Análisis

Qué te va a pedir el examen

• Calcular límites resolviendo indeterminaciones, con L'Hôpital cuando toca y solo cuando toca.
• Hallar los parámetros que hacen continua, o continua y derivable, una función definida a trozos.
• Escribir la recta tangente en un punto, o el problema inverso: dada la tangente, hallar el parámetro de la función.
• Resolver un problema de optimización con contexto: plantear la función, reducirla a una variable, derivar y justificar el extremo.
• Calcular primitivas e integrales definidas con la regla de Barrow, y con ellas el área de un recinto plano.

1 Límites: primero reconoce la indeterminación

Casi todo el trabajo con límites consiste en reconocer la indeterminación y aplicar la técnica que le corresponde. Con 0/0 y polinomios, factoriza y simplifica; con raíces, multiplica por el conjugado. Con ∞/∞ compara grados: si gana el numerador, el límite es infinito; si empatan, es el cociente de los coeficientes principales; si gana el denominador, es 0. Con ∞ − ∞ y raíces, otra vez el conjugado. Y con 1^∞ entra el número e: el límite de f(x)^g(x) vale e elevado al límite de g(x)·(f(x) − 1).

La herramienta central es la regla de L'Hôpital: si el cociente da 0/0 o ∞/∞, su límite coincide con el del cociente de las derivadas, y se puede aplicar varias veces seguidas. Dos avisos que valen puntos. Primero, comprueba la indeterminación antes de aplicarla: usarla sin que la haya es un error conceptual que se penaliza. Segundo, no se deriva como cociente: se deriva arriba y abajo por separado. El ejemplo que conviene tener hecho: cuando x tiende a 0, (e^3x − 1)/ln(1 + 2x) da 0/0, las derivadas son 3e^3x y 2/(1 + 2x), y el límite es 3/2.

De los límites en el infinito salen las asíntotas: vertical en x = a si el límite ahí es infinito (típico donde se anula un denominador), horizontal y = k si el límite en el infinito es k, y oblicua y = mx + n si no hay horizontal, con m como límite de f(x)/x y n como límite de f(x) − mx. En una racional, la oblicua aparece cuando el grado del numerador supera en exactamente uno al del denominador. Y en la vertical, di también qué pasa a cada lado: los límites laterales son lo que dice si la curva sube o baja.

2 Continua primero, derivable después

Una función es continua en x = a si se cumplen tres cosas a la vez: existe f(a), existe el límite en a (los laterales coinciden) y los dos valores son iguales. El ejercicio clásico es una función definida a trozos con un parámetro: dentro de cada trozo la continuidad está garantizada, así que todo el trabajo está en el punto de empalme. Se igualan los límites laterales al valor de la función y se despeja.

La derivabilidad exige más. Si una función es derivable en un punto, es continua en él; el recíproco es falso, y el ejemplo que hay que llevar es el valor absoluto de x en 0, continuo y con una esquina. De ahí el orden que ahorra trabajo y puntos: primero comprueba la continuidad; si falla, no puede ser derivable y has terminado. Si se cumple, calcula las derivadas laterales y exige que coincidan.

Cuando el enunciado da dos parámetros y pide «continua y derivable», salen dos ecuaciones, una por cada condición, que se resuelven como sistema. Es un tipo muy repetido, y cae con la misma estructura en cualquier comunidad. Fíjate en que aquí, como en toda la unidad, el enunciado se traduce a ecuaciones: la traducción es el ejercicio.

3 La derivada aplicada: tangente, extremos y optimización

La derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente, y la tangente en x = a se escribe y − f(a) = f'(a)·(x − a). Es un tipo directo y muy frecuente, y a veces viene invertido: te dan la recta tangente y piden el parámetro de la función. El matiz que decide el ejercicio: una recta tangente completa esconde dos condiciones, la pendiente, que es f'(a), y el paso por el punto, que es f(a). Quien usa solo una se queda a medias.

Para la monotonía, estudia el signo de f': positiva, creciente; negativa, decreciente. Los candidatos a extremo son los puntos donde f' se anula y, en funciones a trozos o con valor absoluto, también los puntos donde no existe la derivada: las esquinas pueden ser extremos. Se clasifican por el cambio de signo de f' o con f''. Y la curvatura la decide la segunda derivada, no la primera: f'' positiva, convexa; negativa, cóncava; punto de inflexión donde f'' cambia de signo.

La optimización es el problema con contexto por excelencia, y tiene un método fijo. Uno: identifica la magnitud a optimizar (área, coste, volumen) y escríbela como función. Dos: usa la restricción del enunciado para dejarla en una sola variable; con dos variables libres, derivar no tiene sentido. Tres: deriva, iguala a cero y resuelve. Cuatro: justifica que es máximo o mínimo con el signo de f' o con f''. Cinco: responde a la pregunta real, con dimensiones y unidades. Ese cuarto paso tiene puntuación propia en los criterios, y es el que más gente se deja.

4 Integrales: primitivas, Barrow y el área con signo

La primitiva de f es una función F con F' = f, y la integral indefinida es toda la familia F(x) + C. Las inmediatas son la tabla de derivadas leída al revés, y conviene tener automático el tipo logaritmo: si arriba está la derivada de lo de abajo, la integral es ln del valor absoluto del denominador. Para productos, integración por partes: la integral de u·dv es u·v menos la integral de v·du, eligiendo como u lo que se simplifica al derivar (logaritmos y polinomios antes que exponenciales y trigonométricas). Para racionales, si el grado del numerador iguala o supera al del denominador, divide primero; el resto se descompone en fracciones simples.

Cuando piden «la primitiva que pasa por un punto», la constante no es decorativa: se calcula la familia F(x) + C y se usa el punto para fijar C. Olvidar la constante, o dejarla sin determinar, se descuenta aparte del cálculo de la primitiva.

La regla de Barrow convierte la integral definida en un número: F(b) − F(a). Y aquí está el error más caro de toda la unidad: la integral definida no es el área, es el área con signo. Donde la curva va por debajo del eje, la integral sale negativa. El procedimiento correcto para un área tiene cuatro pasos: halla los cortes con el eje (o entre las dos curvas), parte el intervalo por esos cortes, integra cada tramo tomando el valor absoluto, y suma. Entre dos curvas, en cada tramo se integra la de arriba menos la de abajo. Hallar mal los cortes arrastra todo lo demás, así que dedícales un minuto.

5 Si aparece un teorema, las hipótesis son la respuesta

En algunas comunidades caen Bolzano, Rolle o el teorema del valor medio; en otras, casi nunca. En cualquier caso, si te los piden, lo que puntúa no es el nombre: es verificar las hipótesis por escrito (continuidad, derivabilidad, los valores en los extremos), enunciar el teorema y concluir con su frase. Y la elección se decide con una pregunta: ¿lo que tiene que alcanzar un valor es la función (Bolzano) o la derivada (Rolle o valor medio)?

Un consejo general que sale de los criterios de corrección de varias comunidades: un resultado correcto sin proceso no puntúa como correcto. Escribe siempre el planteamiento, aunque el número lo saques con la calculadora, y no abandones un ejercicio porque un apartado te haya salido raro: los apartados siguientes se corrigen por sí mismos.

Errores que restan

• Aplicar L'Hôpital sin que haya indeterminación, o derivar el cociente en vez de numerador y denominador por separado.
• Estudiar la derivabilidad de una función a trozos sin haber comprobado antes la continuidad en el punto de empalme.
• Dar el área como la integral directa, sin valor absoluto ni partir el intervalo en los cortes con el eje.
• Hallar el punto crítico en optimización sin justificar que es máximo o mínimo, o sin reducir antes a una sola variable.
• Olvidar la constante C en una primitiva, o no fijarla cuando piden la que pasa por un punto.

Autochequeo

Responde sin mirar arriba. Si fallas, mejor aquí que el día del examen: cada opción trae su porqué.