Integrales de Matemáticas II: elegir método en 30 segundos

Sabes derivar. Te sabes la tabla de primitivas de memoria. Y aun así te bloqueas delante de una integral, porque el examen no te pregunta si sabes integrar: te pregunta si sabes decidir. Cambio de variable, por partes o fracciones simples son tres herramientas distintas, y elegir la que no toca te deja veinte minutos dando vueltas a una integral que no sale, aunque la sepas hacer perfectamente si alguien te dijera cuál usar.

Aquí tienes el criterio para decidir en treinta segundos mirando el integrando, las tres integrales resueltas paso a paso —una por método— y el área entre curvas bien planteada, que es donde más puntos se pierden por no buscar los puntos de corte antes de integrar.

Qué te va a pedir el examen

Los enunciados de Matemáticas II usan un lenguaje muy repetido. Estos son los verbos reales:

• «Calcule la siguiente integral, indicando el método utilizado.» Piden el resultado y que se note por qué has integrado así, no solo el resultado.
• «Resuelva la integral mediante un cambio de variable (o por partes).» A veces el método viene dado; entonces no hay que decidir, solo ejecutar bien.
• «Halle el área del recinto limitado por las gráficas de f(x) y g(x).» Es el ejercicio de área entre curvas, con dos funciones o con una función y el eje X.
• «Determine los puntos de corte de las curvas.» Suele ser un apartado previo, obligatorio antes de plantear la integral del área.
• «Calcule el área de la región sombreada.» A veces te dan la gráfica; el trabajo entonces es leer bien los signos, no calcular los cortes.

La explicación mínima suficiente

El criterio de los 30 segundos: qué mirar en el integrando

Antes de escribir nada, mira el integrando y hazte estas preguntas, en este orden:

1. ¿Hay una función y, multiplicada, su derivada (o algo proporcional a ella)? Si sí, es cambio de variable: llamas u a la función de dentro y el resto de la integral se simplifica a la tabla básica.
2. Si no, ¿es un producto de dos funciones de familias distintas? Un polinomio por una exponencial, un polinomio por un seno o coseno, un polinomio por un logaritmo, o un logaritmo o un arcotangente solos. Eso es por partes.
3. Si no hay ese producto sino un cociente de dos polinomios, P(x)/Q(x), es fracciones simples. Antes de descomponer, comprueba el grado: si el grado de P es mayor o igual que el de Q, divide primero, porque las fracciones simples solo se aplican a una fracción propia.

Este orden importa porque los tres métodos se reconocen por rasgos distintos del integrando, no por ensayo y error: la relación derivada-función es la señal de cambio de variable; el producto de familias distintas es la señal de por partes; el cociente de polinomios es la señal de fracciones simples.

Cambio de variable: cuando la función y su derivada van juntas

∫ (2x)/(x² + 1) dx

Fíjate en el numerador: 2x es exactamente la derivada de x² + 1, que es el denominador. Esa coincidencia —una función y, multiplicando, su propia derivada— es la señal de cambio de variable.

Paso 1. Llama u a la función de dentro: u = x² + 1. Entonces du = 2x dx, que es justo lo que tienes en el numerador.

Paso 2. Sustituye: ∫ (2x)/(x² + 1) dx = ∫ du/u.

Paso 3. Esa integral es de tabla directa: ∫ du/u = ln|u| + C.

Paso 4. Deshaz el cambio: ln|x² + 1| + C. Como x² + 1 siempre es positivo, el valor absoluto no aporta nada y se puede escribir ln(x² + 1) + C.

Comprobación por derivación: la derivada de ln(x² + 1) es (2x)/(x² + 1), que es el integrando de partida. Correcto.

Integración por partes: cuando hay un producto de familias distintas

∫ x·eˣ dx

Aquí no hay relación derivada-función: eˣ no es la derivada de x, y x no es la derivada de eˣ. Es un producto de dos familias distintas —un polinomio y una exponencial— así que no hay atajo de sustitución: hay que bajar el grado del polinomio con la fórmula de partes, ∫u dv = u·v − ∫v du.

Paso 1. Elige u y dv. Elige como u la parte que se simplifica al derivar —el polinomio x, cuya derivada es 1— y como dv la parte que sabes integrar sin complicarte —eˣ dx—. Al revés no funciona: si tomaras u = eˣ, al derivar seguiría siendo eˣ y no simplificarías nada.

u = x → du = dx dv = eˣ dx → v = eˣ

Paso 2. Aplica la fórmula. ∫ x·eˣ dx = x·eˣ − ∫ eˣ dx.

Paso 3. Resuelve lo que queda. ∫ eˣ dx = eˣ + C.

Paso 4. Resultado. x·eˣ − eˣ + C = eˣ(x − 1) + C.

Comprobación por derivación: la derivada de eˣ(x − 1) es eˣ(x − 1) + eˣ·1 = eˣ·x, que es el integrando de partida. Correcto.

Fracciones simples: cuando el integrando es un cociente de polinomios

∫ (x + 7)/(x² − x − 2) dx

El numerador no es la derivada del denominador (2x − 1), así que el cambio de variable no sirve. Tampoco hay dos familias de funciones multiplicándose, así que por partes tampoco pinta nada. Lo que hay es un cociente de dos polinomios con el numerador de grado menor que el denominador: la fracción ya es propia, así que se puede descomponer directamente.

Paso 1. Factoriza el denominador. x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1).

Paso 2. Plantea la descomposición. (x + 7)/((x − 2)(x + 1)) = A/(x − 2) + B/(x + 1).

Paso 3. Halla A y B. Multiplicando por el denominador común: x + 7 = A(x + 1) + B(x − 2). Sustituyendo raíces:

• x = 2: 2 + 7 = A·3 → A = 3.
• x = −1: −1 + 7 = B·(−3) → B = −2.

Paso 4. Integra cada fracción simple. ∫ 3/(x − 2) dx − ∫ 2/(x + 1) dx = 3 ln|x − 2| − 2 ln|x + 1| + C.

Comprobación por derivación: la derivada de 3 ln|x − 2| − 2 ln|x + 1| es 3/(x − 2) − 2/(x + 1). Sumando con denominador común 3(x − 2)(x + 1): [3(x + 1) − 2(x − 2)] / [(x − 2)(x + 1)] = (x + 7)/(x² − x − 2), que es el integrando de partida. Correcto.

El área entre curvas: el procedimiento completo

Un área nunca es negativa ni cero si en el dibujo hay región encerrada. Cuando una integral definida te da eso, no es que el área valga eso: es que te has saltado un paso. Vamos con el ejemplo que enseña exactamente ese fallo.

Calcula el área de la región limitada por la curva f(x) = x³ − x y el eje X entre x = −1 y x = 1.

Paso 1. Busca los puntos de corte. Antes de integrar nada, resuelve f(x) = 0: x³ − x = 0 → x(x² − 1) = 0 → x(x − 1)(x + 1) = 0 → x = −1, x = 0, x = 1. Hay un punto de corte, x = 0, dentro del intervalo que te piden. Eso significa que la curva puede cambiar de signo ahí, y hay que comprobarlo.

Paso 2. Comprueba el signo en cada tramo. Toma un punto de prueba dentro de cada subintervalo:

• En (−1, 0): prueba x = −0,5 → f(−0,5) = (−0,5)³ − (−0,5) = −0,125 + 0,5 = 0,375 > 0. La curva está por encima del eje X.
• En (0, 1): prueba x = 0,5 → f(0,5) = 0,125 − 0,5 = −0,375 < 0. La curva está por debajo del eje X.

Como el signo cambia, hay que partir la integral en dos: una para cada tramo, y tomar el valor absoluto de cada resultado antes de sumar. Esto es lo que se salta el alumno que da un área negativa o nula: integrar de un tirón entre −1 y 1 sin mirar si la curva cruza el eje por en medio.

Paso 3. Calcula la primitiva una sola vez. F(x) = x⁴/4 − x²/2.

Paso 4. Evalúa cada tramo por separado.

• Tramo (−1, 0): F(0) − F(−1) = 0 − (1/4 − 1/2) = 0 − (−1/4) = 1/4. Ya sale positivo, coherente con que la curva está encima.
• Tramo (0, 1): F(1) − F(0) = (1/4 − 1/2) − 0 = −1/4. Sale negativo porque la curva está debajo del eje; el área de ese tramo es el valor absoluto, |−1/4| = 1/4.

Paso 5. Suma las áreas de los dos tramos. Área = 1/4 + 1/4 = 1/2 u².

El aviso importante: si en vez de partir en dos calculas de un tirón ∫ desde −1 hasta 1 de (x³ − x) dx, te sale F(1) − F(−1) = (−1/4) − (−1/4) = 0. Esa integral definida sí vale matemáticamente cero, porque la función es impar y las dos zonas se cancelan al restar. Pero el enunciado no pide una integral a secas: pide un área, y un área de una región que se ve en el dibujo no puede ser cero. Ese cero no significa que no haya área: significa que te ha faltado partir la integral en los puntos de corte.

Para llevarte

• El criterio de los 30 segundos va antes que la tabla: mira el integrando, decide el método, después calculas.
• Cambio de variable: hay una función y, multiplicando, su derivada. Se convierte en tabla directa.
• Por partes: producto de dos familias de funciones distintas. Elige u lo que se simplifica al derivar (polinomio, logaritmo); dv lo que sabes integrar sin esfuerzo (exponencial, seno, coseno).
• Fracciones simples: cociente de polinomios. Si el grado de arriba es mayor o igual que el de abajo, divide antes de descomponer.
• El área nunca es negativa: busca los puntos de corte, comprueba el signo en cada tramo, integra por tramos y suma valores absolutos.
• En la indefinida nunca falta el + C. En la definida (el área) la constante se cancela sola al restar los dos límites; no hace falta escribirla.

Errores que restan

• Olvidar la constante + C en una integral indefinida. Sin ella, el resultado está incompleto aunque la primitiva esté bien calculada.
• No buscar los puntos de corte antes de plantear el área. El enunciado te da un intervalo, pero eso no garantiza que las curvas no se crucen dentro: hay que comprobarlo siempre.
• No partir la integral cuando hay un cambio de signo dentro del intervalo. Integrar de un tirón cuando las curvas se cruzan cancela zonas de signo distinto y da un área falsa, a veces incluso cero.
• Entregar un área negativa como resultado final. El área es una magnitud positiva por definición: cada tramo se toma en valor absoluto antes de sumar.
• Elegir mal u y dv en por partes. Tomar como u la parte que no se simplifica al derivar (por ejemplo, la exponencial) deja una integral más complicada que la de partida, no más simple.
• Aplicar fracciones simples sin dividir antes, cuando el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador. La descomposición en fracciones simples solo funciona sobre una fracción propia.

Autochequeo

1. ∫ 3x² dx = x³. ¿Qué le falta a esa respuesta y qué parte de la nota se pierde por eso?
2. Un compañero calcula el área entre y = x³ − x y el eje X en el intervalo [−1, 1] integrando de un tirón, ∫ desde −1 hasta 1 de (x³ − x) dx, y responde que el área es 0. ¿Qué paso se ha saltado?
3. Calculando un área entre dos curvas en [0, 3], a un alumno le sale −4 como resultado de la integral definida. ¿Qué hace con ese número antes de entregar la respuesta?
4. Ante ∫ ln(x) dx, ¿qué eliges como u y qué como dv? ¿Por qué al revés no funciona?
5. Ante ∫ (x³ + 1)/(x² − 1) dx, ¿por qué no puedes aplicar fracciones simples directamente sobre esa fracción tal como está escrita?

Soluciones orientativas:

1. Le falta el + C. Sin la constante, la respuesta está incompleta: hay infinitas primitivas que difieren en una constante, y el criterio de corrección la exige.
2. Se ha saltado buscar los puntos de corte dentro del intervalo (x = 0) y comprobar el signo en cada tramo. La curva está por encima del eje en (−1, 0) y por debajo en (0, 1); al integrar de un tirón, esas dos zonas se cancelan y da 0, aunque la región dibujada tiene área 1/2 u².
3. Toma el valor absoluto: el área de ese tramo es 4, nunca −4. El signo negativo indica que, en ese tramo, la curva que se restó primero estaba por debajo de la segunda, no que el área sea negativa.
4. u = ln(x), dv = dx (de donde v = x). Al revés no funciona porque dv = ln(x) dx no es una integral inmediata: necesitarías resolver antes la propia integral que estás intentando calcular.
5. Porque el grado del numerador (3) es mayor que el del denominador (2): la fracción no es propia. Hay que dividir primero. x³ + 1 entre x² − 1 da cociente x y resto x + 1, así que (x³ + 1)/(x² − 1) = x + (x + 1)/((x − 1)(x + 1)) = x + 1/(x − 1). La integral queda x²/2 + ln|x − 1| + C.

Preguntas frecuentes

¿Cómo sé si tengo que hacer cambio de variable o por partes?

Mira si el integrando tiene una función y, multiplicada, su derivada: si la tiene, es cambio de variable. Si en cambio es un producto de dos funciones de familias distintas —un polinomio junto a una exponencial, un seno o un logaritmo— sin esa relación de derivada, es por partes.

¿Por qué me da negativa el área entre dos curvas?

Porque no has comprobado si las curvas se cruzan dentro del intervalo. Si hay un punto de corte en medio, la curva que estaba arriba pasa a estar abajo (o al revés), y si integras de un tirón sin partir en tramos, la parte donde el signo se invierte resta en vez de sumar. La solución es localizar los puntos de corte, integrar cada tramo por separado y sumar los valores absolutos.

¿Hace falta poner + C al calcular un área entre curvas?

No. La constante solo aparece en la integral indefinida. En el área, que es una integral definida, la constante se suma y se resta al evaluar los dos límites, así que se cancela sola: no hace falta escribirla ni en los pasos intermedios.

¿Y si el denominador de una fracción no tiene raíces reales, como x² + 1?

Entonces no se puede factorizar en factores lineales reales y las fracciones simples clásicas no se aplican igual: ese caso concreto, x² + 1 en el denominador, suele resolverse por cambio de variable o lleva a un arcotangente, no a un logaritmo. Es menos frecuente en el examen que el caso de raíces reales distintas.

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