Método de Newton: iteracións, fallos e erro numérico

Unha calculadora pode producir moitas cifras sen demostrar que chegamos á raíz correcta. O método de Newton utiliza tanxentes para aproximar solucións de f(x) = 0, pero pode atascarse, alternar entre puntos ou aparentar un erro pequeno por unha mala escala da función.

Esta actividade é unha ampliación sobre derivadas e aproximación numérica. Non afirma que Newton forme parte obrigatoria da PAU de todas as comunidades. Os exemplos son orixinais e combinan cálculo, interpretación xeométrica e comprobación do resultado.

Como unha tanxente produce o seguinte valor

Se partimos de xₙ, a tanxente ten ecuación y = f(xₙ) + f′(xₙ)(x − xₙ). Ao buscar onde corta o eixe horizontal, poñemos y = 0 e obtemos:

xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ).

A división require f′(xₙ) distinta de cero e as avaliacións deben existir. O novo valor non ten por que quedar no intervalo inicial nin achegarse á raíz. A elección do punto de partida importa.

Unha iteración é unha aplicación da fórmula, non unha proba de converxencia. Conserva cifras internas suficientes e redondea só o que mostras na táboa. Se utilizas en cada paso o número xa redondeado, introduces unha modificación adicional do cálculo.

Exercicio 1: aproximar unha raíz cadrada

Queremos aproximar √7 como raíz positiva de f(x) = x² − 7. Partimos de x₀ = 3 e realizamos tres iteracións.

Primeiro paso: derivada. f′(x) = 2x. A fórmula convértese en xₙ₊₁ = (xₙ + 7/xₙ)/2. Esta simplificación é válida para xₙ distinto de cero.

Segundo paso: primeira iteración. x₁ = (3 + 7/3)/2 = 8/3 ≈ 2,666666667. O residuo é x₁² − 7 = 1/9 ≈ 0,111111111.

Terceiro paso: segunda iteración. Usando 8/3 sen redondear, x₂ = (8/3 + 21/8)/2 = 127/48 ≈ 2,645833333. O residuo é 1/2304 ≈ 0,000434028.

Cuarto paso: terceira iteración. x₃ ≈ 2,645751312. Ao elevar ao cadrado e restar sete obtemos aproximadamente 6,73·10⁻⁹. As cifras mostran unha mellora importante neste caso.

Quinto paso: interpretar. A aproximación é positiva, como a raíz que buscabamos. A ecuación tamén ten unha raíz negativa: unha boa aproximación a −√7 non respondería á petición concreta de obter a positiva.

Podemos converter o residuo nunha cota de erro usando información adicional: |x² − 7| = |x − √7|·|x + √7|. Se sabemos que x e √7 están entre dous e tres, o segundo factor supera catro. Entón |x − √7| < |x² − 7|/4. Esta xustificación usa a localización das cantidades, non só que a pantalla amose moitos decimais.

Exercicio 2: unha parada e un ciclo

Primeiro escollemos de novo x² − 7, pero iniciamos en x₀ = 0. Temos f(0) = −7 e f′(0) = 0. A fórmula pediría dividir entre cero. Non podemos dar o seguinte paso con esta versión do método.

Iso non demostra que a ecuación careza de raíces: sabemos que ten dúas. O fallo pertence á elección inicial e á fórmula que estamos aplicando, non á existencia da solución.

Agora considera g(x) = x³ − 8x + 16, con x₀ = 0. Calcula os dous primeiros pasos.

Primeiro paso. g(0) = 16 e g′(0) = −8, de modo que x₁ = 0 − 16/(−8) = 2.

Segundo paso. g(2) = 8 e g′(2) = 4, polo que x₂ = 2 − 8/4 = 0.

Terceiro paso. Volvemos ao punto inicial e a mesma regra produce outra vez dous. A sucesión alterna 0, 2, 0, 2… Ningún deles é raíz: os residuos son 16 e 8.

Neste ciclo as derivadas non se anulan nos puntos utilizados. Polo tanto, comprobar só que o denominador non sexa cero non basta para garantir éxito. O proceso pode estar definido en cada paso e non converxer.

Tamén hai unha raíz real noutro lugar: g(−4) = −16 e g(−3) = 13. Por continuidade, existe unha raíz entre −4 e −3. Esta comprobación de existencia non converte automaticamente a sucesión iniciada en cero nunha aproximación válida a ela.

Exercicio 3: un residuo pequeno pode enganar

Define h(x) = 10⁻¹²(x − 100). Alguén proba x = 0 e observa |h(0)| = 10⁻¹⁰. Conclúe que cero está moi preto dunha raíz porque o residuo parece pequeno. Avalía a conclusión.

Primeiro paso: raíz exacta. A ecuación h(x) = 0 equivale a x − 100 = 0, así que a raíz é 100. O erro absoluto da proposta cero é 100, a pesar do pequeno residuo.

Segundo paso: escala. Multiplicar unha función por unha constante moi pequena non cambia as súas raíces, pero reduce todos os seus valores. Un limiar de residuo necesita interpretarse coa escala do problema.

Terceiro paso: Newton. h′(x) = 10⁻¹². Desde cero, a iteración dá x₁ = 0 − (−10⁻¹⁰)/10⁻¹² = 100. Ao tratarse dunha función lineal, a tanxente é a propia recta e chega directamente á raíz.

Cuarto paso: comparar. O método de Newton é matematicamente invariante se multiplicamos f por unha constante non nula: o factor cancélase no cociente f/f′. Un criterio baseado unicamente no tamaño de f non comparte esa invariancia.

O exemplo non afirma que todo residuo sexa inútil. No primeiro caso puidemos relacionar residuo e erro mediante unha identidade e unha cota. A lección é que unha cifra pequena necesita unha xustificación que conecte o valor da función coa distancia á raíz.

Un rexistro de iteracións que permita detectar fallos

Anota xₙ, f(xₙ), f′(xₙ) e o seguinte valor. Esa táboa revela divisións imposibles, repeticións e cambios de rama. A diferenza |xₙ₊₁ − xₙ| tamén aporta información, pero tampouco é unha garantía universal sen condicións adicionais.

Se o problema pide unha precisión certificada, busca un argumento de erro apropiado ou un intervalo que conteña a raíz. Non presentes a repetición de cifras redondeadas como unha demostración automática. Unha conta numérica pode ser útil e seguir necesitando unha explicación do alcance.

Referencia académica consultada: OpenStax: método de Newton e fallos. Os datos, o ciclo escalado e a comparación de residuos desta práctica son propios.

Relaciona a construción coa guía de límites e derivadas e garda a táboa de intentos na libreta de erros.

Preguntas frecuentes

Newton sempre achega o seguinte punto á raíz?

Non. Pode fallar por unha derivada nula, converxer a outra raíz ou entrar nun ciclo sen aproximar ningunha.

Un residuo moi pequeno garante un erro pequeno?

Non por si só. A escala da función e información adicional sobre o seu comportamento son necesarias para relacionar residuo e distancia á raíz.

Debo redondear o valor que uso en cada paso?

Convén conservar suficientes cifras internas e redondear só a presentación, para non modificar innecesariamente as iteracións.

Comprobar o resultado ademais de producir cifras

Repite as tres iteracións de √7 e explica por que o ciclo da segunda actividade non resolve a ecuación. Para reforzar derivadas e xustificacións dentro da preparación, consulta a ficha de Matemáticas II de Galicia, dispoñible para comprar, cos contidos e as condicións actuais.