Matrices y sistemas con parámetro: discusión resuelta

Te dan un sistema de tres ecuaciones con un parámetro, k o m o a, y te piden que lo «discutas según los valores del parámetro». Calculas el determinante, lo igualas a cero, sacas las raíces y ahí se para casi todo el mundo: ¿y ahora qué hago con esos valores? El bloqueo no es de cálculo, es de procedimiento: no sabe qué comparar, confunde la matriz de coeficientes con la matriz ampliada, y cuando el sistema resulta compatible indeterminado no sabe cómo escribir la solución.

Aquí tienes ese procedimiento cerrado, con un sistema discutido y resuelto en todos sus casos, más matriz inversa y ecuaciones matriciales, que es el otro bloque que sale del mismo temario.

Qué te va a pedir el examen

Los enunciados de matrices y sistemas repiten un puñado de verbos. Si los reconoces, sabes qué procedimiento aplicar antes de leer el resto:

• «Discuta el sistema según los valores del parámetro k» (o m, o a). Es el ejercicio central del bloque: determinante en función del parámetro, raíces, y comparación de rangos en cada una.
• «Calcule el rango de la matriz A.» Por menores o por reducción, y siempre en función del parámetro si lo lleva.
• «Resuelva el sistema para k = …». Una vez discutido, te piden resolverlo para un valor concreto: normal si el determinante no se anula, distinto si sí se anula.
• «Calcule la matriz inversa de A» (o «compruebe que A es invertible»). Pasa por el determinante: si es cero, no hay inversa, y el enunciado lo sabe.
• «Resuelva la ecuación matricial AX = B» (o XA = B). Se despeja con la inversa, pero el orden en que multiplicas importa.
• «Estudie si el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.» Es literalmente el teorema de Rouché-Frobenius, con esas tres palabras.

La explicación mínima suficiente

El rango de una matriz

El rango es el número de filas (o columnas) linealmente independientes, y coincide con el tamaño del mayor menor (determinante de una submatriz cuadrada) que no se anula. Para calcularlo en una matriz 3×3 en función de un parámetro:

1. Calcula el determinante completo. Si no se anula, el rango es 3 (máximo posible en una matriz 3×3).
2. Si se anula, busca un menor 2×2 que no se anule. Si lo encuentras, el rango es 2.
3. Si todos los menores 2×2 también se anulan, el rango es 1 (o 0 si la matriz es toda ceros).

Es un procedimiento de arriba abajo: empiezas por el menor más grande y bajas solo si hace falta. No calcules todos los menores posibles, calcula los justos para decidir.

Matriz inversa: cuándo existe y cómo se calcula

Una matriz cuadrada A tiene inversa si y solo si su determinante no es cero (es decir, si A es «regular» o «no singular»). La fórmula es:

A⁻¹ = (1 / det A) · (matriz de adjuntos de A, traspuesta)

El adjunto de cada posición es el determinante de la submatriz que queda al tachar su fila y su columna, con signo alterno (+, −, +, −…). Un ejemplo pequeño para fijar la mecánica, con A = (2, 1; 1, 1) (fila 1: 2, 1 — fila 2: 1, 1):

det A = 2·1 − 1·1 = 1.

Como det A ≠ 0, existe inversa. Para una matriz 2×2, (a, b; c, d)⁻¹ = (1/det A)·(d, −b; −c, a), así que:

A⁻¹ = (1, −1; −1, 2)

Comprueba siempre multiplicando A·A⁻¹: tiene que dar la identidad. (2, 1; 1, 1)·(1, −1; −1, 2) = (2·1 + 1·(−1), 2·(−1) + 1·2; 1·1 + 1·(−1), 1·(−1) + 1·2) = (1, 0; 0, 1). Correcto.

El teorema de Rouché-Frobenius: qué compara y qué no

Un sistema de ecuaciones lineales tiene dos matrices, y confundirlas es el error más caro del bloque:

• Matriz de coeficientes, A. Solo los coeficientes de las incógnitas.
• Matriz ampliada, (A|b). La matriz A con una columna más a la derecha, la de los términos independientes.

El teorema de Rouché-Frobenius dice, para un sistema con n incógnitas:

• Si rango(A) = rango(A|b) = n → sistema compatible determinado (SCD): solución única.
• Si rango(A) = rango(A|b) < n → sistema compatible indeterminado (SCI): infinitas soluciones, con n − rango(A) parámetros libres.
• Si rango(A) ≠ rango(A|b) → sistema incompatible (SI): no hay solución. (Siempre rango(A|b) es el mayor de los dos en este caso, porque añadir una columna nunca baja el rango.)

Nunca se comparan los rangos con el número de ecuaciones: se comparan entre sí y, para saber si es determinado, con el número de incógnitas.

El procedimiento cerrado para discutir un sistema con parámetro

Cuatro pasos, siempre en este orden:

1. Calcula det(A) en función del parámetro y factorízalo. Las raíces son los valores del parámetro que anulan el determinante.
2. Para los valores que NO anulan el determinante: rango(A) = 3 = número de incógnitas, y como rango(A|b) no puede superar 3 (solo hay 3 filas), también vale 3. Sistema compatible determinado, sin más que comprobar.
3. Para cada valor que SÍ anula el determinante: sustituye ese valor en A y en (A|b) por separado, calcula el rango de cada una (con menores, como en el apartado anterior) y compáralas con Rouché-Frobenius.
4. Resuelve cada caso: el SCD por Cramer o sustitución, el SCI dejando las incógnitas sobrantes como parámetros libres, el SI se queda sin solución (no hay nada que resolver, solo justificar por qué).

Discusión completa: un sistema 3×3 con parámetro m

Discute y resuelve, según los valores de m, el sistema:

mx + y +  z = 1
 x + my +  z = m
 x +  y + mz = m²

Paso 1. Matriz de coeficientes y determinante.

A = (m, 1, 1; 1, m, 1; 1, 1, m)

det(A) = m·(m² − 1) − 1·(m − 1) + 1·(1 − m) = m³ − m − m + 1 + 1 − m = m³ − 3m + 2

Factorizando (m = 1 anula el polinomio: 1 − 3 + 2 = 0), det(A) = (m − 1)²·(m + 2). Se anula en m = 1 (raíz doble) y en m = −2.

Paso 2. Caso general, m ≠ 1 y m ≠ −2. det(A) ≠ 0, así que rango(A) = rango(A|b) = 3 = número de incógnitas: sistema compatible determinado, solución única. No hace falta discutir más, solo resolver cuando pidan un valor concreto (ver más abajo el ejemplo con m = 2).

Paso 3. Caso m = 1. La matriz de coeficientes queda:

A = (1, 1, 1; 1, 1, 1; 1, 1, 1)

Las tres filas son idénticas, así que rango(A) = 1. El término independiente es b = (1, m, m²) = (1, 1, 1), y la matriz ampliada (A|b) también tiene las tres filas idénticas: rango(A|b) = 1. Como rango(A) = rango(A|b) = 1 < 3 (número de incógnitas), el sistema es compatible indeterminado, con 3 − 1 = 2 parámetros libres.

La única ecuación independiente es x + y + z = 1. La solución general se escribe con dos parámetros libres, λ y μ:

(x, y, z) = (λ, μ, 1 − λ − μ), con λ, μ ∈ ℝ

Comprobación sustituyendo en las tres ecuaciones originales con m = 1: mx + y + z = λ + μ + (1 − λ − μ) = 1, que coincide con el término independiente 1. x + my + z = λ + μ + (1 − λ − μ) = 1, coincide. x + y + mz = λ + μ + (1 − λ − μ) = 1, coincide. Las tres dan 1 para cualquier λ, μ: la solución es correcta.

Paso 4. Caso m = −2. La matriz de coeficientes:

A = (−2, 1, 1; 1, −2, 1; 1, 1, −2)

El menor 2×2 de las dos primeras filas y columnas vale (−2)·(−2) − 1·1 = 4 − 1 = 3 ≠ 0, así que rango(A) = 2 (ya sabemos que no es 3 porque det(A) = 0 para m = −2).

El término independiente es b = (1, m, m²) = (1, −2, 4). Para el rango de la ampliada, calcula el determinante 3×3 formado por las columnas 1 y 2 de A más la columna b:

| −2   1   1 |
|  1  −2  −2 |
|  1   1   4 |

Desarrollando por la primera fila: −2·[(−2)·4 − (−2)·1] − 1·[1·4 − (−2)·1] + 1·[1·1 − (−2)·1] = −2·(−8 + 2) − 1·(4 + 2) + 1·(1 + 2) = −2·(−6) − 6 + 3 = 12 − 6 + 3 = 9 ≠ 0.

Ese menor no se anula, así que rango(A|b) = 3. Como rango(A) = 2 ≠ rango(A|b) = 3, el sistema es incompatible para m = −2: no tiene solución. No hay nada más que calcular, la conclusión es esa.

Paso 5. Resuelve el caso general con un valor concreto, m = 2. Para comprobar que el caso general funciona, resuelve con m = 2 (det(A) = (2 − 1)²·(2 + 2) = 4 ≠ 0, compatible determinado):

2x +  y +  z = 1
 x + 2y +  z = 2
 x +  y + 2z = 4

Restando la primera menos la segunda ecuación: x − y = −1, es decir x = y − 1. Restando la segunda menos la tercera: y − z = −2, es decir z = y + 2. Sustituyendo ambas en la primera ecuación: 2(y − 1) + y + (y + 2) = 1 → 4y = 1 → y = 1/4. Entonces x = 1/4 − 1 = −3/4 y z = 1/4 + 2 = 9/4.

Comprobación en las tres ecuaciones originales: 2·(−3/4) + 1/4 + 9/4 = −6/4 + 1/4 + 9/4 = 4/4 = 1, correcto. −3/4 + 2·(1/4) + 9/4 = −3/4 + 2/4 + 9/4 = 8/4 = 2, correcto. −3/4 + 1/4 + 2·(9/4) = −3/4 + 1/4 + 18/4 = 16/4 = 4, correcto. Las tres ecuaciones se cumplen: (x, y, z) = (−3/4, 1/4, 9/4).

Ecuaciones matriciales: AX = B no es lo mismo que XA = B

Cuando te piden despejar una matriz incógnita X de una ecuación con productos de matrices, el orden en que multiplicas importa porque el producto de matrices no es conmutativo:

• Si AX = B y A tiene inversa: multiplicas por A⁻¹ por la izquierda en los dos lados → A⁻¹AX = A⁻¹B → X = A⁻¹B.
• Si XA = B y A tiene inversa: multiplicas por A⁻¹ por la derecha en los dos lados → XAA⁻¹ = BA⁻¹ → X = BA⁻¹.

Con A = (2, 1; 1, 1), A⁻¹ = (1, −1; −1, 2) (calculada más arriba), resuelve AX = B con B = (3; 4) (columna):

X = A⁻¹B = (1·3 + (−1)·4; (−1)·3 + 2·4) = (3 − 4; −3 + 8) = (−1; 5)

Comprobación: AX = (2, 1; 1, 1)·(−1; 5) = (2·(−1) + 1·5; 1·(−1) + 1·5) = (−2 + 5; −1 + 5) = (3; 4) = B. Coincide con B, la solución es correcta.

Para llevarte

• El procedimiento de discusión es siempre el mismo: determinante en función del parámetro, factorizarlo, y para cada raíz comparar rango(A) con rango(A|b) usando Rouché-Frobenius.
• Si det(A) ≠ 0 en un sistema cuadrado, ya sabes que es compatible determinado sin más comprobación.
• Si det(A) = 0, el sistema NO es automáticamente incompatible: puede ser compatible indeterminado o incompatible, y lo decide el rango de la matriz ampliada.
• Compatible indeterminado se expresa con tantos parámetros libres como n menos el rango de A, nunca fijando valores concretos a las incógnitas.
• La regla de Cramer solo funciona si det(A) ≠ 0; cuando se anula, se resuelve por reducción sobre las ecuaciones independientes.
• En una ecuación matricial, AX = B se despeja multiplicando por A⁻¹ por la izquierda; XA = B, por la derecha. No son intercambiables.

Errores que restan

• Olvidar estudiar el caso det(A) = 0. Es el error más caro: el alumno calcula el determinante, ve que se anula para un valor del parámetro y da el sistema por incompatible sin comparar rangos. Det(A) = 0 abre dos posibilidades, no cierra el problema.
• Confundir la matriz de coeficientes con la matriz ampliada. El rango que compara Rouché-Frobenius es el de A frente al de (A|b), no el de A frente a sí misma ni el número de ecuaciones frente al de incógnitas. Si no separas las dos matrices al sustituir el parámetro, el resultado no significa nada.
• Dar una solución única cuando el sistema es compatible indeterminado. Si rango(A) = rango(A|b) < n, hay infinitas soluciones. Elegir un valor cualquiera del parámetro libre y presentarlo como «la» solución es media respuesta: hay que dejar la solución en función de los parámetros libres.
• Aplicar la regla de Cramer cuando det(A) = 0. Cramer divide entre det(A); si vale 0, la fórmula no existe. En los casos con determinante nulo se resuelve por reducción, con las ecuaciones que de verdad son independientes.
• No comprobar el resultado sustituyendo en las tres ecuaciones originales. Un error de signo en un paso intermedio se cuela si solo compruebas una ecuación. Sustituir en las tres es el único chequeo que detecta esos errores.

Autochequeo

1. Calculas det(A) de un sistema 3×3 con parámetro k y se anula para k = 5. ¿Qué haces a continuación?
2. Para k = 5 obtienes rango(A) = 2 y rango(A|b) = 2, con 3 incógnitas. ¿Qué tipo de sistema es y cuántos parámetros libres tiene la solución?
3. Para otro valor del parámetro obtienes rango(A) = 2 y rango(A|b) = 3. ¿Qué tipo de sistema es?
4. Vas a resolver un sistema con det(A) = 0 usando la regla de Cramer directamente. ¿Qué falla?
5. Terminas de calcular la solución de un sistema con parámetro para un valor concreto. ¿Qué haces antes de darla por buena?
6. ¿Qué diferencia hay entre la matriz de coeficientes A y la matriz ampliada (A|b)?

Soluciones orientativas: 1) No concluyas nada todavía: sustituye k = 5 en A y en (A|b) por separado y calcula el rango de cada una. 2) Compatible indeterminado, con 3 − 2 = 1 parámetro libre. 3) Incompatible: los rangos no coinciden. 4) Cramer divide entre det(A); si vale 0, la división no existe y la fórmula no se puede aplicar, hay que resolver por reducción. 5) Sustituir la solución en las tres ecuaciones originales del sistema y comprobar que las cumple todas, no solo una. 6) (A|b) es A con una columna más a la derecha, la de los términos independientes; son matrices distintas y Rouché-Frobenius compara sus rangos, no los confunde.

Preguntas frecuentes

¿Qué hago cuando el determinante de un sistema con parámetro se anula?

No concluyas todavía. Sustituye ese valor del parámetro en la matriz de coeficientes A y en la matriz ampliada (A|b) por separado, calcula el rango de cada una y compáralas con el teorema de Rouché-Frobenius: si coinciden y son menores que el número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado; si no coinciden, es incompatible.

¿Cómo se expresa la solución de un sistema compatible indeterminado?

Con tantos parámetros libres como incógnitas menos el rango de A. Se despeja la ecuación (o ecuaciones) independiente y las incógnitas que sobran se dejan como parámetros libres (por ejemplo λ, μ), de forma que la solución es un conjunto infinito de puntos, no un único valor.

¿Por qué no se puede usar la regla de Cramer cuando el determinante es cero?

Porque la regla de Cramer calcula cada incógnita dividiendo entre det(A), y una división entre cero no existe. Cuando det(A) = 0, el sistema se resuelve por reducción sobre las ecuaciones que sean realmente independientes (las que sobran, tras comparar rangos, se descartan).

¿Es lo mismo resolver AX = B que XA = B?

No. El producto de matrices no es conmutativo, así que el lado por el que multiplicas la inversa importa: en AX = B multiplicas por A⁻¹ a la izquierda de los dos lados y obtienes X = A⁻¹B; en XA = B multiplicas por A⁻¹ a la derecha y obtienes X = BA⁻¹. Intercambiar el orden da, en general, una X distinta.

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Este bloque abre el álgebra de Matemáticas II en el blog, junto a lo que ya cubrimos de análisis: integrales, elegir método en 30 segundos y geometría en el espacio, rectas y planos. Para el resto del temario y el enfoque general del examen, qué te pide el examen de Matemáticas II, los temas que más caen y los errores típicos que restan nota.

Este tema no tiene todavía minijuego propio en el arcade (las cuatro baterías del repaso jugable son historia, lengua, biología y filosofía), así que aquí no hay enlace a ningún juego. Puedes seguir practicando en la muestra de Matemáticas II, con más ejercicios resueltos del mismo estilo, o en el pilar de la PAU, con todas las asignaturas y comunidades. La preparación completa para la Comunidad de Madrid está en Matemáticas II para la PAU de Madrid. Y si quieres que te acompañemos hasta junio, reserva tu plaza: no pagas nada hoy.