Derivación logarítmica: base y exponente variables

La regla de la potencia y la derivada de una exponencial se parecen solo en la escritura. En x⁴, el exponente es constante. En 4ˣ, la base es constante. Cuando cambian ambos, aplicar cualquiera de esas reglas como si la otra parte fuera fija deja términos fuera.

La derivación logarítmica organiza ese tercer caso. También permite simplificar productos y cocientes antes de derivar. Aquí resolverás tres funciones originales y comprobarás un error frecuente: obtener una expresión aparentemente razonable que no corresponde a la función inicial. No son ejercicios oficiales ni una lista de exigencias de una convocatoria.

Empieza por una función positiva

Si y = u(x)^v(x) y u(x) > 0, podemos escribir ln y = v(x) ln u(x). Derivando mediante cadena y producto obtenemos y′/y = v′ ln u + v u′/u.

Por tanto, y′ = u^v[v′ ln u + v u′/u]. Hay dos términos porque cambian tanto el exponente como la base. Si uno de ellos es constante, la fórmula se reduce a la regla correspondiente.

El dominio no se resuelve al final. Para una potencia real de exponente variable trabajaremos donde la base sea positiva. Algunas potencias con bases negativas pueden existir para exponentes concretos, pero no por ello definen la misma función real derivable en todo un intervalo.

También puede usarse ln|y| cuando y no se anula y tiene signo constante en el intervalo considerado. En esta práctica elegiremos dominios positivos para que todos los logaritmos empleados estén justificados sin esa ampliación.

Ejercicio 1: una base desplazada y exponente variable

Deriva f(x) = (x + 2)^(x − 1) en x > −2 y calcula la pendiente en x = 0.

Paso 1. Toma logaritmos. ln f = (x − 1)ln(x + 2). No se convierte en ln(x + 2) elevado a x − 1: el exponente pasa a multiplicar.

Paso 2. Deriva el producto. f′/f = ln(x + 2) + (x − 1)/(x + 2). El primer término procede de derivar x − 1; el segundo, de derivar el logaritmo.

Paso 3. Recupera la función. f′ = (x + 2)^(x − 1)[ln(x + 2) + (x − 1)/(x + 2)]. Dejar solo el corchete daría f′/f, no f′.

Paso 4. Evalúa. f(0) = 2⁻¹ = 1/2. La pendiente es f′(0) = (1/2)(ln 2 − 1/2) ≈ 0,09657.

La tangente en ese punto es y = 1/2 + [(ln 2)/2 − 1/4]x. La pendiente es pequeña y positiva; eso no implica que la función sea creciente en todo su dominio. Para afirmar monotonía global habría que estudiar el signo del corchete en todo el intervalo.

Si hubieras aplicado únicamente la regla de la potencia, faltaría el término ln(x + 2). Si hubieras tratado x + 2 como una base constante, faltaría el cociente (x − 1)/(x + 2).

Ejercicio 2: una potencia con exponente senoidal

Deriva g(x) = (x² + 1)^(sen x) para todo x real. Los ángulos están expresados en radianes.

La base x² + 1 es estrictamente positiva, así que ln g = sen x · ln(x² + 1) está definido para todo x. Derivando, g′/g = cos x · ln(x² + 1) + sen x · 2x/(x² + 1).

Por tanto, g′ = (x² + 1)^(sen x)[cos x ln(x² + 1) + 2x sen x/(x² + 1)].

En x = 0, g(0) = 1⁰ = 1, una expresión definida, y ambos términos del corchete valen cero. Así, g′(0) = 0. No confundas el número 1⁰ con una indeterminación de límites: aquí se evalúa una función en un punto concreto.

En x = π/2, sen x = 1 y cos x = 0. La expresión se simplifica: g′(π/2) = [1 + π²/4] × π/[1 + π²/4] = π.

Esta comprobación usa el valor del exponente en el punto sin tratarlo como constante en un entorno. Sustituir primero sen x por uno en toda la función sería un razonamiento incorrecto, aunque en este punto concreto el término asociado a su derivada se anule.

Ejercicio 3: producto, raíz y cociente

Considera h(x) = x²√(x + 3)/(x + 1)³ en x > 0. Obtén una expresión factorizada para la derivada y decide su signo.

Paso 1. Expande el logaritmo. ln h = 2 ln x + (1/2)ln(x + 3) − 3 ln(x + 1). Todos los argumentos son positivos en el dominio indicado.

Paso 2. Deriva cada término. h′/h = 2/x + 1/[2(x + 3)] − 3/(x + 1). Las reglas de producto y cociente originales quedan recogidas en una suma de fracciones.

Paso 3. Une los términos. Con denominador común 2x(x + 3)(x + 1), el numerador es 4(x + 3)(x + 1) + x(x + 1) − 6x(x + 3). Al desarrollar obtenemos −x² − x + 12 = (3 − x)(x + 4).

Paso 4. Clasifica el signo. Para x > 0, h y el denominador son positivos; x + 4 también. Por tanto, h′ es positiva entre cero y tres, vale cero en tres y es negativa después. Hay un máximo en x = 3.

Su valor es h(3) = 9√6/64 ≈ 0,3445. No hemos deducido ese máximo por anular una segunda derivada, sino por el cambio de signo de la primera.

En x = 1, h(1) = 1/4 y el corchete de la derivada vale 2 + 1/8 − 3/2 = 5/8. Así, h′(1) = 5/32. Es una comprobación numérica adicional de la expresión.

Las tres comprobaciones finales

Primero comprueba que la función original y los logaritmos están definidos en el intervalo usado. Segundo, revisa la cadena: derivar ln u produce u′/u, no solo 1/u. Tercero, vuelve a multiplicar por la función para recuperar y′.

La derivación logarítmica no obliga a expandir siempre el resultado final. Una forma factorizada suele mostrar mejor el signo y evitar cuentas largas. Pero no puede usarse un paso fuera de su dominio para justificar conclusiones sobre puntos donde el logaritmo no existe.

Si conoces una segunda vía, como derivar directamente un producto, úsala para comprobar un punto sencillo. Dos expresiones distintas pueden ser algebraicamente iguales; verificar una igualdad exige simplificar, no comparar solo su aspecto.

Referencia conceptual: fuente académica 1. Los casos y cálculos anteriores son originales.

Puedes situar esta práctica en el tema relacionado. Utiliza la libreta de errores para registrar la hipótesis, unidad o paso que necesites corregir; es un recurso de organización del repaso.

Preguntas frecuentes

¿Puedo aplicar la regla de xⁿ si el exponente depende de x?

No como si el exponente fuera constante. Con base positiva y exponente variable hay que considerar las derivadas de ambos, por ejemplo mediante derivación logarítmica.

¿Qué obtengo al derivar ln y?

Obtienes y′/y mediante la regla de la cadena. Después debes multiplicar por y para despejar la derivada de la función original.

¿La base puede ser negativa en este procedimiento?

La fórmula con ln de la base se ha justificado donde esa base es positiva. Las bases negativas requieren estudiar por separado si la potencia real está definida y es derivable.

Comprueba el dominio antes de bajar el exponente

Deriva de nuevo la potencia desplazada mostrando los dos términos del corchete. En el tercer caso, utiliza el signo de la expresión factorizada para justificar el máximo sin expandir toda la derivada. Consulta el curso de Matemáticas II para tu comunidad, disponible para comprar; su ficha muestra contenidos, precio y condiciones actuales.