Teorema de Bayes en la PAU: cuándo usarlo y cómo no fallar

El teorema de Bayes se usa cuando la pregunta va hacia atrás: el enunciado te da la probabilidad de un efecto sabiendo la causa, y te pregunta por la causa sabiendo que el efecto ha ocurrido. Si la pregunta va hacia delante (qué probabilidad hay de que ocurra el efecto, sin más), lo que toca es la probabilidad total. Y las dos fórmulas van juntas: el denominador de Bayes es siempre la probabilidad total que acabas de calcular.

Esa es la regla. Lo que sigue es para aplicarla sin dudar: un examen real resuelto y los errores que los criterios de corrección castigan. Y si el tema te da respeto, recuerda que el rival es la prueba, no tú: la probabilidad es la parte más mecánica y rentable de Matemáticas II, porque los procedimientos se repiten examen tras examen.

Qué te pide el examen exactamente

Los enunciados de probabilidad usan casi siempre los mismos verbos, y cada uno te dice qué herramienta sacar:

• «Calcula la probabilidad de que…» sin condición: probabilidad total si hay varias causas posibles, Laplace o árbol si no las hay.
• «Sabiendo que…», «si ha resultado…», «dado que…» seguido de una pregunta sobre el origen: teorema de Bayes.
• «Comprueba si los sucesos son independientes»: calcula P(A ∩ B) y P(A)·P(B), compara y escribe la conclusión con palabras.
• «De n personas elegidas al azar, probabilidad de que como máximo k…»: distribución binomial, normalmente con el resultado del primer apartado como p.

En la Comunitat Valenciana el problema de probabilidad se responde entero, sin opciones, y en todos los exámenes de 2023 a 2026 encadena los mismos tres pasos: probabilidad total, Bayes y binomial. Entrena la cadena completa, no los tres cálculos por separado.

La explicación mínima suficiente

Tienes un sistema completo de sucesos A₁, A₂, …, Aₙ: incompatibles entre sí y que entre todos cubren el espacio muestral («estar enfermo» y «estar sano»). Y un suceso B que puede darse con cualquiera de ellos («dar positivo»).

Probabilidad total responde a la pregunta hacia delante, ¿cuál es la probabilidad de B?

P(B) = P(A₁)·P(B | A₁) + P(A₂)·P(B | A₂) + … + P(Aₙ)·P(B | Aₙ)

Es la suma de todos los caminos del árbol que acaban en B: cada camino vale el producto de sus ramas.

Bayes responde a la pregunta hacia atrás, ¿si ha ocurrido B, cuál es la probabilidad de que la causa fuera Aᵢ?

P(Aᵢ | B) = P(Aᵢ)·P(B | Aᵢ) / P(B)

El numerador es un solo camino del árbol, el que pasa por la causa que te preguntan. El denominador es la probabilidad total, todos los caminos que llegan a B. Por eso Bayes es una fracción: la parte entre el todo.

Un examen real resuelto paso a paso

Es el problema de probabilidad de la PAU valenciana de 2026. Una enfermedad afecta al 20 % de la población. Un test da positivo en el 90 % de los enfermos y en el 5 % de los sanos.

Paso 0. Nombra los sucesos y dibuja el árbol. E = «estar enfermo», con P(E) = 0,2 y P(no E) = 0,8. Positivo = «+». Los datos son condicionales: P(+ | E) = 0,9 y P(+ | no E) = 0,05. Dibujar el árbol no es un adorno: es la justificación del proceso que exige el criterio de corrección.

Apartado 1. Probabilidad de dar positivo. La pregunta va hacia delante, así que probabilidad total:

P(+) = P(E)·P(+ | E) + P(no E)·P(+ | no E) = 0,2·0,9 + 0,8·0,05 = 0,18 + 0,04 = 0,22

Apartado 2. Si el test ha dado positivo, probabilidad de estar sano. El dato era «positivo dado sano» y la pregunta es «sano dado positivo»: la condición está invertida, así que Bayes:

P(no E | +) = P(no E)·P(+ | no E) / P(+) = 0,04 / 0,22 = 0,1818

No basta con leer el enunciado al revés: el 5 % era otra pregunta. Comprueba el sentido con el complementario, P(E | +) = 0,18 / 0,22 = 0,8182, y los dos suman 1.

Apartado 3. De 8 personas al azar, probabilidad de que como máximo 2 estén enfermas. Repetir un experimento con dos resultados y probabilidad fija es una binomial, X ~ B(8; 0,2), y piden P(X ≤ 2):

P(X = 0) = 0,8⁸ = 0,1678 P(X = 1) = 8·0,2·0,8⁷ = 0,3355 P(X = 2) = 28·0,2²·0,8⁶ = 0,2936 P(X ≤ 2) = 0,1678 + 0,3355 + 0,2936 = 0,7969

Si el examen trae tabla binomial y n y p están en su rango, el valor se lee directamente. Da cuatro decimales, como la tabla.

Los errores que restan puntos

Ninguno es de «no saber»: son de leer deprisa.

• Confundir probabilidad total con Bayes. Antes de escribir nada, pregúntate si la pregunta va hacia delante o hacia atrás. Si contiene «sabiendo que» y pregunta por el origen, es Bayes.
• Poner mal el numerador de Bayes. Es P(Aᵢ)·P(B | Aᵢ), la rama concreta. No es P(B | Aᵢ) solo, ni P(Aᵢ) solo. La tasa del 5 % no era la respuesta: la proporción de sanos también cuenta.
• Leer la condicional al revés. P(A | B) y P(B | A) son preguntas distintas. Con 80 ciclistas, 50 personas con casco y 30 que cumplen las dos cosas, P(casco | bici) = 30/80 = 0,375 y P(bici | casco) = 30/50 = 0,6.
• No dibujar el árbol o la tabla. Sin la justificación del proceso, el corrector no puede dar los puntos de planteamiento aunque el número final sea correcto.
• Copiar las probabilidades de la primera etapa en la segunda cuando el experimento cambia el sistema, como una extracción sin reemplazamiento: hay que recalcular cada rama.
• Confundir independiente con incompatible. Incompatibles son los que no pueden ocurrir a la vez; independientes, los que no se influyen.
• Redondear a dos decimales. El criterio pide cuatro. Y si te sale una probabilidad mayor que 1 o negativa, hay un error y conviene decirlo.

El catálogo completo de despistes de la asignatura está en errores típicos de Matemáticas II en selectividad.

Autochequeo: sabes usar Bayes si…

Responde sin mirar arriba.

1. Dos líneas fabrican el 60 % y el 40 % de las piezas, con un 2 % y un 5 % de defectuosas. ¿Probabilidad de que una pieza sea defectuosa? ¿Hacia delante o hacia atrás?
2. Con los datos anteriores, si una pieza es defectuosa, ¿probabilidad de que venga de la segunda línea?
3. En un juego, ganar con cara tiene probabilidad 1/3 y ganar con cruz, 1/2. Si sabes que se ha ganado, ¿la probabilidad de que saliera cara es mayor o menor que 0,5? Razónalo antes de calcular.
4. ¿Puede haber dos sucesos incompatibles e independientes a la vez?

Soluciones orientativas: 1) 0,6·0,02 + 0,4·0,05 = 0,032, hacia delante, probabilidad total. 2) 0,4·0,05 / 0,032 = 0,625, Bayes. 3) Menor: ganar con cruz es más fácil, así que observar una victoria hace menos probable la cara; sale 2/5 = 0,4. 4) Solo si alguno tiene probabilidad cero.

Repaso jugable

Un minuto con las condicionales, la total y Bayes en modo contrarreloj: lo que fallas, te lo vuelve a preguntar.

Preguntas frecuentes

¿Cómo sé si un problema es de Bayes o de probabilidad total?

Mira la dirección de la pregunta. Si te dan la probabilidad del efecto conocida la causa y te preguntan por el efecto, es probabilidad total. Si te preguntan por la causa sabiendo que el efecto ha ocurrido, es Bayes. En el examen suelen venir las dos, en ese orden.

¿Hace falta dibujar el árbol si ya sé la fórmula?

Sí. Es la justificación del proceso que piden los criterios de corrección, y evita el error de numerador. Con la fórmula sola puedes acertar el número y perder los puntos del planteamiento.

¿Cuántos decimales tengo que dar en probabilidad?

Cuatro, como la tabla que te dan con el examen. Redondear a dos cuesta puntos de forma explícita en varios criterios de corrección.

Sigue por aquí

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