Parámetro e área entre parábola e recta: exercicio PAU

Determina un parámetro a partir dunha área

Nun problema directo coñeces as curvas e calculas a área. Nun problema inverso coñeces a área e debes recuperar un parámetro que modifica o recinto. Esa inversión engade unha condición de existencia e unha ecuación final. Nesta actividade orixinal resolveremos ese proceso cunha parábola e unha recta horizontal.

A guía de Matemáticas II para Galicia permite situar a práctica. Para os métodos xerais de integración tes o artigo en castelán sobre resolución de integrais. Aquí a intención é distinta: construír unha función da área e utilizala para determinar un valor descoñecido.

O enunciado e a condición que non debes omitir

Considéranse as curvas y = x² e y = a, onde a é un parámetro real positivo. Pídese expresar en función de a a área do recinto encerrado e determinar a cando esa área vale 36 unidades cadradas.

O enunciado é propio e non procede dun exame oficial. Traballamos con coordenadas abstractas, de modo que a unidade de área se indica como unidade cadrada, sen inventar centímetros ou metros.

A condición a > 0 garante dous puntos de corte distintos. Se a = 0, só se tocan na orixe e a área encerrada é cero. Se a < 0, a recta queda por debaixo do mínimo da parábola e non forman o recinto limitado descrito.

O capítulo académico sobre áreas entre curvas de OpenStax fundamenta o cálculo como integral da diferenza entre a función superior e a inferior. A nosa incógnita final, con todo, será a e non x.

Primeiro paso: os cortes tamén dependen do parámetro

Igualamos x² = a. Como a é positivo, as solucións son x = −√a e x = √a. Non escribas os extremos −a e a: só coincidirían con estas raíces para valores particulares.

A recta y = a está por riba da parábola entre os dous cortes, porque nese intervalo x² ≤ a. Polo tanto, a altura de cada franxa vertical é a − x², unha cantidade non negativa.

Un debuxo orientativo axuda a ver a simetría respecto do eixe vertical. Non substitúe a ecuación dos cortes, pero permite comprobar que os límites deben ser opostos e que a diferenza non cambia de signo dentro do recinto.

Segundo paso: expresa a área antes de substituír

A función da área é A(a) = integral desde −√a ata √a de (a − x²) respecto de x. Durante a integración en x, a trátase como unha constante.

Unha primitiva é ax − x³/3. No extremo positivo obtense a√a − a√a/3 = 2a√a/3. No negativo obtense −a√a + a√a/3 = −2a√a/3.

A resta dos extremos dá A(a) = 4a√a/3 = 4a^(3/2)/3. O segundo termo negativo da avaliación non debe converter a área en cero: ao restar o valor do extremo inferior, sumas a súa magnitude.

Tamén podes integrar de cero a √a e duplicar pola simetría. Nese caso, a integral parcial vale 2a√a/3 e o resultado total volve ser 4a√a/3. Non multipliques por dous se xa integraches entre os dous extremos.

Terceiro paso: resolve a condición de área

Impoñemos 4a^(3/2)/3 = 36. Multiplicando por 3/4, resulta a^(3/2) = 27. Como a > 0, elevamos ambos os membros a 2/3: a = 27^(2/3) = 9.

Comproba de forma independente: se a = 9, os cortes están en x = −3 e x = 3. A área é a integral de 9 − x² nese intervalo. A primitiva 9x − x³/3 toma os valores 18 e −18; a diferenza é 36.

A resposta completa inclúe a = 9 e a comprobación do recinto. O número 36 é a área dada, non o parámetro. O número 3 é a abscisa positiva do corte, non a altura da recta.

Exercicio adicional: que pasa ao duplicar a altura?

Partimos de a = 1, cunha área 4/3. Se duplicamos o parámetro a 2, a área pasa a 4·2^(3/2)/3. A razón entre as áreas é 2^(3/2) = 2√2, aproximadamente 2,828.

Non se duplica a área: cambia a altura e tamén a anchura do recinto. Esa explicación xeométrica é unha comprobación útil da potencia tres medios.

Se multiplicamos a por catro, as abscisas dos cortes multiplícanse por dous e a altura por catro. A área multiplícase por oito, en concordancia con 4^(3/2) = 8. Esta comparación permite verificar a dependencia sen recalcular unha integral completa.

Exercicio adicional: unha área incompatible

Que ocorre se se pide un a positivo para o que a área sexa −12? Non existe tal valor. A área xeométrica é non negativa e a fórmula 4a^(3/2)/3 é positiva cando a > 0.

Non resolvas a ecuación ignorando o significado da magnitude. Unha integral orientada pode ser negativa, pero aquí definimos unha área encerrada. Distinguir esas dúas nocións evita aceptar unha solución que contradí o propio problema.

Como revisar a solución

Comproba a condición do parámetro, os puntos de corte, a posición relativa das curvas e a ecuación da área. Despois substitúe o valor atopado na expresión inicial.

Na libreta de erros rexistra se o fallo veu de √a, da resta de extremos ou de confundir o parámetro cun corte. A práctica mellora cando sabes que parte da cadea de razoamento necesitas repetir.

Preguntas frecuentes

Por que se esixe que o parámetro a sexa positivo?

Porque así a recta y = a corta a parábola en dous puntos distintos e delimita un recinto de área positiva.

Pódese integrar tratando a como unha constante?

Si. A variable de integración é x; para cada valor fixado de a, o termo a permanece constante durante esa operación.

Duplicar a altura da recta duplica a área encerrada?

Non. Tamén cambia a anchura do recinto. Neste modelo a área multiplícase por dous elevado a tres medios.

Continúa co cálculo integral

Resolve primeiro a área xeral e só despois introduce a condición numérica. O curso de Matemáticas II para Galicia está dispoñible para compra; consulta a ficha para coñecer os contidos e organizar a práctica.