las programables. Además, el enunciado adjunta las tablas estadísticas de la binomial y la normal, que son las que se usan en la pregunta 5.

¿Qué cae más en Matemáticas II en la Región de Murcia?

Los cuatro bloques caen todos los años, así que no hay ninguno que se pueda descartar. Lo más estable es el tipo de ejercicio: la pregunta 1 es un sistema 3×3 con parámetro, la 2 una optimización con ligadura geométrica y la 3 geometría del espacio. En puntos, análisis es el bloque con más peso, porque ocupa la pregunta 2 y, en la práctica, también la 4.

¿Sirve el modelo de 2026 para preparar la PAU 2027?

Sirve como referencia provisional: es lo último publicado por la Comisión Organizadora y el tipo de ejercicio cambia poco. Pero no es una promesa para 2027. Cuando la UMU publique la estructura de la convocatoria de 2027 hay que contrastarla antes de cerrar la estrategia, y este artículo se actualizará entonces.

Siguiente paso

Si el ejercicio resuelto se te atraganta, el bloque de análisis se trabaja en límites y derivadas para la PAU, y el planning de Matemáticas II ayuda a repartir los tipos de pregunta por semanas. Para el marco general, cómo es el examen de Matemáticas II.

La preparación de Matemáticas II para la Región de Murcia ya está publicada, montada sobre los 12 exámenes reales y los criterios oficiales: consúltala en la página del curso de Matemáticas II para la PAU de Murcia, donde tienes el precio y el acceso. Si quieres montar tu combinación de asignaturas para tu comunidad, empieza en la selección de asignaturas. Y si todavía quieres ver el método en abierto, la muestra de Matemáticas II sigue estando gratis.