Aproximación lineal: diferenciales, error y cotas

La recta tangente permite estimar valores cercanos sin afirmar que la función se haya vuelto lineal. Esa diferencia importa cuando el ejercicio pide un error, una tolerancia o una cantidad calculada a partir de una medida: una aproximación útil no es automáticamente una cota garantizada.

Resolveremos tres situaciones originales y contrastaremos el resultado con valores exactos o calculados con más precisión. La práctica trata la linealización como herramienta de análisis local, sin atribuir estas preguntas a un modelo oficial de examen.

Qué representa la aproximación local

Si f es derivable en a, su linealización es L(x) = f(a) + f′(a)(x − a). Coincide con f en a y comparte allí su pendiente. Para un incremento h pequeño, f(a + h) se aproxima mediante f(a) + f′(a)h.

El apartado académico sobre aproximaciones lineales y diferenciales permite contrastar esta construcción. En los ejercicios utilizaremos nuestras propias funciones, cifras y comprobaciones.

Escribe el símbolo ≈ cuando sustituyes una función por su recta. Usar una igualdad sin resto transformaría una estimación en una identidad falsa. La excepción es una función que ya es lineal en el intervalo considerado.

El error absoluto es la distancia entre valor real y aproximado. El relativo divide esa distancia por el valor absoluto real, si es distinto de cero. Cuando se calcula con un valor de referencia aproximado, hay que indicarlo; el número de decimales impreso no demuestra por sí solo una precisión determinada.

Ejercicio 1: aproximar una raíz y localizar el exceso

Estima √25,2 utilizando f(x) = √x alrededor de a = 25.

Paso 1. Valor y derivada: f(25) = 5 y f′(x) = 1/(2√x), por lo que f′(25) = 1/10.

Paso 2. Recta: L(x) = 5 + (x − 25)/10.

Paso 3. Sustitución: L(25,2) = 5 + 0,2/10 = 5,02.

Una calculadora con más precisión proporciona √25,2 ≈ 5,019960159. El error absoluto de la estimación es aproximadamente 0,000039841. La linealización sobreestima ligeramente la raíz.

Podemos justificar el sentido sin depender únicamente de la pantalla: f″(x) = −1/(4x elevado a 3/2) es negativa para x positivo. La curva es cóncava hacia abajo y su tangente queda por encima en este intervalo.

No confundas el error de la aproximación con 0,2, que es el incremento de la variable de entrada. Son magnitudes relacionadas, pero pertenecen a pasos diferentes del cálculo.

Ejercicio 2: una función exponencial y dos errores distintos

Usa f(x) = eˣ en a = 0 para estimar e elevado a 0,03. Como f(0) = 1 y f′(0) = 1, tenemos L(x) = 1 + x.

La estimación es 1,03. Un valor de referencia con más precisión es e elevado a 0,03 ≈ 1,030454534. El error absoluto es aproximadamente 0,000454534.

El error relativo es 0,000454534/1,030454534, aproximadamente 0,00044110. Expresado en porcentaje, resulta 0,04411 %. No confundas ese porcentaje con 0,00044110 %: al pasar de fracción a porcentaje multiplicamos por cien.

La recta subestima en este caso porque eˣ es convexa. La curvatura explica que el signo del error sea distinto al de la raíz del primer ejercicio; una regla como «la tangente siempre queda por arriba» sería falsa.

Si usamos la misma recta para x = 2 obtenemos 3, muy lejos de e² ≈ 7,389. Ser derivable en cero no convierte la aproximación en una herramienta global. Hay que comprobar la cercanía y la precisión exigida.

Ejercicio 3: propagar una incertidumbre de medida

Un cilindro ideal tiene altura fija y exacta de 7,00 cm. Su radio se representa mediante r = 2,00 cm con una incertidumbre máxima de ±0,010 cm. El modelo geométrico es V(r) = 7πr².

El volumen calculado en el radio central es V(2) = 28π cm³. La derivada es V′(r) = 14πr, y en r = 2 vale 28π cm².

Mediante diferenciales, dV = 28π·dr. Para dr = ±0,010 cm, estimamos una variación de ±0,280π cm³, aproximadamente ±0,880 cm³. La variación relativa estimada es 0,280π/(28π) = 0,010, es decir, 1,00 %.

Pero esta cifra diferencial no es una cota exacta. Comprobemos los extremos, posibles porque V aumenta en el intervalo de radios positivos:

V(2,010) − V(2) = 7π(2,010² − 4) = 0,2807π cm³.

V(1,990) − V(2) = 7π(1,990² − 4) = −0,2793π cm³.

Las variaciones exactas no son simétricas respecto al volumen central. Si se exigiera una cota segura dentro de este modelo, ±0,280π sería ligeramente insuficiente para el extremo superior. Podemos usar 0,2807π como máxima desviación absoluta.

El ejercicio no incorpora incertidumbre de altura, deformación del recipiente ni error del modelo cilíndrico. Añadirlos requeriría más datos. El resultado geométrico no puede presentarse como incertidumbre total de un objeto real sin revisar esas condiciones.

Cuándo no puedes construir la recta de este modo

La función f(x) = |x| no es derivable en cero. Las pendientes laterales son distintas, de modo que la expresión f′(0) necesaria para esta linealización no existe.

No se arregla el problema asignando pendiente cero porque el punto sea un mínimo. Un extremo puede existir sin derivabilidad. En cambio, para f(x) = x² en cero sí hay derivada y la linealización es L(x) = 0, aunque los valores próximos de la función sean positivos.

Estos dos casos distinguen inexistencia de derivada y derivada nula. La segunda produce una recta horizontal válida localmente; la primera impide usar esta construcción con una sola pendiente.

Autocorrección: estimación, error y garantía

En cada ejercicio identifica el punto base, el incremento y el valor aproximado antes de calcular el error. Después señala si has obtenido una comparación con un valor de referencia o una cota demostrada para todo un intervalo.

Puedes situar la técnica dentro del repaso de límites y derivadas. Esta práctica añade una intención distinta: evaluar lo que permite y lo que no permite la aproximación local. En la libreta de errores separa «igualdad falsa», «porcentaje mal convertido» y «estimación presentada como garantía».

Preguntas frecuentes

¿La linealización es una igualdad exacta con la función?

No en general. Es una aproximación local que coincide con el valor y la derivada en el punto base; una función lineal constituye un caso de coincidencia exacta.

¿Una incertidumbre calculada con diferenciales es siempre una cota segura?

No. Es una estimación de primer orden. Para garantizar una cota debes justificar los términos restantes o analizar el intervalo con otro procedimiento válido.

¿Que la derivada sea cero impide construir la linealización?

No. Produce una recta horizontal. Lo que impide esta construcción es que la función no sea derivable en el punto elegido.

Comprueba qué precisión has justificado

Repite el primer ejercicio con √24,8 y decide el sentido del error antes de consultar la calculadora. Después explica por qué la incertidumbre diferencial del cilindro no era una cota exacta. Para seguir practicando, consulta el curso de Matemáticas II de Navarra, cuya ficha muestra contenido, precio y condiciones actuales de compra.