Teorema de Bayes en la PAU: cuándo usarlo y cómo no fallar

Para decidir si necesitas probabilidad total o el teorema de Bayes, escribe primero qué sabes y qué te preguntan. No son dos fórmulas intercambiables: la probabilidad total combina caminos hacia un resultado; Bayes calcula una probabilidad condicionada en la dirección inversa a los datos disponibles.

Lo veremos con un caso real de Matemáticas II de la Comunitat Valenciana, convocatoria ordinaria de junio de 2026, y con ejemplos propios para practicar. Ese examen es una referencia histórica concreta, no una predicción de las preguntas ni de las reglas de 2027.

La dirección de la pregunta

Llama A a tener una enfermedad y B a dar positivo. La sensibilidad de una prueba es P(B|A): probabilidad de positivo entre quienes tienen la enfermedad. La pregunta «ha dado positivo, ¿qué probabilidad hay de que tenga la enfermedad?» pide P(A|B). Cambia el grupo sobre el que calculas; por eso ambas probabilidades pueden ser distintas.

Antes de operar, completa dos frases: «el dato se refiere a…» y «la pregunta se refiere a…». En P(A|B), la condición B va detrás de la barra. Si P(B)>0:

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B).

Bayes permite escribir ese numerador como P(A) · P(B|A). No basta con invertir las letras manteniendo el mismo número.

Probabilidad total y Bayes con dos caminos

Si A y su complementario Aᶜ cubren todos los casos, sin solaparse:

P(B) = P(A) · P(B|A) + P(Aᶜ) · P(B|Aᶜ).

Después, si la pregunta pide la causa A sabiendo B:

P(A|B) = P(A) · P(B|A) / P(B).

Con más de dos causas, suma los caminos de una partición: sucesos incompatibles que cubran todo el espacio. Usa las probabilidades condicionadas correspondientes a las ramas con probabilidad positiva. El denominador de Bayes tiene que ser positivo.

Un árbol ayuda a ver la partición, pero también puedes organizar los datos mediante una tabla o escribir directamente los sucesos y las igualdades justificadas. La herramienta debe aclarar el razonamiento.

Caso oficial: enfermedad y prueba diagnóstica, Valencia 2026

La cuestión 1 del examen oficial de junio de 2026 da estos datos: el 20 % de la población tiene cierta enfermedad; la prueba es positiva en el 90 % de las personas enfermas y en el 5 % de las sanas. Pide la probabilidad de positivo, la de estar sano habiendo dado positivo y un apartado binomial con ocho personas.

Definimos E = «tener la enfermedad» y + = «dar positivo». Por tanto:

• P(E)=0,20 y P(Eᶜ)=0,80.
• P(+|E)=0,90 y P(+|Eᶜ)=0,05.

Primer apartado: dar positivo. Hay dos caminos incompatibles:

P(+) = 0,20 · 0,90 + 0,80 · 0,05 = 0,18 + 0,04 = 0,22.

El 22 % es la probabilidad total de positivo. El 90 % inicial solo describe a las personas enfermas; no es la respuesta a este apartado.

Segundo apartado: estar sano sabiendo que la prueba es positiva. La pregunta pide P(Eᶜ|+), no P(+|Eᶜ):

P(Eᶜ|+) = (0,80 · 0,05) / 0,22 = 2/11 ≈ 0,1818.

En este modelo, aproximadamente el 18,18 % de los positivos corresponde a personas sanas. Como comprobación, P(E|+)=9/11≈0,8182, y ambas probabilidades suman 1. Esta interpretación pertenece al supuesto matemático del ejercicio; no permite diagnosticar a una persona real.

Los criterios oficiales de esa convocatoria recogen 0,22 y 0,1818. Exigen razonar los pasos; no establecen que el árbol sea el único planteamiento válido.

El apartado binomial: no reutilices la probabilidad del positivo

Ahora se cuentan personas enfermas entre ocho elegidas al azar. La probabilidad pertinente vuelve a ser 0,20, no 0,22 ni 0,8182. Con el modelo binomial empleado en la solución oficial, X~B(8;0,20):

P(X≤2) = Σ desde k=0 hasta 2 de C(8,k) · 0,20ᵏ · 0,80⁸⁻ᵏ.

Los tres términos son 0,16777216; 0,33554432 y 0,29360128. Su suma es 0,79691776 ≈ 0,7969, coincidente con la pauta oficial y la tabla acumulada del examen.

Para reconocer una binomial en otros problemas, comprueba un número fijo de ensayos, dos resultados por ensayo, independencia y la misma probabilidad de éxito. No basta con que aparezcan personas y porcentajes. Si el muestreo modifica la probabilidad de una extracción a otra, tendrás que justificar otro modelo.

Dos ejercicios originales para comprobar la dirección

Estos ejemplos son propios de redbachiller; no se atribuyen a una convocatoria oficial.

Máquinas. La máquina A fabrica el 60 % de las piezas y B el 40 %. Son defectuosas el 2 % de las piezas de A y el 5 % de las de B. Primero:

P(D)=0,60·0,02+0,40·0,05=0,032.

Si una pieza es defectuosa, P(B|D)=0,40·0,05/0,032=0,625. Aunque B produce menos, aporta más piezas defectuosas en este supuesto. Comprueba la alternativa: P(A|D)=0,375.

Moneda y juego. Se lanza una moneda equilibrada. Con cara se gana con probabilidad 1/3; con cruz, con probabilidad 1/2. Si se ha ganado, ¿qué probabilidad hay de que saliera cara?

P(G)=1/2·1/3+1/2·1/2=5/12. Entonces P(cara|G)=(1/6)/(5/12)=2/5. Ganar favorece la hipótesis cruz, cuya probabilidad condicionada es 3/5. Escribir «equilibrada» es esencial para justificar el 1/2 inicial.

Qué revisar antes de entregar

Escribe los sucesos y la condición, comprueba que has incluido todos los caminos del denominador y conserva precisión durante las operaciones. Distingue «como máximo dos», que incluye 0, 1 y 2, de «exactamente dos». Termina con una frase que responda al grupo concreto de la pregunta.

La tabla del examen citado tiene cuatro decimales y sus soluciones usan esa precisión. Aquí redondeamos a cuatro para comparar; no lo convertimos en una penalización universal. Sigue las instrucciones de tu convocatoria y evita redondear los pasos intermedios demasiado pronto.

Para revisar otros fallos de planteamiento, consulta errores típicos de Matemáticas II. No deduzcas de un único examen una frecuencia de aparición ni una pregunta garantizada.

Preguntas frecuentes

¿Cómo sé si un problema es de Bayes o de probabilidad total?

La probabilidad total suma los caminos hacia un resultado. Bayes calcula la probabilidad de una causa sabiendo ese resultado, cuando los datos condicionados van en la dirección inversa. Escribe primero el suceso pedido y su condición.

¿Hace falta dibujar el árbol si ya sé la fórmula?

El árbol puede ayudarte, pero los criterios de Valencia de junio de 2026 exigen justificar los pasos y no lo imponen como único método. Puedes usar un árbol, una tabla o igualdades razonadas que expliquen correctamente el planteamiento.

¿Cuántos decimales tengo que dar en probabilidad?

Sigue las instrucciones de tu examen. La tabla y las respuestas oficiales de Valencia de junio de 2026 usan cuatro decimales; aquí los usamos para comparar. Eso no acredita una penalización universal por redondear a otra precisión.

Continúa con la preparación de tu materia

La muestra gratuita de Matemáticas II permite abrir tres temas: Análisis, Álgebra y matrices y Geometría en el espacio. No la presentamos como una muestra de Bayes.

Consulta la ficha de Matemáticas II de la Comunitat Valenciana para ver su disponibilidad actual. El 12 de octubre de 2026 está en reserva, no disponible para comprar: registrar interés no supone un cobro ni una fecha de apertura garantizada. La disponibilidad de otras materias y comunidades puede ser diferente.