Optimización en Matemáticas II de Murcia: la pregunta 2

En la PAU de Matemáticas II de la Región de Murcia, la pregunta 2 es obligatoria, vale 2 puntos y en las dos convocatorias del modelo vigente ha sido un problema de optimización con ligadura geométrica: en junio de 2026, el rectángulo de área máxima inscrito en una circunferencia de radio 10; en julio de 2026, el punto de la gráfica de g(x) = √(x + 1) más cercano a A(2, 0). En los dos, el primer apartado no pide calcular sino demostrar la función que hay que optimizar, y el criterio oficial lo puntúa aparte (0,75 puntos en junio y 0,5 en julio). Aquí tienes los dos ejercicios resueltos con el reparto de puntos de cada paso.

Qué pide exactamente la pregunta 2

El modelo de 2026 tiene cinco preguntas de 2 puntos: las tres primeras son obligatorias y solo hay opción en la 4 y en la 5. La pregunta 2 es, por tanto, una de las que no puedes esquivar. La resolución oficial de julio de 2026 la etiqueta como «Sentido de la medida», que es el nombre que el currículo LOMLOE da al análisis.

El patrón que se repite en las dos convocatorias de 2026 es el mismo:

1. Un enunciado con una figura o una condición geométrica (un punto sobre una circunferencia, un punto sobre una gráfica).
2. Un apartado a) que te da la función ya escrita y te pide demostrar que es esa.
3. Un apartado b) en el que derivas, igualas a cero y justificas que el punto crítico es el máximo o el mínimo pedido.

No es un patrón nuevo. En junio de 2025 (cuestión 2A) se pedía el triángulo rectángulo de área máxima con hipotenusa de 7/2 cm, y en la EBAU de 2021 a 2024 aparecen problemas del mismo tipo, como el de la lata o el del triatleta, según el recuento de los doce exámenes oficiales. Lo que sí es propio de 2026 es que la optimización ocupa una pregunta obligatoria y fija.

Junio de 2026: el rectángulo inscrito en la circunferencia

Enunciado (resumido). P(a, b) es un punto del primer cuadrante sobre la circunferencia de radio 10 centrada en el origen, y x es el ángulo que forma OP con el eje X, en radianes. a) Demuestra que el área del rectángulo de vértices O, A(a, 0), B(0, b) y P(a, b) es f(x) = 100 · sen(x) · cos(x). b) Calcula el ángulo que hace máxima el área.

Apartado a) Demostrar la función (0,75 puntos)

El criterio lo describe como «cálculo del área del rectángulo en función del ángulo». Lo que se corrige es que justifiques de dónde salen a y b, no que copies la fórmula:

• P está en la circunferencia de radio 10, así que a = 10 · cos(x) y b = 10 · sen(x) (proyecciones del radio sobre los ejes).
• Los lados del rectángulo miden a (base, de O a A) y b (altura, de O a B).
• Área = a · b = 10 · cos(x) · 10 · sen(x) = 100 · sen(x) · cos(x).

Añade el dominio: como P está en el primer cuadrante, x está en el intervalo (0, π/2). Lo vas a necesitar en el apartado siguiente.

Apartado b) Derivar y encontrar el máximo (1,25 puntos)

El criterio reparte: cálculo correcto de la derivada, 0,5 puntos; cálculo correcto del ángulo que maximiza, 0,75 puntos.

1. Derivada (regla del producto): f’(x) = 100 · (cos(x) · cos(x) − sen(x) · sen(x)) = 100 · (cos²x − sen²x) = 100 · cos(2x).
2. Punto crítico: f’(x) = 0 si cos(2x) = 0. En (0, π/2) se tiene 2x ∈ (0, π), así que 2x = π/2 y x = π/4.
3. Justificación del máximo: si 0 < x < π/4, entonces 0 < 2x < π/2 y cos(2x) > 0, luego f crece; si π/4 < x < π/2, entonces π/2 < 2x < π y cos(2x) < 0, luego f decrece. Por tanto, x = π/4 es un máximo.
4. Resultado: el área es máxima para x = π/4 rad (45°). En ese caso el rectángulo es un cuadrado de lado 10 · √2/2 = 5√2 y el área vale 100 · (√2/2) · (√2/2) = 50.

Un atajo válido: 100 · sen(x) · cos(x) = 50 · sen(2x), que es máximo cuando sen(2x) = 1. Si lo usas, escribe la identidad; sin ese paso el tribunal no ve el desarrollo.

Julio de 2026: la distancia mínima a un punto

Enunciado (resumido). P(x, y) es un punto del primer cuadrante sobre la gráfica de g(x) = √(x + 1). a) Demuestra que su distancia al punto A(2, 0) es f(x) = √(x² − 3x + 5). b) Determina el x que hace mínima la distancia. c) Calcula esa distancia mínima.

Apartado a) La función distancia (0,5 puntos)

P tiene coordenadas (x, √(x + 1)). Con la fórmula de la distancia entre dos puntos:

d(P, A) = √((x − 2)² + (√(x + 1))²) = √(x² − 4x + 4 + x + 1) = √(x² − 3x + 5) = f(x).

Así lo desarrolla la resolución oficial firmada por el coordinador de la materia. El paso que muchos saltan es escribir que (√(x + 1))² = x + 1: sin él, la demostración queda a medias.

Apartado b) El valor que minimiza (1 punto)

El criterio da 0,5 puntos a la derivada y 0,5 al valor de x.

1. f’(x) = (2x − 3) / (2 · √(x² − 3x + 5)).
2. El denominador nunca se anula (x² − 3x + 5 tiene discriminante negativo, 9 − 20 < 0), así que f’(x) = 0 solo si 2x − 3 = 0, es decir, x = 3/2.
3. Justificación: f’(1) < 0 y f’(2) > 0, luego f decrece en (0, 3/2) y crece en (3/2, +∞). En x = 3/2 hay un mínimo. Es la comprobación que usa la resolución oficial.

Un truco que ahorra tiempo: la raíz es creciente, así que minimizar f equivale a minimizar el radicando h(x) = x² − 3x + 5, cuya derivada es 2x − 3. Si lo haces así, dilo por escrito.

Apartado c) La distancia mínima (0,5 puntos)

f(3/2) = √(9/4 − 9/2 + 5) = √(11/4) = √11 / 2 ≈ 1,66.

Lo que el criterio no perdona en esta pregunta

Las observaciones generales de los criterios de Murcia son idénticas en las doce convocatorias de 2021 a 2026, y dos frases pesan especialmente aquí:

Los errores simples de cálculo restarán entre 0,1 y 0,25 puntos. […] Las preguntas contestadas correctamente sin incluir el desarrollo necesario para llegar a su resolución serán valoradas con 0 puntos.

Aplicado a la pregunta 2, los fallos más caros son:

• Copiar la función del enunciado en el apartado a). El apartado pide demostrarla; repetirla no es desarrollo.
• Encontrar el punto crítico y no decir si es máximo o mínimo. En 2026 la justificación va dentro del apartado b); en junio de 2025 (cuestión 2A) el criterio llegó a darle 0,5 puntos propios. Sin estudio de signo de f’ (o segunda derivada), el resultado queda sin sostén.
• Olvidar el dominio. En junio de 2026, cos(2x) = 0 tiene más soluciones; solo x = π/4 está en (0, π/2).
• Errores de derivación en la regla del producto o en la derivada de la raíz. Un signo mal en cos²x − sen²x cambia el punto crítico y el criterio avisa: si el error convierte el problema en otro más sencillo, se disminuye la puntuación.

Hay más errores que restan en Matemáticas II, contados en los doce criterios, en errores que más penalizan en Matemáticas II de Murcia.

Cómo entrenar la pregunta 2

La optimización se aprende haciendo, no leyendo soluciones. Estas técnicas tienen respaldo en la revisión de Dunlosky et al. (2013), que valoró como de utilidad alta la práctica de recuperación y la práctica espaciada:

1. Recuperación activa. Tapa la solución y escribe desde cero los tres pasos fijos: demostrar la función, derivar e igualar a cero, justificar el extremo. Roediger y Karpicke (2006) mostraron que recuperar de memoria retiene mejor a largo plazo que releer.
2. Práctica intercalada. No hagas cinco optimizaciones seguidas. Mezcla la pregunta 2 de junio y julio de 2026 con la 2A de junio de 2025 y las de optimización de 2021 a 2024, y alterna con integrales o límites. Rohrer y Taylor (2007) encontraron que mezclar tipos de problemas obliga a elegir el método, que es justo lo que pide el examen.
3. Autoexplicación. En cada línea, di en voz alta por qué la escribes («a = 10 · cos(x) porque es la proyección del radio sobre el eje X»). Si no sabes explicarla, el tribunal tampoco la verá justificada.
4. Práctica espaciada. Repite la misma pregunta a los pocos días, a la semana y al mes. Cepeda et al. (2006) recogen en su metaanálisis que repartir el estudio en el tiempo mejora el recuerdo frente a concentrarlo.
5. Simulacro cronometrado. Con 90 minutos para cinco preguntas, la pregunta 2 no debería llevarte más de unos 18 minutos. Mide cuánto tardas y corrígete con el criterio apartado por apartado; la plantilla de examen para cronometrar y corregir está pensada para eso.

Prueba la muestra y empieza la preparación

La muestra de Matemáticas II tiene temas abiertos de álgebra, geometría y análisis, con el mismo enfoque de plantear, justificar y calcular por separado. Si el análisis es tu punto débil, empieza por ahí.

La preparación de Matemáticas II para la Región de Murcia ya está abierta y trabaja las cinco preguntas del modelo 2026 con los exámenes reales y su criterio de corrección: empieza ya la preparación de Matemáticas II para Murcia. Si quieres ir directo, elige Matemáticas II y empieza.

Si quieres ver cómo encaja esta pregunta en el examen completo, con el sistema con parámetro de la pregunta 1 resuelto, lee Matemáticas II Murcia: examen PAU y ejercicio resuelto. Y para la pregunta 4, la de los teoremas, sigue en Rolle y Lagrange en Matemáticas II de Murcia.

Fuentes oficiales

• Exámenes de junio y julio de 2026 (PAU, código 306), con sus criterios de calificación y, en julio, la resolución oficial firmada por el coordinador de Matemáticas II de la Universidad de Murcia. Enlaces al repositorio oficial en exámenes de selectividad de Murcia.
• Examen de junio de 2025, cuestión 2A, con su criterio de calificación.
• Estructura de las Pruebas de Acceso (PAU2026), Comisión Organizadora del Distrito Universitario de la Región de Murcia. No hay todavía documento oficial del formato de 2027; la referencia es el modelo de 2026.

Preguntas frecuentes

¿La pregunta 2 de Matemáticas II en Murcia es siempre de optimización?

En las dos convocatorias del modelo vigente, junio y julio de 2026, sí: optimización con una condición geométrica y un primer apartado de demostrar la función. Con solo dos exámenes de este formato no se puede asegurar que 2027 repita tipo, pero es el patrón de referencia.

¿Es obligatoria la pregunta 2?

Sí. En el modelo de 2026, las preguntas 1, 2 y 3 no tienen optatividad; solo se elige entre dos opciones en las preguntas 4 y 5. La pregunta 2 vale 2 puntos sobre 10.

¿Hace falta justificar que el punto crítico es un máximo?

Sí. Un punto crítico puede ser máximo, mínimo o ninguno de los dos. La resolución oficial de julio de 2026 lo justifica con el signo de la derivada a cada lado, y en junio de 2025 el criterio dio 0,5 puntos solo a esa justificación.

¿Puedo usar la segunda derivada en vez del signo de la primera?

Sí. El criterio general dice que el alumno puede elegir el método que considere más oportuno. Lo que no vale es dar el extremo sin ninguna comprobación, porque un resultado sin desarrollo se valora con 0 puntos.

¿Cuánto tiempo debería dedicarle en el examen?

El examen dura 90 minutos para cinco preguntas de igual valor, así que unos 18 minutos por pregunta es un reparto razonable. Si el apartado a) te bloquea, pasa al b) usando la función que da el enunciado: los apartados se corrigen por separado.

Siguiente paso

Si tienes la optimización controlada, la otra pregunta de análisis del examen es la 4. Sigue en Rolle y Lagrange en Matemáticas II de Murcia, o monta tu calendario con el plan de repaso de 8 semanas para las ciencias de la EBAU de Murcia.