Binomial: exactamente e polo menos, exercicios resoltos

Binomial: traduce a pregunta antes de calcular

«Exactamente dous», «polo menos un» e «como máximo un» poden aparecer no mesmo problema e necesitan operacións distintas. A dificultade non é escoller unha fórmula ao azar, senón expresar con precisión o suceso. Nesta práctica orixinal usaremos un único modelo para comparar esas tres preguntas e comprobar os resultados entre si.

A guía de Matemáticas II para Galicia sitúa o repaso da materia. Este artigo céntrase na linguaxe das probabilidades discretas. Non afirma unha frecuencia de aparición nin unha puntuación para unha convocatoria.

Comproba se o modelo binomial encaixa

O capítulo de distribución binomial de OpenStax presenta un reconto de éxitos nun número fixo de ensaios independentes, con probabilidade de éxito constante. Esa comprobación vai antes das operacións.

O noso enunciado describe seis ensaios independentes. En cada un só distinguimos éxito e fracaso, e a probabilidade de éxito é 0,25. Chamamos X ao número de éxitos. Polo tanto, X segue unha binomial con n = 6 e p = 0,25.

«Éxito» é unha etiqueta matemática, non unha valoración positiva do acontecemento. Podería representar detectar un defecto ou obter unha resposta determinada. Aquí non se afirma que unha mostra real cumpra independencia: é unha condición expresamente dada.

Para k éxitos, a expresión é P(X = k) = C(6,k)·0,25^k·0,75^(6−k). O coeficiente combinatorio conta as posicións posibles deses éxitos. Non debe multiplicarse outra vez polo número de ordes despois de usalo.

Exercicio 1: exactamente dous éxitos

Calcula a probabilidade de obter exactamente dous éxitos. O suceso é X = 2, non X maior ca dous nin X menor ou igual ca dous.

Hai C(6,2) = 15 maneiras de situar os dous éxitos nos seis ensaios. Cada orde concreta con dous éxitos e catro fracasos ten probabilidade 0,25²·0,75⁴. Multiplicando, P(X = 2) = 15·0,25²·0,75⁴ = 0,296630859375.

Redondeado a catro decimais, o resultado é 0,2966. Como porcentaxe, aproximadamente 29,66 %. Non escribas 0,2966 %: esa expresión sería cen veces menor.

Unha comprobación útil consiste en analizar o expoñente dos fracasos: seis ensaios menos dous éxitos deixan catro fracasos. Se os expoñentes suman outro número, a expresión non representa o suceso indicado.

Exercicio 2: polo menos un éxito

«Polo menos un» significa X maior ou igual ca un. Inclúe un, dous, tres, catro, cinco e seis éxitos. Poderías sumar esas seis probabilidades, pero existe unha vía máis curta.

O único caso excluído é cero éxitos. Así, P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,75⁶ = 0,822021484375. A catro decimais, 0,8220.

Observa que non estamos restando a probabilidade dun éxito. O complementario de «polo menos un» é «ningún», non «exactamente un». Escribir o suceso con palabras antes da fórmula evita esa confusión.

O resultado é maior ca P(X = 2), como debe ser: exactamente dous está incluído dentro de polo menos un. Esta comparación non demostra todo o cálculo, pero detectaría unha resposta imposible se a probabilidade do conxunto máis amplo fose menor.

Exercicio 3: como máximo un éxito

Agora o suceso é X menor ou igual ca un. Inclúe cero e un, polo que P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1).

Xa temos P(X = 0) = 0,177978515625. Para un éxito: P(X = 1) = 6·0,25·0,75⁵ = 0,35595703125. A suma é 0,533935546875, ou 0,5339 a catro decimais.

Non confundas «como máximo un» con «menos dun». Como X é un reconto enteiro, menos dun só permite cero; como máximo un permite cero e un. A palabra «máximo» inclúe o valor límite.

Como comprobación adicional, a probabilidade de polo menos dous é 1 − 0,533935546875 = 0,466064453125. Os sucesos X ≤ 1 e X ≥ 2 forman unha partición: non se solapan e cobren todos os resultados posibles.

Exercicio 4: o que significa a esperanza

A esperanza da binomial é n·p = 6·0,25 = 1,5 éxitos. Iso non obriga a observar un éxito e medio nunha realización, nin significa que X poida tomar o valor 1,5.

X só pode valer 0, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. A esperanza describe unha media teórica en repeticións do modelo. É unha magnitude distinta da probabilidade de exactamente dous e distinta do resultado dun ensaio concreto de seis probas.

Se o problema preguntase P(X = 1,5), a resposta sería cero, porque ese valor non pertence ao conxunto de valores posibles. Esta comprobación axuda a distinguir reconto, media e probabilidade.

Un cambio que invalida a aplicación automática

Imaxina agora que os ensaios se realizan seleccionando elementos sen reposición dunha colección pequena. A probabilidade do seguinte éxito pode cambiar co resultado anterior. Non uses a binomial de maneira automática: primeiro comproba se o enunciado mantén independencia e probabilidade constante ou proporciona unha aproximación xustificada.

Non necesitas resolver outro modelo para detectar ese límite. Basta explicar que cambiou unha hipótese esencial. Saber cando unha fórmula non está xustificada forma parte de comprender cando si funciona.

Autocorrección en tres liñas

Escribe o suceso simbólico, os valores de X incluídos e a operación correspondente. Despois comproba que o resultado queda entre cero e un e que as inclusións entre sucesos teñen sentido.

Na libreta de erros conserva unha parella de frases que confundiches, por exemplo «máis dun» e «polo menos un». Resolver máis contas sen reparar a tradución pode repetir o mesmo erro.

Preguntas frecuentes

Polo menos un e exactamente un son o mesmo?

Non. Polo menos un inclúe todos os valores desde un ata o máximo posible; exactamente un só inclúe o valor un.

Por que se emprega o complementario para polo menos un?

Porque o seu complementario é cero éxitos e require unha única probabilidade. É unha simplificación do cálculo, non unha regra para calquera desigualdade.

A esperanza de 1,5 permite observar un éxito e medio?

Non. O reconto toma valores enteiros; a esperanza é unha media teórica e pode ser decimal.

Continúa coa probabilidade

Repite as tres preguntas cambiando só a desigualdade e mantén visibles os límites. O curso de Matemáticas II para Galicia está dispoñible para compra. Consulta a ficha para valorar os seus contidos.