Matrices que conmutan: parámetros e exercicios PAU

Matrices que conmutan: calcula antes de cambiar a orde

O produto de matrices non permite intercambiar factores como se fosen números. Con todo, algunhas parellas concretas si cumpren AB = BA. Nesta actividade orixinal imos atopar as condicións para que ocorra e comprobar por que un exemplo que funciona non demostra unha regra universal.

A guía de Matemáticas II para Galicia sitúa a preparación da materia. O artigo xeral en castelán sobre matrices e sistemas explica outros procedementos. Aquí traballamos unha pregunta específica: determinar cando dúas matrices conmutan, non resolver un sistema con parámetro.

Datos e notación para ler as filas

Todas as matrices do exercicio son reais de orde dous. Escribiremos A = (1, 1; 0, 1): a primeira fila contén 1 e 1, e a segunda 0 e 1. O punto e coma separa filas; non representa unha operación.

Consideramos tamén B = (p, q; r, s), con catro entradas reais descoñecidas. A pregunta é atopar todas as B que cumpren AB = BA.

O capítulo académico de OpenStax sobre matrices e inversas permite contrastar o produto matricial e a identidade. As matrices e as condicións deste problema son propias, non preguntas copiadas da fonte nin dun exame oficial.

Exercicio 1: calcula AB e BA

No produto AB, multiplicamos cada fila de A por cada columna de B. O resultado é AB = (p + r, q + s; r, s). Por exemplo, a entrada superior esquerda é 1·p + 1·r = p + r.

No produto BA obtense BA = (p, p + q; r, r + s). A entrada superior dereita é p·1 + q·1 = p + q.

Os dous produtos teñen a mesma dimensión, polo que podemos comparalos entrada a entrada. Iso non significa que sexan iguais: a compatibilidade de tamaños permite facer a operación, pero non determina os valores.

Se calculaches unicamente AB, aínda non tes información suficiente para afirmar conmutatividade. Precisas calcular BA ou xustificar a igualdade doutro xeito válido.

Exercicio 2: resolve as condicións de igualdade

Igualamos as entradas correspondentes. Na superior esquerda, p + r = p, de onde r = 0. Na superior dereita, q + s = p + q, de onde s = p.

A inferior esquerda dá r = r, que se cumpre sempre. A inferior dereita dá s = r + s, equivalente outra vez a r = 0. Non engade unha condición nova.

Así, todas as matrices buscadas teñen a forma B = (p, q; 0, p), con p e q reais libres. Non hai que fixar q nin esixir que p sexa distinto de cero, porque o problema só pide conmutar, non ter inversa.

A comprobación simbólica é breve: substituíndo r = 0 e s = p, os dous produtos resultan (p, p + q; 0, p). Esta substitución verifica toda a familia, non só unha matriz particular.

Exercicio 3: escolle unha matriz que funciona

Tomemos p = 2 e q = −3. Entón B = (2, −3; 0, 2). Calcula ambos os produtos para comprobar a condición sen depender da dedución anterior.

AB = (2, −1; 0, 2) e BA = (2, −1; 0, 2). Son iguais. A entrada superior dereita obtense sumando 2 e −3, non multiplicándoos como se a igualdade dependese dun único número.

Este exemplo mostra que existen parellas non triviais que conmutan. Non demostra que A conmute con calquera matriz nin que dúas matrices da mesma orde sempre sexan intercambiables.

Unha afirmación universal require unha demostración para todos os casos. Para refutala, en cambio, abonda un contraexemplo correcto. O seguinte apartado permite practicar esa diferenza lóxica.

Exercicio 4: constrúe un contraexemplo

Escollemos C = (1, 0; 1, 1). A entrada inferior esquerda é un, polo que non cumpre a condición r = 0 atopada para B.

Calculando, AC = (2, 1; 1, 1), mentres que CA = (1, 1; 1, 2). As entradas superiores esquerdas son distintas: dous e un. Polo tanto, AC non é igual a CA.

Non fai falta que todas as entradas difiran para demostrar que as matrices son distintas. Unha soa desigualdade nunha posición correspondente é suficiente. Porén, calcular o produto completo axuda a localizar un posible fallo de operación.

Este contraexemplo refuta a frase «o produto de matrices cadradas sempre é conmutativo». Non refuta a familia do segundo apartado, porque C non pertence a esa familia.

Exercicio 5: conmutar non é ter inversa

Dentro da familia, escolle p = 0 e q = 1. Obtés B = (0, 1; 0, 0). Esta matriz conmuta con A, pero o seu determinante é cero e non ten inversa.

Se p = 2 e q = −3, o determinante de B é p² = 4 e si existe inversa. A conmutatividade e a invertibilidade son propiedades diferentes: unha non se pode substituír pola outra na xustificación.

A matriz identidade tamén conmuta con A, pero non é a única solución. Responder só «B é a identidade» daría un exemplo correcto e unha descrición incompleta de todas as solucións.

Autocorrección do razoamento

Revisa a orde das filas e columnas, iguala posicións correspondentes e distingue condicións novas de ecuacións repetidas. Ao rematar, substitúe os parámetros na familia xeral.

Na libreta de erros anota se o fallo foi operativo ou lóxico. «Intercambiei factores sen calculalos» é distinto de «sumei mal unha entrada». Cada erro necesita unha repetición diferente.

Preguntas frecuentes

Dúas matrices cadradas da mesma orde sempre conmutan?

Non. O tamaño permite calcular ambos os produtos, pero non garante a súa igualdade. O contraexemplo desta práctica mostra a diferenza.

Unha matriz que conmuta con A debe ter inversa?

Non. A familia atopada inclúe matrices singulares e invertibles. Conmutatividade e invertibilidade son propiedades distintas.

Un exemplo AB igual a BA demostra unha regra universal?

Non. Só comproba esa parella. Para unha afirmación universal necesitas unha demostración; un contraexemplo basta para refutala.

Continúa coa álxebra matricial

Escribe a familia de solucións e fabrica un exemplo dentro e outro fóra dela. O curso de Matemáticas II para Galicia está dispoñible para compra; consulta os contidos da ficha para continuar a práctica.