Coordenadas en una base no ortonormal: ejercicios

El vector no cambia cuando cambiamos la base, pero sí los números que usamos para representarlo. Confundir esas dos cosas lleva a sumar componentes que pertenecen a sistemas distintos o a calcular una longitud con una fórmula que presupone ejes ortonormales.

Aquí practicarás una tarea concreta de álgebra vectorial: obtener coeficientes respecto a una base elegida y reconstruir el vector en coordenadas cartesianas. Los ejercicios son originales. Las operaciones se apoyan en sistemas lineales, pero su objetivo es interpretar las coordenadas, no repetir una discusión general de rangos con parámetro.

Una base es una lista ordenada de direcciones independientes

En R³, una base B = (b₁, b₂, b₃) está formada por tres vectores linealmente independientes. Todo vector v se expresa de una única manera como v = c₁b₁ + c₂b₂ + c₃b₃. Escribimos [v]B = (c₁, c₂, c₃).

Los coeficientes son las coordenadas respecto a B. No tienen por qué coincidir con las componentes cartesianas de v. Además, el orden importa: intercambiar b₁ y b₂ intercambia los coeficientes correspondientes.

Una base ortonormal tiene vectores unitarios y mutuamente perpendiculares. Una base cualquiera no tiene por qué cumplir esas propiedades. La independencia permite representar vectores de forma única; la ortonormalidad añade facilidades para medir longitudes y proyecciones.

Si colocamos b₁, b₂ y b₃ como columnas de una matriz P, la relación es v = P[v]B, donde v representa aquí su columna de componentes cartesianas. Para recuperar [v]B resolvemos Pc = v. No se trata de multiplicar por P en ambas direcciones.

Ejercicio 1: coordenadas respecto a una base oblicua

Considera b₁ = (1, 0, 0), b₂ = (1, 1, 0) y b₃ = (0, 1, 1). Encuentra las coordenadas del vector v = (5, 5, 2) respecto a B.

Paso 1. Comprueba la base. La matriz de columnas es P = [[1, 1, 0], [0, 1, 1], [0, 0, 1]]. Es triangular y su determinante es 1. Por tanto, los tres vectores son independientes y forman una base de R³.

No es ortogonal: b₁·b₂ = 1. Tampoco todos sus vectores tienen módulo uno. Que el determinante sea no nulo no implica ortonormalidad.

Paso 2. Escribe la combinación. c₁(1, 0, 0) + c₂(1, 1, 0) + c₃(0, 1, 1) = (5, 5, 2). Al comparar componentes obtenemos c₁ + c₂ = 5; c₂ + c₃ = 5; c₃ = 2.

Paso 3. Resuelve de abajo arriba. c₃ = 2, c₂ = 3 y c₁ = 2. Por tanto, [v]B = (2, 3, 2).

Paso 4. Reconstruye. 2b₁ + 3b₂ + 2b₃ = (2, 0, 0) + (3, 3, 0) + (0, 2, 2) = (5, 5, 2). Esta comprobación verifica el significado geométrico del resultado.

Los números (2, 3, 2) no describen otro desplazamiento físico. Indican cuánto avanzar en cada una de las direcciones de B para obtener el mismo vector v.

Ejercicio 2: calcula una longitud sin asumir ejes rectos

Usa el mismo vector y la misma base. ¿Su módulo es √(2² + 3² + 2²)?

Paso 1. Identifica la hipótesis oculta. Sumar los cuadrados de las coordenadas da directamente el cuadrado del módulo cuando esas coordenadas se refieren a una base ortonormal. B no lo es.

Paso 2. Vuelve a componentes cartesianas. Ya sabemos que v = (5, 5, 2), por lo que |v| = √(25 + 25 + 4) = √54 = 3√6, aproximadamente 7,348. El valor √17 obtenido con las otras coordenadas no corresponde al módulo euclídeo del vector.

Paso 3. Comprueba desde B. Los productos escalares son b₁·b₁ = 1, b₂·b₂ = 2, b₃·b₃ = 2; b₁·b₂ = 1, b₁·b₃ = 0 y b₂·b₃ = 1.

Expandiendo v·v aparecen términos cruzados: 2² × 1 + 3² × 2 + 2² × 2 + 2 × 2 × 3 × 1 + 2 × 2 × 2 × 0 + 2 × 3 × 2 × 1 = 54.

No necesitas memorizar esa expansión para todos los problemas. Su función aquí es mostrar qué se pierde al tratar una base oblicua como si sus direcciones fueran perpendiculares.

Tampoco v·b₁, v·b₂ y v·b₃ dan directamente los coeficientes de una base cualquiera. En este caso esos productos son 5, 10 y 7, que no coinciden con (2, 3, 2).

Ejercicio 3: representar un vector en el plano y fuera de él

Toma u₁ = (1, 0, 1) y u₂ = (0, 1, 1). Son independientes, pero solo dos vectores: forman una base del plano que generan, no de todo R³.

Para w = (2, −1, 1), busca w = a u₁ + b u₂. Las primeras componentes obligan a = 2 y b = −1. La tercera exige a + b = 1, que se cumple. Por tanto, [w]U = (2, −1).

Ahora intenta representar z = (2, −1, 0). Las dos primeras componentes vuelven a imponer a = 2 y b = −1, pero la tercera daría 1, no 0. No existe esa representación: z está fuera del plano generado.

La ecuación del plano es z = x + y, si x, y, z nombran coordenadas cartesianas de un punto o vector de posición. w la satisface y el segundo vector no. El fallo no indica que hayas elegido mal una solución del sistema: indica incompatibilidad.

Cambiar una referencia no equivale a trasladar un origen

Para vectores libres, cambiar de base modifica las direcciones usadas en su representación. Para coordenadas de puntos también importa el origen. Si el origen nuevo está en O′, primero construyes el desplazamiento O′P y después lo expresas en la base nueva.

Por ejemplo, con O′ = (1, 2, 0) y punto P = (6, 7, 2), el vector O′P es (5, 5, 2). Sus coordenadas en B son las calculadas: (2, 3, 2). Usar directamente las componentes de P sin restar O′ mezclaría un cambio de origen con uno de base.

Antes de operar, etiqueta cada columna con la base correspondiente. La reconstrucción final debe reproducir el vector cartesiano dado, o el desplazamiento desde el origen definido. Esa comprobación suele ser más clara que revisar una multiplicación sin saber qué representa.

Referencia conceptual: fuente académica 1. Los casos y cálculos anteriores son originales.

Puedes situar esta práctica en el tema relacionado. Utiliza la libreta de errores para registrar la hipótesis, unidad o paso que necesites corregir; es un recurso de organización del repaso.

Preguntas frecuentes

¿Una base de R³ debe ser ortonormal?

No. Basta con tres vectores linealmente independientes. Ser ortonormal exige además que sean unitarios y mutuamente perpendiculares.

¿Puedo calcular el módulo sumando cuadrados en cualquier base?

No directamente. Esa fórmula corresponde a coordenadas en una base ortonormal. En una base oblicua hay que considerar los productos entre sus vectores o reconstruir componentes cartesianas.

¿Dos vectores independientes forman una base de R³?

No. Forman una base del plano que generan. Para una base de R³ hacen falta tres vectores independientes.

Reconstruye el vector para comprobar sus coordenadas

Reconstruye el vector cartesiano a partir de sus coordenadas en B y calcula después el módulo. Comprueba por qué sumar directamente los cuadrados de las coordenadas oblicuas pierde los términos cruzados. Consulta el curso de Matemáticas II para tu comunidad, disponible para comprar; su ficha muestra contenidos, precio y condiciones actuales.