Potencias de matrices: identidades e recorrencias útiles

Calcular unha potencia dunha matriz non significa elevar cada entrada por separado. O produto combina filas e columnas, e precisamente por iso unha matriz pode ter potencias sorprendentemente sinxelas aínda que as súas entradas non sexan todas cero ou un.

Nesta práctica buscarás unha identidade curta que evite decenas de multiplicacións. Os tres exemplos usan matrices cadradas de orde dous, pero representan patróns distintos: unha potencia que se estabiliza, outra que depende da paridade e unha terceira que se reduce a unha combinación da matriz e da identidade.

Antes de buscar un patrón

Empregaremos a notación [a,b;c,d] para a matriz cuxa primeira fila é a,b e a segunda c,d. I representa [1,0;0,1]. A⁰ = I e A¹ = A. As potencias enteiras positivas multiplícanse coa regra fila por columna, que podes repasar nas operacións matriciais de OpenStax.

Non basta con atopar dúas potencias parecidas e supoñer que todas serán iguais. A identidade comprobada debe permitir unha demostración. Para A² = A, por exemplo, multiplicar unha igualdade pola mesma matriz conserva o patrón. Traballar coa mesma matriz e con I evita o problema de cambiar a orde de dous factores arbitrarios.

Antes de empezar, escribe o expoñente e aclara se é positivo, cero ou negativo. As identidades dos exemplos non permiten tratar estes tres casos como se fosen iguais.

Primeiro exercicio: unha matriz que se estabiliza

Datos. A = [1,2;0,0]. Calcula A², A³ e A¹⁰⁰.

Facemos primeiro a multiplicación completa:

A² = [1·1 + 2·0, 1·2 + 2·0; 0·1 + 0·0, 0·2 + 0·0] = [1,2;0,0] = A.

Despois A³ = A²A = AA = A² = A. O mesmo argumento repítese: se Aⁿ = A para un enteiro n ≥ 1, entón Aⁿ⁺¹ = AⁿA = AA = A. Co caso inicial A¹ = A, queda demostrado por indución que Aⁿ = A para todo n ≥ 1.

Así, A¹⁰⁰ = [1,2;0,0]. O expoñente grande non obriga a facer 99 produtos.

A⁰ segue sendo I, non A. Ademais, esta matriz ten determinante cero e non é invertible. Non podemos concluír que A⁻¹ = A porque o patrón das potencias positivas pareza repetirse. Como comprobación conceptual, A transforma un vector (x,y) en (x+2y,0); aplicar de novo a transformación xa non modifica o resultado.

Segundo exercicio: distinguir expoñentes pares e impares

Datos. B = [1,3;0,−1]. Calcula B², B²⁰ e B²¹.

Multiplicando:

B² = [1, 3−3; 0, 1] = I.

Para un expoñente par 2k, agrupamos os factores de dous en dous: B²ᵏ = (B²)ᵏ = Iᵏ = I. Para un impar 2k+1, queda un factor B: B²ᵏ⁺¹ = I·B = B.

Por tanto, B²⁰ = I e B²¹ = B. A agrupación usa a asociatividade, non unha suposta conmutatividade universal das matrices.

Neste caso si existe inversa: B·B = I mostra que B⁻¹ = B. Se pedisen B⁻², o resultado sería I. Contrasta esta conclusión coa matriz A anterior: ambas teñen un patrón curto, pero só unha das dúas é invertible.

Un erro fácil de detectar sería escribir B² = [1,9;0,1]. Esa é a elevación entrada a entrada, unha operación diferente da potencia matricial pedida.

Terceiro exercicio: reducir unha potencia cunha identidade

Datos. C = [0,2;1,1]. Calcula C² e comproba se C² = C + 2I. Emprega esa relación para obter C⁵.

A multiplicación dá C² = [2,2;1,3]. Por outro lado, C + 2I = [2,2;1,3]. A identidade queda comprobada.

Agora evitamos volver multiplicar catro entradas en cada paso:

C³ = C(C + 2I) = C² + 2C = 3C + 2I.

C⁴ = 3C² + 2C = 5C + 6I.

C⁵ = 5C² + 6C = 11C + 10I.

Substituíndo a matriz, C⁵ = [10,22;11,21]. Cada liña conserva a orde dos produtos e utiliza que CI = IC = C.

Se queres automatizar o razoamento en papel, escribe Cⁿ = aₙC + bₙI. Entón Cⁿ⁺¹ = aₙC² + bₙC = (aₙ+bₙ)C + 2aₙI. Obtemos a recorrencia aₙ⁺¹ = aₙ+bₙ e bₙ⁺¹ = 2aₙ, cos valores a₁ = 1 e b₁ = 0. Isto é unha regra demostrada, non unha lista adiviñada.

Unha comprobación adicional: C(C−I) = C²−C = 2I. Polo tanto, C⁻¹ = (C−I)/2. A identidade tamén informa sobre a inversa, pero só despois de verificar un produto que dá I.

Como escoller a ferramenta

Comeza por A² e compara o resultado con A, I, 0 ou unha combinación aA+bI. Se non aparece unha relación útil, non forces un patrón a partir dunha coincidencia parcial. Comproba as catro entradas.

A práctica de matrices que conmutan e parámetros trata unha pregunta distinta: cando AB = BA para dúas matrices. Aquí reutilizamos potencias dunha única matriz para reducir o traballo. Tamén podes volver ao pilar de matrices e sistemas se necesitas repasar dimensións e produtos.

Preguntas frecuentes

Elevar unha matriz ao cadrado é elevar as súas entradas?

Non. A² significa AA mediante o produto fila por columna; elevar cada entrada por separado é outra operación.

Se A² = A, tamén se cumpre A⁰ = A?

Non en xeral. A⁰ é a identidade, mentres a relación Aⁿ = A deducida aquí só se aplica a expoñentes enteiros positivos.

Como xustifico un patrón de potencias sen calculalas todas?

Comproba unha identidade matricial e demostra que multiplicar un paso pola matriz produce o seguinte. A indución ou unha recorrencia permite pechar o argumento.

Reduce o produto antes de calcular o expoñente grande

Escolle unha das tres matrices, cambia o expoñente e resolve sen consultar as potencias intermedias. Na resposta inclúe a identidade que utilizaches e o intervalo de expoñentes para o que vale. Para practicar álxebra xunto con sistemas e determinantes, consulta Matemáticas II para Galicia, coa opción de compra na ficha.