Probabilidad en Matemáticas II de Murcia: la pregunta 5

La pregunta 5 de Matemáticas II en la PAU de la Región de Murcia vale 2 puntos y, en las dos convocatorias del modelo de 2026, ha ofrecido siempre las mismas dos opciones: la 5.1, de probabilidad total y teorema de Bayes, y la 5.2, de distribuciones binomial o normal con las tablas estadísticas que se adjuntan al examen. En junio de 2026 la 5.1 fueron tres máquinas con distinto porcentaje de piezas defectuosas y la 5.2, bombillas defectuosas con binomial y aproximación normal; en julio de 2026, dos urnas y una normal de media y desviación desconocidas. Aquí están los cuatro ejercicios resueltos con el reparto de puntos del criterio oficial.

Qué ofrece la pregunta 5

En el modelo de 2026 las preguntas 4 y 5 tienen optatividad: eliges una de dos opciones y, si contestas las dos, solo se corrige la primera. La resolución oficial de julio de 2026 llama a esta pregunta «Sentido estocástico». Según el recuento de los doce exámenes oficiales de 2021 a 2026, la probabilidad cae todos los años, y en las dos convocatorias de 2026 el reparto fue el mismo:

• 5.1: un experimento en dos etapas (de qué máquina o de qué urna sale, y si es defectuosa o de qué color) resuelto con probabilidad total y Bayes.
• 5.2: una variable binomial, una normal o las dos, con lectura de las tablas estadísticas.

Con solo dos convocatorias de este formato no se puede decir qué opción «cae más» ni que la 5.2 sea siempre binomial. Lo que sí se puede decir es que las dos opciones exigen saber leer la tabla de la normal y organizar el problema antes de calcular.

Las tablas que se adjuntan al examen

La cabecera de los exámenes de 2026 es tajante: «Solo se podrán usar las tablas estadísticas que se adjuntan. No se podrán usar calculadoras gráficas ni programables». En la práctica significa dos cosas:

1. Trabaja siempre con la tabla de la normal tipificada N(0, 1), que da P(Z ≤ z) para z positivos con dos decimales. Los valores negativos se sacan por simetría: P(Z ≤ −z) = 1 − P(Z ≤ z).
2. Redondea z a dos decimales antes de buscarlo, como hace la resolución oficial de julio de 2024 (P(Z ≤ 1,071…) ≈ P(Z ≤ 1,07)).

5.1 de junio de 2026: tres máquinas y Bayes

Enunciado (resumido). La máquina A fabrica el 50 % de las piezas, con un 3 % defectuosas; la B, el 30 %, con un 4 % defectuosas; la C, el 20 %, con un 5 % defectuosas. Se elige una pieza al azar. a) Probabilidad de que sea defectuosa. b) Sabiendo que es defectuosa, probabilidad de que venga de B. c) Probabilidad de que no sea defectuosa sabiendo que viene de C.

Define los sucesos antes de nada: A, B y C (máquina de origen) y D (pieza defectuosa). Datos: P(A) = 0,5; P(B) = 0,3; P(C) = 0,2; P(D | A) = 0,03; P(D | B) = 0,04; P(D | C) = 0,05.

a) Probabilidad total (0,75 puntos)

P(D) = P(A) · P(D | A) + P(B) · P(D | B) + P(C) · P(D | C) = 0,5 · 0,03 + 0,3 · 0,04 + 0,2 · 0,05 = 0,015 + 0,012 + 0,010 = 0,037.

b) Teorema de Bayes (0,75 puntos)

P(B | D) = P(B) · P(D | B) / P(D) = 0,012 / 0,037 = 12/37 ≈ 0,3243.

c) Condicionada directa (0,5 puntos)

P(no D | C) = 1 − P(D | C) = 1 − 0,05 = 0,95.

Este apartado es una trampa de lectura: el enunciado ya te da la condición «viene de C», así que no hace falta Bayes ni probabilidad total. Quien aplica Bayes por inercia complica un apartado de medio punto.

5.1 de julio de 2026: dos urnas

Enunciado (resumido). La urna U1 tiene 5 bolas negras y 3 blancas; la U2, 6 negras y 2 blancas. Se escoge una urna al azar y se extrae una bola. a) Probabilidad de que sea blanca (1 punto). b) Sabiendo que es blanca, probabilidad de que venga de U1 (1 punto).

• a) P(Bl) = (1/2) · (3/8) + (1/2) · (2/8) = 5/16.
• b) P(U1 | Bl) = ((1/2) · (3/8)) / (5/16) = (3/16) / (5/16) = 3/5.

Son los resultados de la resolución oficial firmada por el coordinador de Matemáticas II de la Universidad de Murcia. Si quieres repasar cuándo aplicar Bayes y cuándo no, está desarrollado en teorema de Bayes en la PAU: cuándo usarlo.

5.2 de junio de 2026: bombillas, binomial y normal

Enunciado (resumido). El 5 % de las bombillas de una fábrica son defectuosas. a) Probabilidad de que en 9 bombillas haya exactamente 3 defectuosas (0,75 puntos). b) Probabilidad de que en 200 bombillas haya al menos 10 defectuosas (1,25 puntos).

a) Binomial exacta

X = número de defectuosas en 9 bombillas sigue una binomial B(9; 0,05), porque cada bombilla es defectuosa o no, con la misma probabilidad, de forma independiente.

P(X = 3) = C(9, 3) · 0,05³ · 0,95⁶ = 84 · 0,000125 · 0,7351 ≈ 0,0077.

Escribe la fórmula con el número combinatorio antes de sustituir: el resultado solo, sin desarrollo, vale 0 puntos según el criterio general.

b) Aproximación normal con corrección de continuidad

Ahora X sigue B(200; 0,05). Calcular P(X ≥ 10) sumando términos es inviable a mano, así que se aproxima por una normal:

1. Condiciones: n = 200 ≥ 30, n · p = 10 ≥ 5 y n · q = 190 ≥ 5. Se puede aproximar.
2. Parámetros: μ = n · p = 10 y σ = √(n · p · q) = √9,5 ≈ 3,08.
3. Corrección de continuidad: P(X ≥ 10) ≈ P(X’ ≥ 9,5), con X’ que sigue N(10; 3,08).
4. Tipificación: z = (9,5 − 10) / 3,08 ≈ −0,16.
5. Tabla: P(Z ≥ −0,16) = P(Z ≤ 0,16) = 0,5636.

El criterio de junio de 2026 solo dice «cálculo correcto de la probabilidad pedida [1,25 ptos.]» y no menciona la corrección de continuidad. Pero los criterios de Murcia de junio de 2023 y de julio de 2024 la exigían expresamente («aplicando la aproximación de la binomial por la normal y la corrección por continuidad de Yates»), y la resolución oficial de julio de 2024 la aplica. Hazla siempre y escribe que la haces. Sin corrección saldría P(Z ≥ 0) = 0,5, un valor bastante más alejado del exacto (0,545, que solo se obtiene por ordenador).

5.2 de julio de 2026: la normal con media y desviación desconocidas

Enunciado. Las edades de un grupo siguen una normal N(μ, σ). El 94,52 % tiene menos de 32 años y el 21,19 %, menos de 20. Calcula μ y σ.

El criterio reparte los 2 puntos así: 0,5 por la ecuación que sale de P(X < 32), 1 punto por la que sale de P(X < 20) y 0,5 por resolver el sistema. La segunda vale el doble porque exige usar la simetría.

1. Primera ecuación: P(Z < (32 − μ)/σ) = 0,9452. En la tabla, 0,9452 corresponde a z = 1,6. Luego (32 − μ)/σ = 1,6, es decir, μ + 1,6 · σ = 32.
2. Segunda ecuación: 0,2119 es menor que 0,5, así que el valor tipificado es negativo y no está en la tabla. Se usa el complementario: P(Z ≤ (μ − 20)/σ) = 1 − 0,2119 = 0,7881, que en la tabla es z = 0,8. Luego μ − 0,8 · σ = 20.
3. Sistema: restando, 2,4 · σ = 12, así que σ = 5 y μ = 24.

Es exactamente el camino de la resolución oficial de julio de 2026. El punto débil de este ejercicio es el paso 2: buscar 0,2119 en la tabla y no encontrarlo es la señal de que toca la simetría.

Errores que restan en la pregunta 5

Las observaciones generales de los doce exámenes de Murcia de 2021 a 2026 fijan que «los errores simples de cálculo restarán entre 0,1 y 0,25 puntos» y que las respuestas correctas «sin incluir el desarrollo necesario para llegar a su resolución serán valoradas con 0 puntos». En probabilidad, eso se traduce en:

• No definir los sucesos. Sin «sea D el suceso pieza defectuosa», las fórmulas no se leen y el corrector no puede seguir el desarrollo.
• Confundir P(B | D) con P(D | B). Es el error clásico de Bayes: una es el dato y la otra, la incógnita.
• Dar el número de la calculadora sin la fórmula en la binomial.
• Aproximar por la normal sin comprobar las condiciones ni aplicar la corrección de continuidad.
• Leer la tabla al revés con probabilidades menores que 0,5.

Tienes los errores de toda la asignatura, contados en los doce criterios, en errores que más penalizan en Matemáticas II de Murcia.

Cómo entrenar la pregunta 5

1. Recuperación activa. Escribe de memoria las fórmulas de probabilidad total, Bayes, binomial y tipificación, y las condiciones de la aproximación normal. Roediger y Karpicke (2006) mostraron que recuperar de memoria retiene mejor que releer.
2. Práctica intercalada. Mezcla 5.1 y 5.2 de 2025 y 2026 con las urnas y normales de 2021 a 2024, sin saber de antemano de qué tipo es cada una. Rohrer y Taylor (2007) observaron que mezclar tipos de problemas mejora la elección del método.
3. Autoexplicación. Antes de calcular, di qué distribución sigue la variable y por qué. Es la frase que convierte un número en desarrollo.
4. Práctica espaciada. La lectura de la tabla se olvida rápido; repásala unos minutos varias veces por semana en lugar de una sesión larga. La revisión de Dunlosky et al. (2013) valora la práctica espaciada como técnica de utilidad alta.
5. Simulacro cronometrado con las tablas reales. Entrena solo con tabla y calculadora científica no programable, como en el examen. La libreta de errores te ayuda a registrar en qué paso fallas cada vez.

Prueba la muestra y empieza la preparación

La muestra de Matemáticas II tiene temas abiertos de álgebra, análisis y geometría con el mismo método de plantear, justificar y calcular por separado.

La preparación de Matemáticas II para la Región de Murcia ya está abierta y trabaja las dos opciones de la pregunta 5 con los exámenes reales y las tablas del examen: empieza ya la preparación de Matemáticas II para Murcia. Si quieres ir directo, elige Matemáticas II y empieza.

Las preguntas de análisis del mismo examen están resueltas en optimización en Matemáticas II de Murcia y en Rolle y Lagrange en Matemáticas II de Murcia.

Fuentes oficiales

• Exámenes de junio y julio de 2026 (PAU, código 306) de la Región de Murcia, con sus criterios de calificación y, en julio, la resolución oficial del coordinador de Matemáticas II de la Universidad de Murcia. Enlaces al repositorio oficial en exámenes de selectividad de Murcia.
• Criterios de junio de 2023 y resolución oficial de julio de 2024, para la corrección de continuidad de Yates.
• Estructura de las Pruebas de Acceso (PAU2026), Comisión Organizadora del Distrito Universitario de la Región de Murcia. El formato de 2027 no está publicado; la referencia es el de 2026.

Preguntas frecuentes

¿Qué opciones tiene la pregunta 5 de Matemáticas II en Murcia?

En junio y julio de 2026, la 5.1 fue de probabilidad total y teorema de Bayes, y la 5.2, de distribuciones binomial o normal. Eliges una de las dos y vale 2 puntos.

¿Hay que aplicar la corrección de continuidad al aproximar la binomial por la normal?

Conviene hacerlo siempre. El criterio de junio de 2026 no la menciona, pero los de junio de 2023 y julio de 2024 la exigían expresamente y la resolución oficial de 2024 la aplica. Escribe el paso, por ejemplo P(X ≥ 10) ≈ P(X’ ≥ 9,5).

¿Qué tablas se pueden usar en el examen?

Solo las tablas estadísticas que se adjuntan al examen, según la cabecera de las convocatorias de 2026. Tampoco se permiten calculadoras gráficas ni programables.

¿Cómo busco en la tabla una probabilidad menor que 0,5?

Usa el complementario y la simetría de la normal: P(Z ≤ −z) = 1 − P(Z ≤ z). En julio de 2026, 0,2119 se convierte en 1 − 0,2119 = 0,7881, que en la tabla corresponde a z = 0,8.

¿Es mejor elegir la 5.1 o la 5.2?

Depende de lo que domines. La 5.1 es más corta si sabes organizar los sucesos; la 5.2 exige manejar bien la tabla. Con solo dos convocatorias del modelo de 2026 no hay datos para decir que una sea más fácil o más frecuente.

Siguiente paso

Para repartir el estudio de las cuatro preguntas de ciencias hasta junio, sigue con el plan de repaso de 8 semanas para las ciencias de la EBAU de Murcia.