Distribución normal: colas e percentís con exercicios

A campá normal non substitúe a lectura do enunciado

Nun exercicio de distribución normal, o primeiro cálculo adoita ser unha resta seguida dunha división. A dificultade aparece antes: identificar que representa a variable, que unidades emprega e que área se está pedindo. Un número que sae dunha táboa non serve se corresponde á cola contraria.

Esta práctica utiliza datos orixinais dun modelo matemático inventado. Non describe notas reais, resultados de alumnos nin unha característica dunha poboación concreta. A referencia académica é o capítulo de OpenStax sobre o uso da distribución normal. Non atribuiremos frecuencias de aparición nin formatos a unha convocatoria autonómica.

O obxectivo é conectar tres representacións: o intervalo da variable orixinal, o intervalo tipificado e a área baixo a curva. Despois inverteremos a pregunta para atopar un limiar.

Datos e valores da función de distribución

Sexa X unha variable normal con media 100 unidades e desviación típica 12 unidades. Indicamos expresamente a desviación para evitar a ambigüidade dalgunhas notacións, nas que o segundo parámetro representa a varianza. Neste caso a varianza é 144 unidades ao cadrado.

Define Z = (X − 100)/12. Esta variable segue unha normal estándar de media cero e desviación típica un. Para resolver os apartados proporcionamos os valores Φ(−1) = 0,1587, Φ(1) = 0,8413 e Φ(2) = 0,9772. Φ(z) representa P(Z ≤ z), é dicir, a área acumulada á esquerda.

Para o último apartado damos tamén o valor z = 1,2816, cuxa área acumulada é aproximadamente 0,90. Son valores redondeados para esta práctica; as respostas herdarán ese redondeo. Non hai que inventar decimais adicionais.

A tipificación conserva a orde porque dividimos entre unha desviación positiva. Os límites do intervalo non se intercambian. Se atopas un cambio de sentido na desigualdade, revisa a operación antes de buscar na táboa.

Primeiro exercicio: unha zona arredor da media

Calcula P(88 ≤ X ≤ 112). Escribe os dous límites tipificados antes de operar con áreas.

Para 88, o valor é (88 − 100)/12 = −1. Para 112, o valor é 1. Por tanto, queremos P(−1 ≤ Z ≤ 1). A área entre dous límites obtense restando a acumulada ata o inferior da acumulada ata o superior:

P(88 ≤ X ≤ 112) = Φ(1) − Φ(−1) = 0,8413 − 0,1587 = 0,6826.

A interpretación é unha probabilidade aproximada do 68,26 % baixo o modelo. Non significa que exactamente 68,26 individuos de cada cen teñan ese valor. Se fixases unha mostra de cen observacións independentes, a cantidade observada no intervalo seguiría sendo aleatoria.

Un erro posible é sumar as dúas acumuladas: aquí obterías 1, que non representa a rexión marcada. Outro é restar o resultado de un cando o enunciado pide o interior. Ese complemento, 0,3174, corresponde ao exterior do intervalo, non á pregunta inicial.

Segundo exercicio: a cola dereita

Calcula a probabilidade de que X supere 124 unidades. A tipificación dá (124 − 100)/12 = 2. O valor proporcionado Φ(2) = 0,9772 é a área á esquerda, pero o enunciado pide a dereita.

Así, P(X > 124) = 1 − Φ(2) = 0,0228. A probabilidade aproximada é do 2,28 %. Un debuxo sinxelo coa media no centro e 124 á dereita permite comprobar que estamos tomando unha cola pequena.

Se respondes 97,72 %, a operación de tipificar pode estar ben e a lectura da área mal. Por iso convén separar ambos os pasos na autocorrección. Copiar unha cifra dunha táboa non remata o exercicio.

Nunha distribución continua, P(X = 124) = 0. Consecuentemente, neste modelo P(X > 124) e P(X ≥ 124) coinciden. Isto non autoriza a tratar do mesmo xeito unha variable discreta, como o número de acertos dun test.

Terceiro exercicio: atopar o percentil

Busca o valor k tal que P(X ≤ k) = 0,90. Agora coñecemos unha área e necesitamos recuperar un límite da variable orixinal.

O enunciado proporciona z = 1,2816 para esa área. Debe cumprirse (k − 100)/12 = 1,2816. Despexando, k = 100 + 12 × 1,2816 = 115,3792 unidades. Podemos expresar o resultado aproximado como 115,38 unidades.

O signo ofrece unha comprobación útil: o percentil 90 debe estar por riba da media nunha normal simétrica. Un resultado inferior a 100 indicaría que utilizaches a cola ou o signo equivocado.

Se a pregunta fose deixar un 90 % por enriba, a acumulada á esquerda sería 0,10. Por simetría correspondería z = −1,2816 e obterías 84,6208 unidades. As dúas preguntas teñen os mesmos números no texto e respostas diferentes porque cambia a área de referencia.

Que permite o modelo e que non

A normal ten soporte en toda a recta real. Se X representase unha magnitude necesariamente non negativa, o modelo permitiría formalmente valores negativos, aínda que a súa probabilidade puidese ser pequena. Cómpre valorar esa aproximación nun problema real.

Tampouco sabemos se unha variable real é normal só porque coñecemos a súa media e desviación. Neste suposto a normalidade é un dato. Fóra del necesitarías evidencia para xustificar a elección da distribución.

Relaciona esta práctica coa preparación de Matemáticas II en Galicia. Na libreta de erros separa fallo de límite, de tipificación e de cola: cada un require unha revisión diferente.

Preguntas frecuentes

O segundo parámetro dunha normal sempre é a desviación típica?

Non. A convención pode empregar a varianza. Neste exercicio indícase expresamente que a desviación típica é 12 e a varianza 144.

Para calcular unha cola dereita uso directamente Φ?

Non se Φ representa a área acumulada á esquerda. Nese caso a cola dereita é un menos o valor acumulado correspondente.

Un percentil 90 deixa o 90 % por enriba?

Non. Na definición utilizada aquí deixa aproximadamente o 90 % por debaixo ou igual ao limiar e o 10 % por enriba.

Continúa coas probabilidades

Debuxa as áreas antes de facer as contas e explica o resultado con unidades cando corresponda. O curso de Matemáticas II para Galicia está dispoñible para compra; consulta os contidos e as condicións na ficha.