Geometría en el espacio: rectas y planos para la PAU

Geometría en el espacio es el bloque que más gente deja en blanco, y casi nunca es porque no sepa la teoría: es porque no sabe traducir el enunciado a una ecuación. Te dan tres puntos, o un punto y una recta, o dos rectas sueltas, y el primer bloqueo llega antes de calcular nada: ¿qué ecuación monto con esto? ¿Necesito el producto escalar o el vectorial? ¿Estas rectas se cortan o se cruzan?

Aquí tienes esa traducción hecha sistema: de qué te dan a qué ecuación escribes, un criterio para elegir entre escalar y vectorial, y tres problemas resueltos completos donde el porqué pesa tanto como la cuenta.

Qué te va a pedir el examen

Los enunciados de este bloque repiten un puñado de verbos. Si los reconoces, sabes qué herramienta coger antes de leer el resto de la frase:

«Estudie la posición relativa de las rectas r y s.» Rango de vectores directores y un determinante 3×3, nunca dibujar.
«Halle la distancia del punto P al plano π» (o «a la recta r»). La fórmula cambia según lo que mides: no es la misma cuenta.
«Determine (u obtenga) la ecuación del plano que…» pasa por tres puntos, contiene una recta, es paralelo a otro plano, etc. Cada condición te da un punto y dos vectores, o directamente la normal.
«Calcule el ángulo entre la recta r y el plano π» (o entre dos rectas, o entre dos planos). Siempre producto escalar, con los vectores adecuados según lo que compares.
«Compruebe si el punto P pertenece a la recta r» (o al plano π). Sustituye y comprueba, antes de lanzarte a calcular una distancia que en realidad es cero.

La explicación mínima suficiente

De la ecuación vectorial a las demás formas

Todas las ecuaciones de una recta cuentan lo mismo, un punto A y un vector director u, solo cambia cómo lo escriben:

Vectorial: X = A + t·u. Es la definición: cualquier punto de la recta es el punto A desplazado t veces en la dirección de u.
Paramétrica: separas la vectorial en sus tres coordenadas. Si A = (a₁, a₂, a₃) y u = (u₁, u₂, u₃), entonces x = a₁ + t·u₁, y = a₂ + t·u₂, z = a₃ + t·u₃. Es la forma que usas para barrer puntos de la recta (por ejemplo, para meterla dentro de la ecuación de un plano y hallar el corte).
Continua: despejas t en las tres ecuaciones paramétricas e igualas: (x − a₁)/u₁ = (y − a₂)/u₂ = (z − a₃)/u₃. Es la forma más rápida de leer punto y director a simple vista, y de pasar a la general.
General o implícita: una recta en el espacio no tiene una única ecuación, sino la intersección de dos planos: {a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0; a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0}. Se saca de la continua igualando cada fracción a las otras dos por separado.

Y al revés, cuando te dan la recta como intersección de dos planos, el director sale del producto vectorial de las dos normales: u = n₁ × n₂. Un punto lo sacas dando un valor cualquiera a una variable y resolviendo el sistema 2×2 que queda.

Para un plano pasa igual: la general ax + by + cz + d = 0 es la que usas para comprobar si un punto pertenece o para cortar con una recta. La vectorial o paramétrica X = A + λ·u + μ·v es la que usas cuando te dan el plano por un punto y dos direcciones y necesitas generar puntos. El paso de una a otra es siempre el mismo: si tienes A y dos vectores u, v del plano, la normal es n = u × v, y la general sale de n·(X − A) = 0.

Posiciones relativas de dos rectas: el criterio, no la memoria

Dadas r (punto A, director u) y s (punto B, director v), monta el vector AB = B − A y compara rangos, no fórmulas sueltas:

u, v	AB	Posición
proporcionales	proporcional a u	coincidentes (misma recta)
proporcionales	no proporcional a u	paralelas
no proporcionales	det[u, v, AB] = 0	se cortan (un único punto común)
no proporcionales	det[u, v, AB] ≠ 0	se cruzan (sin punto común, no coplanarias)

La distinción que más falla es la última fila. Rectas que se cortan están en el mismo plano y comparten exactamente un punto: puedes dibujarlas sobre un papel. Rectas que se cruzan no están en ningún plano común: en el espacio pasan una cerca de la otra sin tocarse, como dos calles a distinta altura. El determinante de los tres vectores (u, v y AB) es el test: si vale 0, los tres vectores son coplanarios y las rectas también; si no vale 0, no lo son.

Problema resuelto: ¿se cortan o se cruzan?

Recta r: pasa por A(1, 2, 0) con director u = (1, 1, 1). Recta s: pasa por B(2, 5, 0) con director v = (1, −1, 2).

Paso 1. ¿Son paralelas? u y v son proporcionales solo si u = k·v para algún k. Comparando primeras componentes, k = 1, pero entonces la segunda componente de v debería ser 1 y es −1. No son proporcionales: no son ni paralelas ni coincidentes. Quedan dos opciones, se cortan o se cruzan.

Paso 2. Monta AB. AB = B − A = (2 − 1, 5 − 2, 0 − 0) = (1, 3, 0).

Paso 3. Calcula el determinante. Con u, v y AB como filas:

| 1 | 1 | 1 | | 1 | −1 | 2 | | 1 | 3 | 0 |

Desarrollando por la primera fila: 1·((−1)·0 − 2·3) − 1·(1·0 − 2·1) + 1·(1·3 − (−1)·1) = 1·(−6) − 1·(−2) + 1·(4) = −6 + 2 + 4 = 0.

Paso 4. Conclusión. El determinante da 0 y los directores no son proporcionales: las rectas se cortan en un único punto.

Paso 5. Halla el punto. Igualas A + t·u = B + s·v coordenada a coordenada: 1 + t = 2 + s, 2 + t = 5 − s, t = 2s. De las dos primeras: t − s = 1 y t + s = 3, sumando queda 2t = 4, t = 2 y s = 1. La tercera ecuación es la de control: t − 2s = 2 − 2 = 0, se cumple, confirma que el sistema es compatible (si no se cumpliera, el determinante no habría dado 0). El punto de corte es A + 2u = (1 + 2, 2 + 2, 0 + 2) = (3, 4, 2). Comprueba con la otra recta: B + 1·v = (2 + 1, 5 − 1, 0 + 2) = (3, 4, 2). Coincide.

Producto escalar frente a producto vectorial: qué mide cada uno

Los dos operan con dos vectores, pero devuelven cosas distintas y sirven para preguntas distintas:

Producto escalar (u·v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃) devuelve un número. Mide cómo de alineados están dos vectores: si vale 0, son perpendiculares. Se usa para ángulos (cos α = u·v / (|u|·|v|)) y para comprobar perpendicularidad u ortogonalidad entre rectas, planos, o una recta y un plano.
Producto vectorial (u × v) devuelve otro vector, perpendicular a los dos factores, con módulo igual al área del paralelogramo que forman. Se usa para fabricar un vector nuevo: la normal de un plano a partir de dos de sus direcciones, o el director de una recta dada como corte de dos planos (a partir de sus normales).

La regla práctica: si la pregunta acaba en un número (un ángulo, una comprobación de perpendicularidad), es escalar. Si la pregunta acaba en un vector (una normal, un director que no tenías), es vectorial.

Distancias: qué mide cada fórmula

Tres fórmulas, tres preguntas distintas:

Punto a plano: d(P, π) = |a·x₀ + b·y₀ + c·z₀ + d| / √(a² + b² + c²), con P = (x₀, y₀, z₀) y π: ax + by + cz + d = 0. Mide la longitud del segmento perpendicular desde P hasta el plano.
Punto a recta: d(P, r) = |AP × u| / |u|, con A un punto de r y u su director. El numerador es el área del paralelogramo que forman AP y u; al dividir por la base |u| queda la altura, que es la distancia.
Entre dos rectas que se cruzan: d(r, s) = |det[AB, u, v]| / |u × v|. Si el determinante del numerador es 0, las rectas no se cruzan (se cortan o son coplanarias): esta fórmula solo tiene sentido cuando ya has comprobado que se cruzan.

Problema resuelto: distancia de un punto a un plano

Plano π: 2x − y + 2z − 3 = 0. Punto P = (1, 2, 3).

Paso 1. Identifica a, b, c, d. a = 2, b = −1, c = 2, d = −3.

Paso 2. Sustituye P en la parte de arriba. 2·1 + (−1)·2 + 2·3 − 3 = 2 − 2 + 6 − 3 = 3. Valor absoluto: 3.

Paso 3. Calcula el módulo del vector normal. √(2² + (−1)² + 2²) = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3.

Paso 4. Divide. d(P, π) = 3 / 3 = 1.

La distancia es 1 unidad. Compruébalo con sentido: el vector normal de π es n = (2, −1, 2), con módulo 3; si te mueves desde P una distancia 1 en la dirección de n/|n|, deberías caer sobre el plano. El resultado 1 es razonable porque P no está lejos del plano (basta sustituir P en 2x − y + 2z para ver que da 6, y el plano exige que valga 3).

Cómo determinar un plano según los datos que te den

Cualquier condición se reduce a lo mismo: consigue un punto del plano y dos vectores directores no proporcionales (o la normal directamente), y monta n·(X − A) = 0.

Tres puntos no alineados A, B, C: el punto es A, los directores son AB y AC.
Punto A y una recta r contenida en el plano (con A fuera de r): el punto es A, un director es el de r, el otro es el vector desde A hasta cualquier punto de r.
Punto A y dos direcciones u, v: directo, normal = u × v.
Paralelo a otro plano y pasa por A: la normal es la misma que la del otro plano, solo cambia el término independiente.

Problema resuelto: el plano que contiene una recta y pasa por un punto

Punto A = (2, 0, 3). Recta r pasa por P₀(0, 1, 2) con dirección w = (1, 0, −1). A no pertenece a r (si lo comprobamos: para que A esté en r, la segunda coordenada de r, que siempre vale 1, tendría que ser 0; no lo es). Como A no está en r, hay un único plano que contiene a r y pasa por A.

Paso 1. Consigue dos vectores del plano. Uno es el director de la recta, w = (1, 0, −1). El otro es el vector entre A y un punto de r: AP₀ = P₀ − A = (0 − 2, 1 − 0, 2 − 3) = (−2, 1, −1).

Paso 2. Calcula la normal con el producto vectorial. n = w × AP₀:

n₁ = 0·(−1) − (−1)·1 = 0 + 1 = 1 n₂ = (−1)·(−2) − 1·(−1) = 2 + 1 = 3 n₃ = 1·1 − 0·(−2) = 1 − 0 = 1

n = (1, 3, 1).

Paso 3. Monta la ecuación con el punto A. n·(X − A) = 0 → 1·(x − 2) + 3·(y − 0) + 1·(z − 3) = 0 → x + 3y + z − 5 = 0.

Paso 4. Comprueba con los dos datos. A(2, 0, 3): 2 + 0 + 3 − 5 = 0, correcto. P₀(0, 1, 2), que está en r: 0 + 3 + 2 − 5 = 0, correcto. Y la dirección w tiene que ser perpendicular a n porque está contenida en el plano: w·n = 1·1 + 0·3 + (−1)·1 = 1 − 1 = 0, correcto.

Para llevarte

Toda ecuación de recta o plano cuenta lo mismo (un punto y unas direcciones): cambia solo la forma de escribirlo, y cada forma sirve para una tarea distinta.
El producto escalar da un número (ángulos, perpendicularidad); el producto vectorial da un vector (normales, directores nuevos).
La posición relativa de dos rectas se decide con rangos y un determinante, nunca a ojo.
Se cortan (coplanarias, comparten un punto) y se cruzan (no coplanarias, sin punto común) no son sinónimos: el determinante de u, v y AB los separa.
Cada fórmula de distancia mide una cosa distinta: memorizarlas sin saber qué segmento calculan es la fuente de la mitad de los errores del bloque.
Antes de aplicar cualquier fórmula, comprueba si el dato que buscas ya es evidente (el punto ya está en la recta, las rectas ya son paralelas): te ahorras cuentas y errores de signo.

Errores que restan

Confundir rectas que se cruzan con rectas que se cortan. Se cortan significa que comparten un punto y son coplanarias (determinante 0); se cruzan significa que no comparten ningún punto y no hay plano que las contenga a las dos (determinante distinto de 0). Son conclusiones opuestas y se sacan del mismo cálculo: no lo dejes a la intuición.
Usar el vector de posición como si fuera el director. El punto A de X = A + t·u marca por dónde pasa la recta, no hacia dónde va: si comparas A con otro vector para ver si dos rectas son paralelas, el error es automático. El que se compara para el paralelismo es siempre u.
Olvidar normalizar (dividir por los módulos) al calcular un ángulo. cos α = u·v / (|u|·|v|): el numerador sin el denominador no es un coseno, y el resultado puede salir mayor que 1 o directamente sin sentido.
Confundir producto escalar con vectorial. Si te piden la normal de un plano y calculas u·v, obtienes un número, no un vector: no puedes montar una ecuación de plano con eso. La normal siempre sale de un producto vectorial.
No comprobar antes de operar si el dato ya es la respuesta. Si el punto ya satisface la ecuación del plano o de la recta, la distancia es 0 sin necesidad de aplicar ninguna fórmula; lanzarte a calcular sin mirar primero es la manera más común de perder tiempo con un resultado que ya tenías delante.

Autochequeo

Dos rectas tienen directores u = (2, 1, 0) y v = (4, 2, 0), proporcionales entre sí. AB no es proporcional a u. ¿Qué posición tienen?
Calculas el determinante de u, v y AB de dos rectas con directores no proporcionales y te da 0. ¿Se cortan o se cruzan?
Para hallar la normal de un plano a partir de dos vectores directores, ¿calculas u·v o u × v?
Vas a calcular el ángulo entre dos rectas y usas cos α = u·v (sin dividir por nada). ¿Qué te falta?
Un plano π contiene al punto Q, y te piden la distancia de Q a π. ¿Hace falta aplicar la fórmula de distancia punto-plano?

Soluciones orientativas: 1) Paralelas: los directores son proporcionales pero AB no lo es, así que no es la misma recta. 2) Se cortan: determinante 0 con directores no proporcionales significa coplanarias y no paralelas, luego hay un único punto común. 3) u × v: la normal es un vector, y solo el producto vectorial devuelve un vector perpendicular a los dos. 4) Te falta dividir por |u|·|v|: sin normalizar, ese número no es un coseno y no puedes sacar el ángulo. 5) No: si Q pertenece a π, la distancia es 0 por definición, sin necesidad de sustituir en ninguna fórmula.

Preguntas frecuentes

¿Cómo sé si dos rectas se cortan o se cruzan sin dibujar?

Con un determinante. Monta el vector AB entre un punto de cada recta y calcula det[u, v, AB], con u y v los directores. Si u y v no son proporcionales y el determinante da 0, se cortan (comparten un punto y son coplanarias). Si el determinante no da 0, se cruzan: no hay ningún plano que las contenga a las dos.

¿Cuándo uso producto escalar y cuándo producto vectorial?

Usa el escalar cuando el resultado que buscas es un número: un ángulo, o comprobar si dos vectores son perpendiculares. Usa el vectorial cuando el resultado que buscas es un vector: la normal de un plano a partir de dos direcciones, o el director de una recta dada como intersección de dos planos.

¿Por qué hay varias fórmulas de distancia y cómo elijo la correcta?

Porque cada una mide un segmento distinto. Punto a plano usa la ecuación general del plano y el módulo de su normal. Punto a recta usa un producto vectorial entre el vector al punto y el director, dividido por el módulo del director. Entre dos rectas que se cruzan usa un determinante (producto mixto) dividido por el módulo del producto vectorial de los directores. Si aplicas la fórmula equivocada, el resultado no tiene el sentido geométrico que te piden aunque el número salga.

Sigue por aquí

Este bloque completa lo que ya cubrimos de Matemáticas II en el blog: qué te pide el examen en general, los temas que más caen, los errores típicos que restan nota y cómo aprobar con un plan realista.

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