Límites y derivadas de Matemáticas II: guion para la PAU

Sabes derivar. Te sale la regla de la cadena, el cociente, la exponencial. Y aun así, cuando el enunciado dice «represente gráficamente la función», te bloqueas, porque no es un problema de derivar: es un problema de guion. Hay seis cosas que mirar, en un orden que importa, y si las mezclas —o te saltas una— el dibujo que sale no se parece a la función real, aunque cada derivada individual esté bien calculada.

Aquí tienes ese guion cerrado, una función racional representada de principio a fin con cada paso comprobado, y una tabla de qué hacer con cada tipo de límite indeterminado, para que dejes de decidir a ciegas cuándo hace falta L’Hôpital y cuándo no.

Qué te va a pedir el examen

Los enunciados de este bloque reparten el trabajo en apartados con verbos muy concretos. Si sabes qué pide cada uno, sabes qué herramienta coger:

«Estudie la continuidad de f en x = a». Comparar el límite en ese punto con el valor de la función, no calcular la derivada.
«Estudie la derivabilidad de f en x = a». Comparar las derivadas laterales. Es un paso distinto del anterior, aunque lo pidan seguido.
«Calcule las asíntotas de la función». Verticales, horizontales u oblicuas: cada una sale de un límite distinto, en un punto distinto.
«Estudie la monotonía y halle los extremos relativos». Signo de la primera derivada.
«Estudie la curvatura y halle los puntos de inflexión». Signo de la segunda derivada. No es el mismo apartado que el anterior aunque ambos usen una derivada.
«Represente gráficamente la función». El apartado que junta todos los anteriores en un dibujo coherente.
«Calcule el siguiente límite» (a veces con «indicando si es necesario aplicar la regla de L’Hôpital»). Piden el resultado y, cada vez más, que justifiques el método.

La explicación mínima suficiente

Continua no es lo mismo que derivable

Una función es continua en x = a si el límite cuando x tiende a a coincide con f(a): lím(x→a) f(x) = f(a). Eso exige tres cosas a la vez: que existan los límites laterales, que coincidan entre sí, y que ese valor común sea igual a f(a).

Una función es derivable en x = a si existe la derivada en ese punto, es decir, si las derivadas laterales coinciden: f’(a⁻) = f’(a⁺). Derivabilidad es una condición más fuerte que continuidad: toda función derivable en un punto es continua en él, pero el recíproco es falso.

El contraejemplo clásico es f(x) = |x| en x = 0. Es continua ahí: lím(x→0) |x| = 0 = f(0). Pero no es derivable: la derivada por la izquierda es −1 y por la derecha es +1, y como no coinciden, no hay una única recta tangente en x = 0, solo un «pico». Cuando el enunciado pide estudiar los dos, calcula primero la continuidad y, solo si es continua, tiene sentido preguntarse por la derivabilidad; una función discontinua en un punto ya no puede ser derivable ahí, así que si el primer apartado te da discontinua, el segundo está resuelto sin más cuentas.

Indeterminaciones: qué mirar antes de derivar nada

No todo límite que «parece difícil» pide L’Hôpital, y aplicarlo donde no hace falta —o donde no es indeterminado— da un resultado incorrecto. La regla de L’Hôpital solo es válida cuando, al sustituir, obtienes una indeterminación de tipo 0/0 o ∞/∞: entonces derivas numerador y denominador por separado (no el cociente entero) y vuelves a sustituir; si sigue indeterminado, repites.

Forma al sustituir	Qué hacer primero	¿Hace falta L’Hôpital?
0/0 con cociente de polinomios	Factoriza numerador y denominador y cancela la raíz común	Casi nunca; factorizar es más rápido y con menos riesgo de error
0/0 o ∞/∞ con exponenciales, logaritmos o trigonométricas	Deriva numerador y denominador por separado	Sí
∞ − ∞	Opera primero (común denominador, o racionaliza multiplicando por el conjugado) hasta dejar un cociente	Solo si, tras operar, queda 0/0 o ∞/∞
0 · ∞	Reescribe el producto como cociente (pasa uno de los factores al denominador como su inverso) para convertirlo en 0/0 o ∞/∞	Después de reescribir
El denominador NO tiende a 0 y el numerador es finito	No es indeterminado: sustituye directamente	Nunca; aplicarlo aquí da un resultado distinto del correcto

Dos ejemplos resueltos, con métodos distintos a propósito:

lím(x→3) (x² − 9)/(x² − x − 6). Sustituyendo x = 3 da 0/0. Como es un cociente de polinomios, factoriza en vez de derivar: el numerador es (x − 3)(x + 3) y el denominador es (x − 3)(x + 2), porque x² − x − 6 tiene raíces 3 y −2. Cancela el factor (x − 3), que es el que provoca la indeterminación:

lím(x→3) (x − 3)(x + 3) / (x − 3)(x + 2) = lím(x→3) (x + 3)/(x + 2) = 6/5

Aquí L’Hôpital también daría 6/5 (derivando: 2x/(2x − 1) en x = 3 es 6/5), pero factorizar es más corto y evita un error de derivación en una cuenta que ya se resuelve con álgebra de bachillerato.

lím(x→+∞) (3x² + 5x)/eˣ. Numerador y denominador tienden a +∞: es ∞/∞, y aquí no hay factorización posible porque eˣ no es un polinomio. Aplica L’Hôpital:

lím(x→+∞) (6x + 5)/eˣ

Sigue siendo ∞/∞, así que se aplica otra vez:

lím(x→+∞) 6/eˣ = 0

El resultado es 0 porque eˣ crece más rápido que cualquier polinomio; por eso hacen falta dos aplicaciones seguidas de la regla hasta que el numerador se queda en una constante.

El guion cerrado para representar una función

Este es el orden, y el orden importa: el dominio va primero porque las asíntotas verticales solo existen en los puntos que quedan fuera del dominio, y si lo calculas después puedes dar por buena una asíntota en un punto que en realidad ni siquiera pertenece a la función, o al revés.

Dominio. Qué valores de x están permitidos (denominadores que no se anulen, radicandos no negativos, argumentos de logaritmos positivos).
Cortes con los ejes. Con el eje Y: f(0), si 0 está en el dominio. Con el eje X: resuelve f(x) = 0.
Asíntotas, a partir de los puntos fuera del dominio y del comportamiento en el infinito:
- Verticales, en cada punto a fuera del dominio donde lím(x→a) f(x) = ±∞.
- Horizontales, si lím(x→±∞) f(x) es un número finito.
- Oblicuas, solo si NO hay horizontal: m = lím(x→±∞) f(x)/x y n = lím(x→±∞) [f(x) − m·x].
Monotonía y extremos relativos, con el signo de f’(x): resuelve f’(x) = 0 para los puntos críticos, y estudia el signo de f’ a cada lado de cada uno (criterio de la primera derivada) para decidir si es máximo, mínimo o ninguna de las dos cosas.
Curvatura y puntos de inflexión, con el signo de f’‘(x): los puntos donde f’’ cambia de signo son de inflexión. No confundas este paso con el anterior: f’ localiza y clasifica extremos, f’’ localiza la curvatura y los puntos de inflexión; no es el mismo criterio aplicado dos veces, son dos preguntas distintas.
Dibuja, uniendo todo lo anterior con algún punto extra evaluado a mano para comprobar que el trazo tiene sentido.

Ejemplo completo: f(x) = (x² − 1)/(x − 2)

1. Dominio. El denominador se anula en x = 2, así que el dominio es R − {2}.

2. Cortes con los ejes. Con el eje Y: f(0) = (0 − 1)/(0 − 2) = 1/2, punto (0, 1/2). Con el eje X: x² − 1 = 0 → x = −1 y x = 1, puntos (−1, 0) y (1, 0).

3. Asíntotas. Dividiendo el numerador entre el denominador, x² − 1 = (x − 2)(x + 2) + 3, así que la función se puede reescribir como

f(x) = x + 2 + 3/(x − 2)

Esta forma da dos asíntotas a la vez. La vertical está en x = 2, porque ahí el término 3/(x − 2) dispara a infinito: lím(x→2⁻) f(x) = −∞ y lím(x→2⁺) f(x) = +∞. Como no hay asíntota horizontal (el grado del numerador es una unidad mayor que el del denominador), hay asíntota oblicua: y = x + 2, que es justo la parte polinómica de la división. Además, el signo del resto 3/(x − 2) te dice de qué lado se acerca la curva a esa recta: para x grande y positivo, 3/(x − 2) > 0 y la curva queda por encima de la asíntota; para x grande y negativo, 3/(x − 2) < 0 y queda por debajo.

4. Monotonía y extremos. La derivada, calculada con la regla del cociente y simplificada, es

f’(x) = (x² − 4x + 1)/(x − 2)²

El denominador (x − 2)² siempre es positivo (y nunca cero, porque x = 2 no está en el dominio), así que el signo de f’ lo decide solo el numerador. Igualando a cero: x² − 4x + 1 = 0 → x = 2 ± √3, es decir, x ≈ 0,27 y x ≈ 3,73.

Con puntos de prueba en cada tramo (x = −1, x = 1,5, x = 3, x = 5), f’ es positiva antes de 2 − √3, negativa entre 2 − √3 y 2 + √3 (con la discontinuidad en x = 2 en medio, donde f’ tampoco existe, pero el signo no cambia a los dos lados de esa discontinuidad), y positiva después de 2 + √3. Por el criterio de la primera derivada:

En x = 2 − √3 ≈ 0,27, f’ pasa de + a −: máximo relativo, con f(2 − √3) = 4 − 2√3 ≈ 0,54.
En x = 2 + √3 ≈ 3,73, f’ pasa de − a +: mínimo relativo, con f(2 + √3) = 4 + 2√3 ≈ 7,46.

5. Curvatura. La segunda derivada es f’‘(x) = 6/(x − 2)³. Para x < 2, (x − 2)³ < 0, así que f’’ < 0: la curva es cóncava hacia abajo en todo (−∞, 2). Para x > 2, (x − 2)³ > 0, así que f’’ > 0: cóncava hacia arriba en todo (2, +∞). No hay punto de inflexión, porque el único punto donde f’’ podría cambiar de signo es x = 2, y ese punto no pertenece al dominio: un cambio de curvatura solo cuenta como inflexión si ocurre dentro del dominio de la función.

6. Comprobación con puntos evaluados. f(−2) = −3/4, f(−1) = 0, f(0) = 1/2, f(1) = 0, f(3) = 8, f(4) = 15/2, f(6) = 35/4. Estos valores encajan con lo anterior: la función sube desde −∞ hasta el máximo (0,27; 0,54), baja pasando por los cortes en x = −1 y x = 1 hasta hundirse a −∞ cerca de x = 2 por la izquierda, reaparece en +∞ justo después de x = 2, sigue bajando hasta el mínimo (3,73; 7,46) y a partir de ahí crece de nuevo acercándose a la asíntota y = x + 2. El dibujo son dos ramas separadas por la asíntota vertical, cada una con su propio comportamiento de monotonía y curvatura.

Para llevarte

Continuidad y derivabilidad son preguntas distintas: derivable implica continua, pero continua no implica derivable. El ejemplo para recordarlo es |x| en x = 0.
El dominio va antes que las asíntotas, siempre: una asíntota vertical solo puede estar en un punto que no pertenezca al dominio.
Un cociente de polinomios con 0/0 se factoriza; L’Hôpital es para cuando no hay forma algebraica de cancelar la indeterminación.
La primera derivada clasifica extremos (monotonía); la segunda clasifica curvatura (concavidad e inflexión). Son dos preguntas, no la misma pregunta dos veces.
Un punto crítico (f’ = 0) es solo un candidato: hace falta comprobar el cambio de signo de f’ a los dos lados para saber si es máximo, mínimo o ninguna de las dos cosas.
Antes de dar por buena una asíntota oblicua, comprueba que NO existe horizontal: si el límite de f en el infinito es finito, la oblicua no se calcula.

Errores que restan

Dar por derivable lo que solo es continuo. Comprobar la continuidad y pasar directamente a derivar sin comparar las derivadas laterales. Una función con un pico, como |x| en x = 0, es continua pero no derivable ahí, y si el enunciado pide las dos cosas, hay que demostrar las dos por separado.
Calcular las asíntotas antes que el dominio. Si no sabes qué puntos quedan fuera del dominio, puedes buscar una asíntota vertical donde no toca o pasar por alto la que sí existe.
Dar un máximo o un mínimo donde solo hay un punto crítico. f’(x) = 0 identifica candidatos, no extremos garantizados. f(x) = x³ tiene f’(0) = 0, pero f’ no cambia de signo alrededor de x = 0 (es positiva a los dos lados), así que no hay extremo, solo un punto de inflexión con tangente horizontal.
Mezclar el criterio de la primera derivada con el de la segunda. Buscar los extremos igualando f’’ a cero, o buscar los puntos de inflexión igualando f’ a cero. Cada derivada responde a una pregunta distinta: f’ habla de crecimiento, f’’ habla de curvatura.
Aplicar L’Hôpital a un límite que no es indeterminado. Si al sustituir el denominador no da cero (o no hay ∞/∞), el límite se calcula sustituyendo directamente. Por ejemplo, lím(x→0) (x + 1)/(x − 1) no es indeterminado (el denominador vale −1, no 0): el resultado correcto es −1/1 = −1. Aplicar L’Hôpital ahí por rutina da 1/1 = 1, que es incorrecto.

Autochequeo

1. f(x) = |x − 1| en x = 1. ¿Es continua? ¿Es derivable? a) Ni continua ni derivable. b) Continua pero no derivable. c) Continua y derivable. d) Derivable pero no continua.

Respuesta: b. Es continua porque lím(x→1) |x − 1| = 0 = f(1), pero tiene un pico en x = 1 (derivada lateral izquierda −1, derecha +1), igual que |x| en x = 0. La opción d) mapea el error de creer que derivable es más fácil de conseguir que continua, cuando es al revés: derivable exige más.

2. lím(x→0) (sen x)/x. ¿Cómo se resuelve? a) Sustituyendo x = 0 directamente, porque no es indeterminado. b) Es 0/0: hay que aplicar L’Hôpital, porque no hay forma de factorizar seno. c) Es 0/0 y se deja sin resolver porque el seno no tiene primitiva sencilla. d) Es ∞/∞.

Respuesta: b. Al sustituir x = 0 sale 0/0 (sen 0 = 0), y como no es un cociente de polinomios que se pueda factorizar, hace falta L’Hôpital: derivando, cos x / 1, que en x = 0 vale 1. La opción a) es el error de no comprobar que sí hay indeterminación antes de descartar el método.

3. Una función tiene f’(3) = 0 y f’’ (3) = 5. ¿Qué hay en x = 3? a) Un máximo relativo. b) Un mínimo relativo. c) Un punto de inflexión. d) No se puede saber con estos datos.

Respuesta: b. Con f’(3) = 0 hay un punto crítico, y f’’(3) > 0 significa curvatura hacia arriba en ese punto, lo que por el criterio de la segunda derivada da mínimo relativo. La opción c) es el error de asociar la segunda derivada directamente con inflexión sin mirar si es un punto crítico de la primera.

4. Una función racional tiene el numerador de grado 3 y el denominador de grado 1. ¿Qué asíntota tiene en el infinito? a) Horizontal. b) Vertical. c) Oblicua. d) Ninguna: cuando el numerador tiene grado mayor, no hay asíntota en el infinito.

Respuesta: d. La asíntota oblicua solo aparece cuando el grado del numerador supera al del denominador exactamente en uno. Si la diferencia de grados es mayor, la función se dispara a infinito más rápido que cualquier recta y no hay asíntota en el infinito, aunque sí puede haber asíntota vertical en los puntos fuera del dominio. La opción c) es el error de aplicar la regla de la oblicua sin comprobar antes la diferencia de grados.

5. Al representar f(x) = 1/(x − 2)², ¿qué se calcula primero? a) La derivada, para saber si crece o decrece. b) El dominio: R − {2}, porque el denominador se anula ahí. c) Los cortes con los ejes. d) La asíntota horizontal, porque siempre va primero.

Respuesta: b. El dominio siempre es el primer paso del guion, porque condiciona dónde puede haber asíntotas verticales y qué puntos tienen sentido evaluar después. La opción d) es el error de fijar un orden rígido que no depende de la función real: no siempre hay asíntota horizontal, y el dominio va antes en cualquier caso.

Preguntas frecuentes

¿Por qué una función puede ser continua y no derivable, pero no al revés? Porque derivabilidad exige que exista una única recta tangente en el punto, lo que a su vez exige que las pendientes laterales coincidan; eso ya obliga a que la función no dé saltos ahí, es decir, a que sea continua. Pero puede ser continua y aun así tener un «pico» —como |x| en x = 0— donde las dos pendientes laterales no coinciden: continua sin ser derivable.

¿Cómo sé si una asíntota es horizontal u oblicua sin calcular las dos? Compara los grados si es una función racional: si el grado del numerador es menor o igual que el del denominador, calcula el límite en el infinito directamente y, si da un número finito, esa es la horizontal. Si el grado del numerador es exactamente una unidad mayor, no hay horizontal y toca calcular la oblicua con m y n. Si la diferencia de grados es de dos o más, no hay ninguna asíntota en el infinito.

¿Un punto crítico (f’ = 0) es siempre un extremo? No. Es solo un candidato. Hace falta comprobar el signo de f’ a los dos lados (o el signo de f’’ en ese punto): si f’ cambia de signo, es extremo; si no cambia, como en f(x) = x³ en x = 0, es un punto de inflexión con tangente horizontal, no un máximo ni un mínimo.

¿Hace falta aplicar siempre L’Hôpital en un límite que da 0/0? No. Si el límite es un cociente de polinomios, casi siempre es más rápido factorizar y cancelar la raíz común que derivar. L’Hôpital es imprescindible cuando la indeterminación mezcla funciones que no se pueden factorizar por álgebra básica —exponenciales, logaritmos, trigonométricas— y se puede aplicar más de una vez seguida si el resultado sigue siendo indeterminado.

Llevarlo al examen

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Este tema no tiene batería propia en el arcade de repaso: las cuatro baterías del minijuego (historia, lengua, biología, filosofía) no cubren matemáticas todavía, así que aquí no hay minijuego que enlazar.