tema 02 de 03 · Matemáticas II
Álgebra y matrices
Es la unidad más mecánica y agradecida del examen: los ejercicios están muy tipificados y con práctica salen casi siempre. La condición es respetar dos reglas que las matrices no comparten con los números: el producto no conmuta y no se divide.
Qué te va a pedir el examen
- Discutir un sistema con parámetro según los valores que tome, aplicando el teorema de Rouché-Frobenius, y resolverlo en el caso que se pida.
- Plantear y resolver un sistema a partir de un enunciado con palabras, nombrando las incógnitas.
- Calcular determinantes, rangos e inversas, también en función de un parámetro, y decir cuándo existe la inversa.
- Despejar una matriz en una ecuación matricial multiplicando por la inversa por el lado correcto.
- Razonar con propiedades de determinantes sin calcular la matriz.
1 Matrices: dos reglas que los números no tienen
El producto A·B solo existe si las columnas de A coinciden con las filas de B, y el elemento de la fila i y la columna j es la fila i de A por la columna j de B. Hasta aquí, cálculo. Lo que se pregunta como concepto son las rarezas: el producto no es conmutativo (A·B y B·A son en general distintos, incluso de distinto tamaño), no se puede simplificar (de A·B = A·C no se deduce B = C) y puede dar la matriz nula con factores no nulos. Sí valen la asociativa y la distributiva.
La traspuesta intercambia filas por columnas, y la propiedad que se usa es (A·B)t = Bt·At, con el orden invertido. La identidad I hace de uno: A·I = I·A = A. Y cuando piden una potencia grande, no se multiplica cientos de veces: se calculan A², A³, A⁴, se observa el patrón y se justifica.
2 Determinantes: el detector de rango máximo
El determinante de orden 2 es a·d − b·c; el de orden 3 se calcula por la regla de Sarrus (que vale solo para 3×3) o desarrollando por la fila o columna con más ceros. Lo importante es qué mide: |A| ≠ 0 equivale a que A tiene inversa y rango máximo. Un determinante no es una cuenta que hay que ejecutar, es la respuesta a «¿alguna fila es combinación de las otras?».
Las propiedades permiten resolver los ejercicios «sin calcular», y se preguntan en cadena: si una fila es de ceros o proporcional a otra, el determinante es 0; intercambiar dos filas cambia el signo; sumar a una fila una combinación de las otras no lo altera; |A·B| = |A|·|B|, |At| = |A| y |A−1| = 1/|A|. Y la que más se falla: al multiplicar la matriz entera por k, cada fila aporta un factor, así que |k·A| = kn·|A| para una matriz n×n, no k·|A|. Ojo también a la trampa contraria: |A + B| no es |A| + |B|.
La inversa se calcula por adjuntos: A−1 = (1/|A|)·(Adj A)t, y solo existe si |A| ≠ 0. Comprueba siempre que A·A−1 = I: son treinta segundos y detectan casi cualquier error de signo. Cuando la matriz lleva un parámetro, «¿para qué valores tiene inversa?» se responde resolviendo |A| ≠ 0.
3 Ecuaciones matriciales: por el lado correcto
En una ecuación como A·X + B = C se aísla X como con números, con una diferencia: no se divide, se multiplica por la inversa, y el lado importa porque el producto no conmuta. Si la ecuación queda A·X = B, se multiplica por A−1 por la izquierda y X = A−1·B. Si queda X·A = B, se multiplica por la derecha y X = B·A−1. Escribir X = B/A no significa nada.
Antes de despejar, comprueba que la inversa existe. Y si una ecuación se puede reescribir como sistema, hazlo: A·X = X, por ejemplo, es (A − I)·X = 0, un sistema homogéneo que se discute con las herramientas de la sección siguiente.
4 Rouché-Frobenius: comparar dos rangos
El rango es el número de filas linealmente independientes, y se calcula como el orden del mayor menor no nulo o contando filas no nulas tras escalonar por Gauss. Con él, el teorema de Rouché-Frobenius clasifica cualquier sistema comparando el rango de la matriz de coeficientes A con el de la ampliada A*: si coinciden y valen el número de incógnitas, compatible determinado (solución única); si coinciden pero son menores, compatible indeterminado (infinitas soluciones); si no coinciden, incompatible.
El ejercicio estrella es la discusión con parámetro, y tiene un método fijo. Uno: calcula |A| en función del parámetro y resuelve |A| = 0; los valores que salen son los críticos, donde el rango baja porque una ecuación se ha vuelto combinación de las otras. Dos: para los demás valores, |A| ≠ 0, el rango es máximo y el sistema es compatible determinado. Tres: para cada valor crítico, sustituye y compara el rango de A con el de A*. La respuesta tiene que cubrir todos los casos y escribir la conclusión con palabras: «rango 2» sin decir qué tipo de sistema es deja puntos sobre la mesa.
Un caso que cae como cuestión conceptual: el sistema homogéneo, con todos los términos independientes nulos, es siempre compatible porque la solución trivial existe siempre. Será determinado si |A| ≠ 0 e indeterminado, con soluciones distintas de la trivial, si |A| = 0. Nunca incompatible.
5 Resolver: Cramer, Gauss y el parámetro libre
Si el sistema es compatible determinado, la regla de Cramer da cada incógnita como el cociente |Ai|/|A|, donde Ai es A con la columna i sustituida por los términos independientes. Solo vale con el sistema cuadrado y |A| ≠ 0. Gauss sirve siempre y es el más seguro con números feos. Si el sistema es compatible indeterminado, se pasa una incógnita al segundo miembro como parámetro y se expresan las otras en función de él: la solución es un conjunto infinito y hay que escribirla como tal.
En los problemas con enunciado (mezclas, precios, inversiones) lo que se falla no es el sistema, es el planteamiento, y es lo que más puntúa. Nombra las incógnitas por escrito, traduce cada frase a una ecuación por separado, resuelve, y responde con unidades comprobando que la solución tiene sentido. Aunque una ecuación esté mal planteada, resolver bien el sistema sigue dando puntos: nunca lo dejes a medias.
Para llevarte
- El producto de matrices no conmuta y no se divide: en A·X = B la inversa va por la izquierda, y en X·A = B, por la derecha.
- |A| ≠ 0 equivale a inversa y rango máximo; los valores del parámetro que anulan |A| son los críticos y hay que estudiarlos uno a uno.
- |k·A| = k elevado al orden de la matriz por |A|; |A·B| = |A|·|B|; |A + B| no es |A| + |B|.
- Rouché-Frobenius compara dos rangos: sin la ampliada no se distingue un sistema incompatible de uno indeterminado.
- Un sistema homogéneo es siempre compatible: determinado si |A| ≠ 0, indeterminado si |A| = 0.
- Cramer solo con |A| ≠ 0; si el sistema es indeterminado, la solución se escribe con un parámetro.
Errores que restan
- Multiplicar por la inversa por el lado equivocado al despejar en una ecuación matricial.
- Clasificar un sistema mirando solo el rango de A, sin compararlo con el de la ampliada.
- Dar el rango numérico sin escribir la conclusión con palabras (compatible determinado, indeterminado o incompatible).
- Escribir |k·A| = k·|A| en lugar de k elevado al orden de la matriz.
- Aplicar Cramer o Sarrus fuera de sus condiciones: Cramer con |A| = 0, Sarrus con matrices que no son 3×3.
Autochequeo
Responde sin mirar arriba. Si fallas, mejor aquí que el día del examen: cada opción trae su porqué.
1. En la ecuación X·A = B, con A invertible, ¿cómo se despeja X?
Para que A<sup>−1</sup> cancele a A tiene que quedar pegada a ella: X·A·A<sup>−1</sup> = B·A<sup>−1</sup>, y X = B·A<sup>−1</sup>. Multiplicar por la izquierda es el fallo documentado, dividir no existe entre matrices, y la asociativa no tiene nada que ver: lo que falta es la conmutativa, y por eso el lado importa.
2. A es una matriz 3×3 con |A| = 2. ¿Cuánto vale |3·A|?
Multiplicar la matriz por 3 multiplica cada una de sus tres filas por 3, y cada fila aporta un factor al determinante: |3·A| = 3³·|A| = 27·2 = 54. Responder 6 es aplicar k·|A|, el error clásico; 18 se queda en k²; y 8 confunde |k·A| con |A| elevado a algo.
3. Al sustituir un valor crítico del parámetro, obtienes rango de A igual a 2 y rango de la ampliada igual a 3, con tres incógnitas. ¿Qué sistema es?
Rouché-Frobenius decide con los rangos, y la primera comparación es entre A y A*: si no coinciden, el sistema es incompatible. Concluir «infinitas soluciones» porque el rango bajó es justo el error de mirar solo A: un rango menor que las incógnitas solo da indeterminado si la ampliada tiene el mismo rango.
4. Un sistema homogéneo de tres ecuaciones con tres incógnitas tiene |A| = 0. ¿Cómo es?
Un homogéneo nunca es incompatible: la solución nula lo cumple siempre, y la columna de ceros no puede subir el rango de la ampliada. Con |A| ≠ 0 la trivial sería la única solución; con |A| = 0 el rango baja y aparecen infinitas. Esta pregunta cae mucho como cuestión conceptual, y la respuesta cabe en dos líneas.
5. Un sistema cuadrado tiene |A| = 0. ¿Puedes resolverlo por Cramer?
Cramer divide por |A|, así que con determinante nulo no está definido. La inversa tampoco existe en ese caso, por la misma razón. Lo que toca es discutir con Rouché-Frobenius y, si el sistema resulta indeterminado, dejar una incógnita como parámetro; si es incompatible, no hay nada que resolver.
La pregunta que decide si lo tienes
Discute según los valores de k el sistema x + y + z = 1; x + 2y − z = 2; 2x + 3y + kz = 3, y resuélvelo en el caso en que tenga infinitas soluciones.
Pista 1
Calcula el determinante de la matriz de coeficientes en función de k y resuelve |A| = 0. Ese valor es el único crítico; para el resto, el rango es máximo y ya sabes qué tipo de sistema es.
Pista 2
Para el valor crítico, fíjate en las ecuaciones antes de calcular menores: suma la primera y la segunda y compárala con la tercera, también en los términos independientes. Si una ecuación es suma de las otras dos, sobra, y te quedan dos ecuaciones con tres incógnitas.
Solución
El determinante de la matriz de coeficientes, desarrollado por la primera fila, es 1·(2k + 3) − 1·(k + 2) + 1·(3 − 4) = k. Así que el único valor crítico es k = 0. Para k ≠ 0, |A| ≠ 0: el rango de A y el de la ampliada valen 3, igual que el número de incógnitas, y el sistema es compatible determinado, con solución única (que se hallaría por Cramer o Gauss si la pidieran). Para k = 0, la tercera ecuación es exactamente la suma de las dos primeras, también en el término independiente (1 + 2 = 3): el rango de A y el de la ampliada valen 2, coinciden y son menores que 3, luego por Rouché-Frobenius el sistema es compatible indeterminado. Se resuelve con las dos primeras ecuaciones tomando z = t como parámetro: restando la primera de la segunda queda y − 2z = 1, es decir, y = 1 + 2t, y de la primera x = 1 − y − z = −3t. Solución: (x, y, z) = (−3t, 1 + 2t, t) con t real. Comprueba con t = 1: (−3, 3, 1) cumple las tres ecuaciones. Fíjate en el orden del razonamiento, porque es lo que se corrige: determinante, valor crítico, caso general con su conclusión en palabras, caso crítico comparando los dos rangos, y la solución escrita como conjunto infinito.