Recta tanxente con parámetros: dúas condicións PAU

Tangencia con parámetros: usa o punto e a pendente

Unha recta que pasa por un punto dunha curva non é necesariamente tanxente nese punto. Para determinar unha función con parámetros necesitas expresar tanto a coincidencia do punto coma a igualdade da pendente. Nesta actividade orixinal converteremos esas dúas condicións nun sistema e comprobaremos a solución por outra vía.

A guía de Matemáticas II para Galicia sitúa o traballo de análise. Este artigo céntrase nun problema inverso de tangencia. Non presenta unha pregunta oficial nin unha previsión sobre a convocatoria.

Que significa a condición de tanxencia

Buscamos a e b na función f(x) = x² + ax + b para que a recta y = 3x − 2 sexa tanxente á súa gráfica no punto de abscisa x = 1.

Como f é un polinomio, é derivable en todo punto. A súa derivada é f′(x) = 2x + a. A recta dada ten pendente tres.

O capítulo académico sobre a derivada de OpenStax relaciona a pendente da tanxente coa derivada. Para este problema, esa relación debe ir acompañada da condición de que o punto pertence ás dúas gráficas.

Non supoñemos que calquera intersección sexa unha tanxencia. A pregunta obriga a comprobar unha relación local máis precisa que simplemente resolver f(x) = 3x − 2.

Exercicio 1: escribe a condición do punto

Na recta, cando x = 1, obtemos y = 3·1 − 2 = 1. Polo tanto, o punto de contacto debe ser (1, 1).

Impoñemos f(1) = 1. Substituíndo, 1 + a + b = 1, de onde a + b = 0. Esta é a primeira ecuación.

Por si soa ten infinitas solucións. Por exemplo, a = 0 e b = 0 fan que a parábola pase polo punto, pero a súa pendente nese punto sería dous, non tres. A coincidencia do punto non completa a condición pedida.

Escribir esta comparación é unha boa comprobación conceptual: se puideses dar varias funcións que pasan polo punto, aínda tes que decidir cal delas comparte a tanxente.

Exercicio 2: escribe a condición da pendente

Impoñemos f′(1) = 3. Como f′(1) = 2 + a, resulta 2 + a = 3 e, polo tanto, a = 1.

Coa ecuación a + b = 0, obtemos b = −1. A función buscada é f(x) = x² + x − 1.

Agora comproba as dúas condicións: f(1) = 1 + 1 − 1 = 1 e f′(1) = 2 + 1 = 3. O punto e a pendente coinciden cos da recta dada.

Se obtiveches a = 1 pero deixaches b libre, só empregaches a derivada. A derivada dunha constante é cero, así que a condición de pendente non contén b. Precisamente por iso necesitamos tamén a condición do punto.

Exercicio 3: reconstrúe a recta tanxente

A ecuación da tanxente no punto (1, 1) con pendente tres é y − 1 = 3(x − 1). Desenvolvendo, y = 3x − 2.

Recuperamos exactamente a recta do enunciado. Esta comprobación evita un erro frecuente: escribir y = f′(1)x sen axustar o termo independente. Esa expresión daría y = 3x, que non pasa por (1, 1).

A forma punto-pendente permite manter visibles os dous datos. Só despois de substituílos convén simplificar a ecuación. Se o punto cambia, tamén pode cambiar o termo independente aínda que a pendente sexa a mesma.

Exercicio 4: comproba a intersección algebraicamente

Restamos a recta á función atopada: f(x) − (3x − 2) = x² + x − 1 − 3x + 2 = x² − 2x + 1 = (x − 1)².

A igualdade entre curva e recta só se produce en x = 1, cunha raíz dobre. Ademais, a diferenza é non negativa para todo x, polo que a parábola queda por riba da recta neste exemplo.

A raíz dobre é coherente coa tanxencia desta parábola e desta recta. Non a convertas nunha regra simplificada sobre todas as funcións posibles: aquí temos un polinomio cuadrático e podemos factorizar a diferenza.

Tampouco digas que a tanxente nunca cruza unha curva. Esa frase é falsa en xeral; unha tanxente pode atravesar a gráfica noutros tipos de función. O que acabamos de demostrar é a posición relativa neste caso concreto.

Exercicio adicional: cambia só a recta

Mantemos a abscisa x = 1, pero agora a tanxente desexada é y = −x + 4. Na recta, o punto é (1, 3) e a pendente é −1.

A condición do punto dá 1 + a + b = 3, ou a + b = 2. A condición de pendente dá 2 + a = −1, polo que a = −3. En consecuencia, b = 5.

A nova función é x² − 3x + 5. Comproba f(1) = 3 e f′(1) = −1. A diferenza coa recta volve ser x² − 2x + 1. Os pasos son os mesmos, pero os parámetros non se copian da primeira solución.

Autocorrección das dúas condicións

Escribe primeiro o punto e a pendente que pide a recta. Despois tradúceos como f(1) e f′(1). Mantén separadas esas ecuacións ata resolver o sistema.

Na libreta de erros anota se empregaches a ordenada como pendente, esqueciches a condición do punto ou construíches unha recta que non pasa polo contacto. Repite o apartado de comprobación antes de considerar pechada a resposta.

Preguntas frecuentes

Que a recta pase polo punto garante que sexa tanxente?

Non. Tamén debe ter a pendente que corresponde á derivada da función nese punto, baixo as condicións de derivabilidade do exercicio.

Por que a derivada non permite determinar b soa?

Porque b é unha constante e a súa derivada é cero. A condición do punto proporciona a ecuación que falta.

Unha recta tanxente nunca pode cruzar unha curva?

Non é unha regra xeral válida. Nesta parábola a posición relativa compróbase coa diferenza cadrada, pero outras funcións poden comportarse doutro xeito.

Continúa coas derivadas

Resolve a variación sen mirar e reconstrúe a recta ao final. O curso de Matemáticas II para Galicia está dispoñible para compra; consulta os contidos e as condicións na ficha.