Volúmenes de revolución: discos, huecos y eje de giro

Una región plana puede girar alrededor de una recta y generar un sólido. La integral que calcula su volumen no suma alturas ni áreas de la región inicial: suma pequeñas secciones del sólido. Antes de integrar, hay que decidir qué figura tiene cada sección y qué distancias forman sus radios.

Esta práctica propone tres ejercicios originales de ampliación del cálculo integral. No afirma que los volúmenes de revolución formen parte del programa de Matemáticas II en todas las comunidades. Su utilidad es aprender a construir una integral desde una descripción geométrica, distinguiendo claramente unidades cuadradas y cúbicas.

Por qué aparece un radio al cuadrado

Si cortas un sólido en secciones perpendiculares al eje x, cada sección tiene un área A(x). Un tramo muy fino de grosor Δx tiene volumen aproximado A(x)Δx. Al sumar y pasar al límite:

V = ∫ desde a hasta b de A(x) dx.

En un disco de radio R, A = πR². Si hay un hueco circular concéntrico de radio r, la sección es una arandela y A = π(R² − r²), con R ≥ r ≥ 0.

Son radios medidos desde el eje de giro. En los ejercicios elegiremos regiones situadas a un solo lado del eje, de modo que se identifiquen sin solapamientos. Si el eje atraviesa la región, no basta con etiquetar automáticamente la curva superior como radio exterior.

Ejercicio 1: una región que genera discos

Gira alrededor del eje x la región comprendida entre y = x², y = 0, x = 0 y x = 2. Calcula el volumen.

En cada x entre cero y dos, el segmento vertical va desde el eje hasta y = x². Al girar, llena un disco sin hueco. Su radio es R(x) = x².

El área de la sección es A(x) = π(x²)² = πx⁴. El cuadrado afecta al valor completo del radio.

Integramos:

V = π∫ desde 0 hasta 2 de x⁴ dx = π[x⁵/5] desde 0 hasta 2 = 32π/5.

Si las coordenadas se miden en centímetros, el volumen es 32π/5 cm³, aproximadamente 20,106 cm³.

El área de la región inicial, en cambio, sería ∫ de x² dx = 8/3 cm². Es otra magnitud. Multiplicar esa área por π no genera automáticamente el volumen del sólido.

Como comprobación geométrica, todas las secciones caben en discos de radio cuatro y el sólido tiene longitud dos. El cilindro que lo contiene tendría volumen 32π cm³, mayor que el resultado calculado.

Ejercicio 2: una región con hueco

Gira alrededor del eje x la región entre y = x + 2 e y = 1, desde x = 0 hasta x = 2.

La región no llega al eje de giro. Cada segmento vertical empieza en altura uno y termina en x + 2. Su giro produce una arandela: R(x) = x + 2 y r(x) = 1.

El área de la sección es A(x) = π[(x + 2)² − 1] = π(x² + 4x + 3).

Por tanto:

V = π[x³/3 + 2x² + 3x] desde 0 hasta 2.

Al sustituir, V = π(8/3 + 8 + 6) = 50π/3 unidades cúbicas.

El hueco retirado es un cilindro de radio uno y longitud dos, cuyo volumen es 2π. El sólido exterior, sin hueco, tendría volumen 56π/3. La diferencia vuelve a dar 50π/3.

No uses π[(x + 2) − 1]². Esa fórmula describiría discos de radio igual al espesor de la arandela. Por ejemplo, en x = 0 el área correcta es π(4 − 1) = 3π, mientras que el cuadrado del espesor daría sólo π.

Ejercicio 3: el mismo dibujo plano con un eje desplazado

Ahora gira la región del primer ejercicio alrededor de la recta y = −1, manteniendo 0 ≤ x ≤ 2.

El eje ya no coincide con el borde inferior de la región. La distancia desde y = −1 hasta y = x² es R(x) = x² + 1. La distancia hasta el borde y = 0 es r(x) = 1.

Cada sección es una arandela, no un disco. Su área vale:

A(x) = π[(x² + 1)² − 1] = π(x⁴ + 2x²).

Integramos:

V = π[x⁵/5 + 2x³/3] desde 0 hasta 2 = π(32/5 + 16/3) = 176π/15 unidades cúbicas.

El resultado es aproximadamente 36,861 unidades cúbicas, mayor que los 32π/5 del primer ejercicio. La región plana no cambió, pero al alejarla del eje sus puntos recorren círculos mayores.

La diferencia entre los volúmenes es 16π/3. Esa diferencia también se obtiene integrando el término adicional 2πx² que aparece al desarrollar las secciones.

Unidades y dimensiones como control

Si x y los radios son longitudes, A(x) tiene unidades de longitud al cuadrado. Multiplicar por dx e integrar añade una longitud más: el resultado está en unidades cúbicas.

Esa comprobación detecta haber integrado sólo R(x) en vez de R(x)². Sin embargo, no detecta todos los errores: tanto R² − r² como (R − r)² tienen las mismas unidades. Para distinguirlos necesitas comprender la sección.

Los límites también proceden de la geometría. Aquí se dieron explícitamente, pero en otro problema pueden venir de cortes entre curvas. Resolver una primitiva correctamente no compensa elegir una región o un eje distintos.

Qué debes dejar escrito en una solución

Una solución comprensible identifica región, eje, radio exterior e interior, área de sección e integral. El desarrollo algebraico viene después.

Si utilizas una figura, señala el eje desplazado con claridad. Escribir únicamente una fórmula de volumen puede esconder que has medido el radio desde el origen por costumbre. La descripción de una sola sección suele bastar para justificar todo el planteamiento.

Cuando el sólido tenga otra orientación, habrá que decidir si conviene integrar respecto de x o de y. Esa elección debe mantener las secciones perpendiculares al eje usado por este método.

Para conectar el cálculo con el bloque general, consulta el artículo relacionado de Matemáticas II. En la libreta de errores puedes registrar el supuesto o paso que has corregido; es un recurso de organización del estudio.

Referencia conceptual: OpenStax, apartado consultado. Los enunciados, cifras y desarrollos son originales; no son preguntas oficiales ni acreditan frecuencia de aparición en una convocatoria.

Preguntas frecuentes

¿El volumen es π veces el cuadrado del área plana?

No. Se integra el área de cada sección circular: πR(x)², o π(R(x)² − r(x)²) si hay un hueco. No se eleva al cuadrado el área total de la región.

¿Una arandela se calcula con π(R − r)²?

No. Hay que restar las áreas de los dos círculos: π(R² − r²). El cuadrado de la diferencia corresponde a otra expresión.

¿La función siempre coincide con el radio?

Sólo en determinadas configuraciones. El radio es una distancia al eje de giro; si el eje está desplazado, debes calcular esa distancia.

Describe una sección antes de escribir la integral del volumen

Dibuja el eje y una sección perpendicular: identifica qué distancia es cada radio antes de integrar. Para continuar con cálculo integral, consulta Matemáticas II de Navarra y comprueba contenidos, precio y compra disponible. Esta aplicación se ofrece como ampliación; contrasta el programa oficial de tu comunidad antes de asumir que se exige.

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