Curvas paramétricas: derivadas y tangentes con ejercicios

Una curva puede darse mediante dos funciones del mismo parámetro: x = x(t), y = y(t). Derivar únicamente y respecto a t no proporciona, en general, la pendiente de su tangente en el plano. También importa cómo cambia x.

Esta práctica es una ampliación de cálculo y no se presenta como contenido oficial común a todas las pruebas PAU. Resolveremos curvas originales sencillas y distinguiremos tangentes horizontales, verticales y puntos donde un cociente formal deja de decidir la respuesta.

Distingue las dos derivadas

Si x e y son derivables y x′(t0) no es cero, la regla de la cadena da dy/dx = y′(t)/x′(t) cerca del punto considerado. El parámetro no tiene por qué ser tiempo: en estos ejercicios es una variable real sin unidades.

La sección de curvas paramétricas de OpenStax desarrolla esta relación. La condición sobre x′ evita dividir entre cero. No convierte cualquier denominador nulo en una respuesta automática: hay que estudiar qué ocurre con el numerador y la curva.

Para escribir una recta tangente necesitamos punto y dirección. Primero calcularemos (x(t0), y(t0)); después su pendiente cuando sea finita. Una pendiente correcta colocada en un punto equivocado no resuelve la pregunta.

Primer ejercicio: punto y pendiente con el mismo parámetro

Considera x = 2t + 1, y = t² − 3t. Halla la tangente en t = 2.

Paso 1. Localizar el punto. x(2) = 5 e y(2) = 4 − 6 = −2. El punto es (5, −2); t = 2 no es la coordenada x.

Paso 2. Derivar ambas funciones. x′ = 2 e y′ = 2t − 3. En t = 2 valen 2 y 1.

Paso 3. Formar el cociente. dy/dx = 1/2. Si hubieras usado solo y′, habrías obtenido una pendiente doble de la correcta.

Paso 4. Escribir la recta. y + 2 = ½(x − 5). Comprueba que pasa por (5, −2).

También puedes despejar t = (x − 1)/2 y sustituir en y para obtener una función de x. Esa vía debe conducir a la misma pendiente. Es una comprobación para este caso, no una exigencia de eliminar siempre el parámetro.

Segundo ejercicio: una misma curva con otro recorrido

Reparametriza la curva anterior usando t = 3s. Queda x = 6s + 1 e y = 9s² − 9s. El punto anterior corresponde a s = 2/3.

Ahora dx/ds = 6 y dy/ds = 18s − 9. En s = 2/3, la derivada de y respecto a s vale 3. El cociente vuelve a ser 3/6 = 1/2.

La rapidez con que cambia el parámetro ha multiplicado ambas derivadas por el mismo factor. La dirección geométrica de la tangente no cambia. No confundas dy/ds = 3 con una pendiente de tres.

Esta invariancia exige que el cambio de parámetro sea regular en el punto: aquí dt/ds = 3 no es cero. Si se anula, el cociente puede quedar indeterminado aunque la curva geométrica conserve una tangente.

Tercer ejercicio: tangente vertical sin pendiente finita

Considera x = t² + 1, y = 3t − 2. Estudia t = 0.

El punto es (1, −2). Las derivadas son x′ = 2t e y′ = 3. En t = 0, la primera se anula y la segunda no: la dirección tangente (0, 3) es vertical. Su recta es x = 1.

No escribas una pendiente numérica igual a infinito como si fuera un número real. La ecuación x = 1 expresa directamente la recta vertical.

Como comprobación, y permite despejar t = (y + 2)/3. Sustituyendo: x = 1 + (y + 2)²/9. La curva es una parábola que abre hacia la derecha y tiene vértice en (1, −2).

Para t distinto de cero, dy/dx = 3/(2t). Sus valores crecen en módulo al aproximarse a cero, con signos opuestos a cada lado. Eso no impide que la recta tangente geométrica sea la misma vertical.

Cuarto ejercicio: cuando se anulan ambas derivadas

Toma x = t³, y = 2t³. En t = 0 obtenemos x′ = 0 e y′ = 0, así que el cociente directo es 0/0. ¿Significa que no existe tangente?

No. La relación y = 2x vale para todo t. La curva geométrica es una recta y su tangente en el origen es y = 2x. El parámetro se detiene allí, pero la dirección de la recta sigue definida.

Para t distinto de cero, y′/x′ = 6t²/(3t²) = 2. También los puntos de la curva respecto al origen satisfacen y/x = 2. Ambas observaciones justifican la dirección.

La conclusión correcta es que la fórmula directa no decide el caso en t = 0. No es correcto convertir un 0/0 en una pendiente cero, ni afirmar que dos derivadas nulas eliminan cualquier tangente posible.

Quinto ejercicio: otra anulación simultánea

Considera x = t² e y = t³. En el origen ambas derivadas vuelven a anularse. Para t distinto de cero, dy/dx = 3t/2, que tiende a cero.

Los cocientes de las secantes desde el origen dan y/x = t, también tendiendo a cero. Por tanto, la recta tangente geométrica es y = 0. La curva tiene una cúspide en el origen: no debemos confundir existencia de una recta tangente con regularidad de la parametrización.

Compara con el ejercicio anterior. El mismo patrón algebraico 0/0 conduce a direcciones distintas porque hay que estudiar las funciones concretas. No es una respuesta final, sino una señal de que hace falta otro argumento.

Una revisión en tres pasos

Anota primero el parámetro solicitado y el punto que produce. Después calcula el vector (x′, y′). Si x′ no es cero, usa el cociente; si solo x′ es cero, estudia la dirección vertical; si ambos se anulan, examina límites o una relación geométrica.

No traslades sin más el criterio de tangente horizontal y′ = 0 cuando también x′ = 0. El numerador nulo identifica una tangente horizontal regular si el denominador no se anula.

Relaciona esta práctica con límites y derivadas. En la libreta de errores, conserva punto, derivadas y condición usada, además de la ecuación final.

Preguntas frecuentes

¿La derivada de y respecto al parámetro es siempre la pendiente?

No. Si x también depende del parámetro, la pendiente es y′/x′ cuando x′ no se anula.

¿Una tangente vertical se escribe con pendiente infinita?

Se expresa como una recta x constante. No tiene una pendiente real finita.

¿Dos derivadas nulas significan que no hay tangente?

No necesariamente. El cociente directo no decide y hay que estudiar la curva mediante límites o una relación geométrica.

Comprueba la dirección antes de escribir la recta

En el primer ejercicio, busca el parámetro donde la tangente es horizontal y calcula su punto. Para ampliar tu estudio de cálculo, consulta el curso de Matemáticas II para Navarra, disponible para compra, y distingue su temario de esta ampliación.