Rolle y Lagrange en Matemáticas II de Murcia: pregunta 4.1

La opción 4.1 de Matemáticas II en la PAU de la Región de Murcia pide justificar, con el teorema de Rolle o el de Lagrange, que la derivada de una función toma un valor en un intervalo. El criterio oficial de 2026 la puntúa en dos mitades exactas: 1 punto por comprobar que la función cumple las hipótesis del teorema y 1 punto por usarlo para concluir. En junio de 2026 el criterio aceptaba literalmente el «teorema de Lagrange (o de Rolle)»; en julio de 2026, Lagrange. Es una pregunta corta, de redacción casi fija, y por eso es de las más rentables del examen si sabes escribirla.

Dónde está la 4.1 en el examen

El modelo de 2026 tiene cinco preguntas de 2 puntos. Las preguntas 1, 2 y 3 son obligatorias; en la 4 y en la 5 eliges una de dos opciones. En las dos convocatorias de 2026, la pregunta 4 ofreció lo mismo: 4.1, un teorema de existencia (Rolle o Lagrange), y 4.2, integración o cálculo de áreas. Si contestas las dos, solo se corrige la primera que aparezca en tu hoja.

Lo que el examen pide en la 4.1 no es una demostración del teorema, sino aplicarlo: comprobar hipótesis, calcular un par de valores y concluir. Todo cabe en media cara.

La plantilla de redacción: 1 punto + 1 punto

El criterio de junio y de julio de 2026 dice lo mismo con palabras casi idénticas:

Justificación de que la función cumple las condiciones del teorema de Lagrange (o de Rolle). [1 pto.]. Uso del teorema de Lagrange (o de Rolle) para concluir la existencia del punto pedido. [1 pto.].

De ahí sale una plantilla que puedes aplicar a cualquier enunciado de este tipo:

1. Continuidad en el intervalo cerrado [a, b]. Di por qué: suma, producto o composición de funciones continuas, y que no hay puntos problemáticos (denominadores que se anulen, logaritmos de números no positivos).
2. Derivabilidad en el intervalo abierto (a, b). Mismo razonamiento.
3. Solo para Rolle: f(a) = f(b). Calcúlalo, no lo afirmes.
4. Aplicación del teorema. «Por el teorema de … existe c ∈ (a, b) tal que …».
5. Conexión con lo que pide el enunciado. Calcula el cociente (f(b) − f(a)) / (b − a) y comprueba que da el valor pedido.

Los pasos 1 a 3 son el primer punto; los pasos 4 y 5, el segundo.

Junio de 2026: la derivada se anula en (0, 1)

Enunciado. Justifique que la derivada de la función f(x) = eˣ · (x − 1) + 1 − x se anula en algún punto del intervalo (0, 1).

Hipótesis (1 punto)

• f es continua en [0, 1] y derivable en (0, 1), porque es suma y producto de funciones continuas y derivables en todo ℝ: la exponencial y polinomios.
• f(0) = e⁰ · (0 − 1) + 1 − 0 = −1 + 1 = 0.
• f(1) = e¹ · (1 − 1) + 1 − 1 = 0.
• Por tanto, f(0) = f(1) = 0.

Conclusión (1 punto)

Se cumplen las hipótesis del teorema de Rolle, así que existe c ∈ (0, 1) tal que f’(c) = 0, que es lo que pide el enunciado.

Con Lagrange se llega a lo mismo: existe c ∈ (0, 1) con f’(c) = (f(1) − f(0)) / (1 − 0) = 0 / 1 = 0. Por eso el criterio de junio acepta los dos teoremas.

Si quieres comprobarlo por tu cuenta (no lo pide el examen): f’(x) = eˣ · (x − 1) + eˣ − 1 = x · eˣ − 1, que vale −1 en x = 0 y e − 1 > 0 en x = 1. El punto donde se anula está hacia x ≈ 0,567.

Julio de 2026: la derivada alcanza ln(25/2) en (1, 2)

Enunciado. Justifique que la derivada de la función f(x) = x · ln(x² + 1) alcanza el valor ln(25/2) en algún punto del intervalo (1, 2).

Hipótesis (1 punto)

• x² + 1 > 0 para todo x, así que ln(x² + 1) está definido, es continuo y derivable en todo ℝ.
• f es producto de x y ln(x² + 1), luego es continua en [1, 2] y derivable en (1, 2).

Conclusión (1 punto)

Por el teorema de Lagrange (del valor medio), existe c ∈ (1, 2) tal que

f’(c) = (f(2) − f(1)) / (2 − 1) = 2 · ln(5) − ln(2) = ln(25) − ln(2) = ln(25/2).

Es la resolución oficial que firma el coordinador de Matemáticas II en julio de 2026, casi palabra por palabra. Fíjate en el paso de 2 · ln(5) a ln(25): es una propiedad de los logaritmos que hay que escribir, porque el enunciado da el valor como ln(25/2) y tú tienes que llegar exactamente ahí.

Aquí Rolle no sirve, porque f(1) = ln 2 y f(2) = 2 · ln 5 no son iguales. Si el valor pedido para la derivada no es 0, casi siempre el camino es Lagrange.

Cómo elegir entre 4.1 y 4.2

La elección es tuya y la puedes hacer en cada convocatoria sin compromiso. Para decidir rápido, compara lo que pide cada una:

	4.1 (teoremas)	4.2 (integración)
Junio de 2026	Rolle o Lagrange con eˣ · (x − 1) + 1 − x	∫ 1 / (x · (ln x)²) dx (1,5 puntos) y la primitiva que pasa por (e, 1) (0,5 puntos)
Julio de 2026	Lagrange con x · ln(x² + 1)	∫ (1/2 + cos x) dx (0,5 puntos) y el área entre 0 y π (1,5 puntos, con 0,75 solo por estudiar el signo)
Riesgo principal	Olvidar una hipótesis o no calcular f(a) y f(b)	Un cambio de variable mal hecho o no ver que la función cambia de signo

La 4.2 de julio muestra el tipo de trampa de la integración: f(x) = 1/2 + cos(x) se anula en x = 2π/3 dentro de [0, π], y el criterio pagaba 0,75 puntos solo por ese estudio de signo. La 4.1, en cambio, tiene menos cálculo y una redacción repetible. Si la dominas, es una elección segura; si no, la integración inmediata o por cambio de variable está explicada en cómo resolver integrales en Matemáticas II.

Errores que restan en la 4.1

Las observaciones generales de los criterios de Murcia, iguales en los doce exámenes de 2021 a 2026, establecen que «los errores simples de cálculo restarán entre 0,1 y 0,25 puntos» y que las respuestas correctas «sin incluir el desarrollo necesario para llegar a su resolución serán valoradas con 0 puntos». En esta pregunta se traduce en:

• Escribir «se cumplen las hipótesis» sin decir cuáles ni por qué. Pierdes el primer punto entero.
• Confundir cerrado y abierto. Continuidad en [a, b], derivabilidad en (a, b). Invertirlo es un error de notación que el criterio también valora («se valorará el correcto uso del vocabulario y de la notación»).
• Aplicar Rolle sin comprobar que f(a) = f(b). Si no lo calculas, la conclusión no está justificada.
• Dejar el resultado como 2 · ln 5 − ln 2 sin llegar a ln(25/2). El enunciado te da el valor al que tienes que llegar; la cuenta tiene que acabar en él.
• Intentar calcular c. No se pide y consume tiempo. El teorema garantiza que existe, y eso es lo que se evalúa.

Cómo entrenar los teoremas

Esta pregunta premia la precisión de la redacción más que el cálculo, así que el entrenamiento tiene que ser de escribir, no de leer:

1. Recuperación activa de la plantilla. Escribe de memoria los enunciados de Rolle y de Lagrange, con sus hipótesis, hasta que salgan sin mirar. La revisión de Dunlosky et al. (2013) sitúa la práctica de recuperación entre las técnicas de utilidad alta.
2. Autoexplicación. Para cada función, explica por qué es continua y derivable en una frase propia. Si dudas entre «es un polinomio» y «es composición de continuas», es que aún no lo tienes claro.
3. Práctica intercalada. Alterna la 4.1 con la 4.2 y con los límites y derivadas de la pregunta 2. Rohrer y Taylor (2007) observaron que mezclar tipos de problemas mejora la elección del método en el examen, que aquí es decidir entre Rolle y Lagrange.
4. Práctica espaciada. Vuelve a redactar los dos ejercicios de 2026 a los tres días, a la semana y al mes. El calendario de repasos te organiza esas citas.
5. Simulacro cronometrado. En un examen de 90 minutos y cinco preguntas, la 4.1 bien redactada no debería llevarte más de 10 minutos, lo que te deja margen para las preguntas largas.

Prueba la muestra y empieza la preparación

En la muestra de Matemáticas II tienes abierto el tema de análisis, con la misma forma de trabajar: hipótesis, cálculo y conclusión por separado.

La preparación completa para la Región de Murcia ya está abierta y entrena las dos opciones de la pregunta 4 con los exámenes reales y su criterio: empieza ya la preparación de Matemáticas II para Murcia. Si vas a presentarte en 2027, elige Matemáticas II y empieza.

La otra pregunta de análisis, la de optimización, está resuelta en optimización en Matemáticas II de Murcia: la pregunta 2. Para derivadas y límites desde la base, lee límites, derivadas y funciones en Matemáticas II.

Fuentes oficiales

• Exámenes de junio y julio de 2026 (PAU, código 306) de la Región de Murcia, con sus criterios de calificación («OBSERVACIONES PARTICULARES», pregunta 4.1) y la resolución oficial de julio firmada por el coordinador de Matemáticas II de la Universidad de Murcia. Enlaces al repositorio oficial en exámenes de selectividad de Murcia.
• Estructura de las Pruebas de Acceso (PAU2026), Comisión Organizadora del Distrito Universitario de la Región de Murcia. El formato de 2027 no está publicado todavía; la referencia es el de 2026.

Preguntas frecuentes

¿Qué diferencia hay entre el teorema de Rolle y el de Lagrange?

Rolle exige además que f(a) = f(b) y garantiza un punto donde la derivada vale 0. Lagrange no exige esa igualdad y garantiza un punto donde la derivada vale (f(b) − f(a)) / (b − a). Rolle es un caso particular de Lagrange.

¿Cuánto vale cada parte de la pregunta 4.1?

En junio y julio de 2026, 1 punto por justificar que se cumplen las hipótesis del teorema y 1 punto por usarlo para concluir la existencia del punto. La pregunta completa vale 2 puntos sobre 10.

¿Tengo que calcular el punto c?

No. El enunciado pide justificar que existe, y el teorema lo garantiza sin calcularlo. En junio de 2026, por ejemplo, el punto no se puede despejar a mano de forma exacta.

¿Puedo usar Lagrange aunque me pidan que la derivada se anule?

Sí. Si f(a) = f(b), el cociente de Lagrange vale 0, y el criterio de junio de 2026 aceptaba expresamente «el teorema de Lagrange (o de Rolle)». Lo importante es comprobar las hipótesis del teorema que uses.

¿Qué pasa si contesto la 4.1 y la 4.2?

Solo se corrige la primera opción que aparezca en tu hoja, según la cabecera de los exámenes de 2026. Si empiezas una y cambias de idea, tacha con claridad la que no quieras que se corrija.

Siguiente paso

Con las dos preguntas de análisis, la 2 y la 4, te queda el bloque de probabilidad. Sigue en probabilidad en Matemáticas II de Murcia: la pregunta 5.