Geometría en el espacio

Qué te va a pedir el examen

• Escribir las ecuaciones de rectas y planos en sus distintas formas y pasar de una a otra.
• Estudiar la posición relativa de dos rectas, o de una recta y un plano, a menudo en función de un parámetro.
• Calcular distancias (punto a plano, punto a recta, entre rectas que se cruzan) y ángulos.
• Hallar el punto simétrico de un punto respecto de un plano o de una recta, y la proyección ortogonal.
• Calcular áreas de triángulos y volúmenes de tetraedros con el producto vectorial y el mixto.

1 Las tres herramientas, y qué mide cada una

El producto escalar da un número: u·v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃, y también |u|·|v|·cos α. Sirve para ángulos, con cos α igual al producto escalar entre el producto de los módulos, y para perpendicularidad: dos vectores son perpendiculares si y solo si su producto escalar es 0. Ese criterio es el más usado de toda la unidad.

El producto vectorial da un vector perpendicular a los dos, con módulo |u|·|v|·sen α. Por eso sirve para hallar normales y direcciones perpendiculares, y por eso su módulo es el área del paralelogramo que forman: el área del triángulo de vértices A, B y C es la mitad del módulo de AB × AC. Cambia de signo al cambiar el orden y vale 0 si los vectores son paralelos.

El producto mixto vuelve a dar un número: [u, v, w] = u·(v × w), el determinante 3×3 de las tres componentes. Su valor absoluto es el volumen del paralelepípedo, el del tetraedro es la sexta parte, y vale 0 si y solo si los tres vectores son coplanarios. De ahí sale el criterio para saber si cuatro puntos están en un plano y, como verás, para saber si dos rectas se cruzan.

2 Rectas y planos: lo que dice cada ecuación

Una recta queda fijada por un punto y un vector director. En paramétricas, (x, y, z) = P + λ·v; en continua, (x − p₁)/v₁ = (y − p₂)/v₂ = (z − p₃)/v₃; en implícitas, como intersección de dos planos. Este último caso esconde el paso que más se olvida: para operar con su director hay que obtenerlo, o resolviendo el sistema con un parámetro libre o como producto vectorial de los dos normales. Si un denominador de la continua es 0, no es un error: esa coordenada es constante.

Un plano queda fijado por un punto y dos direcciones, o por un punto y un vector normal. Y este es el dato más útil de toda la unidad: en la ecuación general Ax + By + Cz + D = 0, los coeficientes (A, B, C) son el vector normal. Sin la D, que no es una coordenada. Con un punto y dos vectores del plano, el normal sale de su producto vectorial; con un punto y el normal, se sustituye y se despeja D.

Los casos típicos de «halla el plano que…» se resuelven identificando esas dos piezas: por tres puntos, dos vectores entre ellos como direcciones; que contiene una recta y un punto exterior, el director y el vector del punto de la recta al exterior; perpendicular a una recta, el director de la recta es el normal del plano; que contiene una recta y es perpendicular a otro plano, el director de la recta y el normal del plano dado como direcciones. Cuidado con cruzar director y normal: son conceptualmente opuestos.

3 Posiciones relativas: el producto mixto decide

Recta y plano: compara el director v con el normal n. Si v·n ≠ 0, se cortan en un punto, que se halla sustituyendo las paramétricas en el plano y despejando λ. Si v·n = 0, la recta es paralela al plano o está contenida en él, y el producto escalar no distingue esos dos casos por sí solo: hay que sustituir un punto de la recta en la ecuación del plano. Si la cumple, contenida; si no, paralela.

Dos rectas: primero los directores. Si son proporcionales, son paralelas o coincidentes, y un punto de una decide: si está en la otra, coinciden. Si no son proporcionales, calcula el producto mixto de los dos directores y el vector que une un punto de cada recta: si vale 0, son coplanarias y se cortan; si no, se cruzan. Concluir que dos rectas se cortan solo porque sus directores no son proporcionales, sin ese producto mixto, es un error documentado. Y usar el escalar donde va el mixto, otro.

Dos planos: compara los normales. Si (A, B, C) y D son todos proporcionales, coincidentes; si lo son los normales pero no la D, paralelos; si no, secantes en una recta. Comprueba las dos condiciones antes de decir «coincidentes».

4 Distancias y ángulos: el valor absoluto y el seno

La fórmula que más se usa: la distancia de un punto P a un plano es el valor absoluto de A·p₁ + B·p₂ + C·p₃ + D dividido por la raíz de A² + B² + C². De ella salen las demás distancias con planos: de una recta paralela a un plano, la de cualquier punto de la recta; entre planos paralelos, la de un punto de uno al otro. La distancia de un punto a una recta es el módulo del producto vectorial de PQ por el director, dividido por el módulo del director, con Q un punto de la recta. Y entre rectas que se cruzan, el valor absoluto del producto mixto entre el módulo del producto vectorial de los directores: un volumen entre un área.

Antes de aplicar cualquier fórmula de distancia entre rectas o entre recta y plano, decide la posición relativa: si se cortan, la distancia es 0, y la fórmula a ciegas da un número sin sentido. Y no olvides el valor absoluto: una distancia negativa es un aviso de que falta.

Para los ángulos, mira qué vectores entran. Entre dos rectas, los directores, con coseno; entre dos planos, los normales, también con coseno; y entre recta y plano, director y normal, pero con seno, porque el ángulo se mide contra el plano y no contra su normal. El valor absoluto en el numerador da siempre el ángulo agudo. Confundir seno y coseno en el tercer caso es el error más frecuente de la unidad.

5 Simétricos y proyecciones: el punto medio hace el trabajo

El simétrico de P respecto de un plano se halla en tres pasos: traza la recta perpendicular al plano por P (su director es el normal del plano), halla su punto de corte M con el plano, y aplica P' = 2M − P, porque M es el punto medio entre P y su simétrico. Ese M es además la proyección ortogonal de P sobre el plano, el punto del plano más cercano a P.

Respecto de una recta, la misma idea con el plano auxiliar perpendicular a la recta por P: se corta con la recta para obtener el pie M, y P' = 2M − P. Una comprobación gratuita que detecta los errores de signo: la distancia de P' al plano (o a la recta) tiene que coincidir con la de P.

Errores que restan

• Usar coseno en el ángulo entre recta y plano: va con seno, porque se mide contra el plano y no contra la normal.
• Olvidar el valor absoluto en las fórmulas de distancia y dar una distancia negativa.
• Tomar como normal (A, B, C, D) o confundir el vector director de una recta con el normal de un plano.
• Decir que dos rectas se cortan porque sus directores no son proporcionales, sin calcular el producto mixto.
• Calcular una distancia entre rectas o entre recta y plano sin haber decidido antes la posición relativa, u olvidar el 1/2 del triángulo y el 1/6 del tetraedro.

Autochequeo

Responde sin mirar arriba. Si fallas, mejor aquí que el día del examen: cada opción trae su porqué.