Tres sucesos: Venn, exactamente dos e inclusión-exclusión

En un diagrama con tres sucesos, la mayor dificultad no suele ser sumar: consiste en saber qué está incluido dentro de cada dato. La intersección de A y B también contiene a quienes cumplen C. Si la tratas como «exactamente A y B», contarás mal la zona central.

Resolveremos tres ejercicios originales con porcentajes y recuentos. No suponemos independencia ni incompatibilidad entre los sucesos, salvo que se diga expresamente. Los conjuntos describen respuestas ficticias de una encuesta, no datos reales sobre estudiantes.

Ocho regiones que no se solapan

Tres sucesos A, B y C dividen el espacio en ocho regiones: solo A, solo B, solo C, exactamente A y B, exactamente A y C, exactamente B y C, los tres y ninguno. Estas regiones son disjuntas; sus probabilidades se pueden sumar directamente.

En cambio, A∩B, A∩C y B∩C no son disjuntas entre sí: las tres contienen A∩B∩C. La fórmula de inclusión-exclusión corrige las repeticiones:

P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A∩B) − P(A∩C) − P(B∩C) + P(A∩B∩C).

¿Por qué se suma otra vez la triple? Un caso situado en el centro aparece tres veces en la primera suma y se resta otras tres en la segunda. Quedaría contado cero veces, por lo que se añade una vez para que pertenezca a la unión.

Ejercicio 1: completar el diagrama

En una encuesta ficticia, A significa usar apuntes propios; B, practicar con problemas; C, estudiar en grupo. Se dan:

P(A) = 0,60; P(B) = 0,50; P(C) = 0,40.

P(A∩B) = 0,30; P(A∩C) = 0,25; P(B∩C) = 0,20.

P(A∩B∩C) = 0,10.

Calcula las ocho regiones y la probabilidad de no realizar ninguna de las tres actividades.

Paso 1. Centro. Los tres sucesos tienen probabilidad 0,10.

Paso 2. Exactamente cada pareja. A y B sin C: 0,30 − 0,10 = 0,20. A y C sin B: 0,25 − 0,10 = 0,15. B y C sin A: 0,20 − 0,10 = 0,10.

Paso 3. Regiones individuales. Solo A: 0,60 − 0,20 − 0,15 − 0,10 = 0,15. Solo B: 0,50 − 0,20 − 0,10 − 0,10 = 0,10. Solo C: 0,40 − 0,15 − 0,10 − 0,10 = 0,05.

Paso 4. Unión. Sumamos las siete regiones interiores: 0,15 + 0,10 + 0,05 + 0,20 + 0,15 + 0,10 + 0,10 = 0,85.

Paso 5. Exterior. Ninguna: 1 − 0,85 = 0,15.

La fórmula general ofrece una comprobación independiente: 0,60 + 0,50 + 0,40 − 0,30 − 0,25 − 0,20 + 0,10 = 0,85. Ambas cuentas deben coincidir. Además, las ocho regiones son no negativas y suman uno.

Ejercicio 2: exactamente uno, exactamente dos y al menos dos

Usando los mismos datos, calcula esas tres probabilidades y la probabilidad de pertenecer a A sabiendo que se realiza al menos una actividad.

Paso 1. Exactamente uno. Sumamos solo A, solo B y solo C: 0,15 + 0,10 + 0,05 = 0,30.

Paso 2. Exactamente dos. Sumamos las tres parejas excluyendo el centro: 0,20 + 0,15 + 0,10 = 0,45.

Paso 3. Al menos dos. Añadimos quienes cumplen los tres: 0,45 + 0,10 = 0,55.

Paso 4. Condicionada. Como A está contenido en la unión, P(A | A∪B∪C) = P(A)/P(A∪B∪C) = 0,60/0,85 = 12/17 ≈ 0,7059.

No se divide entre uno: el dato condicionado reduce el universo a quienes cumplen al menos un suceso. Tampoco se usa la región «solo A» en el numerador, porque pertenecer a A permite realizar otras actividades simultáneamente.

Observa otra comprobación: exactamente uno, exactamente dos y los tres forman una partición de la unión. Sus probabilidades suman 0,30 + 0,45 + 0,10 = 0,85. Esa igualdad enlaza dos formas de organizar el mismo espacio y ayuda a detectar una zona contada dos veces.

Ejercicio 3: detectar datos incompatibles

Para un grupo de 100 personas se proponen estos recuentos: A tiene 30, B tiene 40, C tiene 35; A∩B tiene 25, A∩C tiene 20, B∩C tiene 15 y la triple tiene 10. ¿Puede existir ese diagrama?

Paso 1. Región triple. Asignamos 10 personas al centro.

Paso 2. Parejas exactas. AB sin C = 25 − 10 = 15; AC sin B = 20 − 10 = 10; BC sin A = 15 − 10 = 5.

Paso 3. Solo A. A debería contener 15 + 10 + 10 = 35 personas repartidas en esas regiones, pero el total anunciado para A es 30. Por tanto, solo A = 30 − 35 = −5.

Paso 4. Conclusión. Los datos son incompatibles: ninguna región puede tener un recuento negativo. No se arregla redondeando ni interpretando el signo como «cinco personas menos».

La unión calculada mecánicamente sería 30 + 40 + 35 − 25 − 20 − 15 + 10 = 55, un número entre cero y cien. Eso demuestra que comprobar únicamente el tamaño de la unión no basta. También hay que comprobar todas las regiones.

Fórmulas útiles después de entender el diagrama

Exactamente dos equivale a sumar las tres intersecciones por parejas y restar tres veces la triple. Cada persona del centro estaba incluida en las tres parejas y debe desaparecer por completo de «exactamente dos».

Al menos dos equivale a esa misma suma de parejas menos dos veces la triple. Ahora queremos conservar una copia del centro, no cero.

Puedes deducir ambas fórmulas con marcas de conteo, sin memorizarlas. Para un individuo de exactamente dos sucesos, la suma de parejas lo cuenta una vez. Para uno de los tres, lo cuenta tres veces. El ajuste depende de cuántas copias deseas conservar.

Cómo presentar una solución comprobable

Dibuja primero los tres conjuntos y escribe el dato triple. Completa después las parejas exclusivas, luego los casos individuales y al final el exterior. No empieces por el total de A sin descontar cuidadosamente las zonas compartidas.

Si el problema usa recuentos, conserva recuentos durante el diagrama y divide entre el total al calcular probabilidades. Si usa porcentajes, mantén la misma escala. Una región del 15 % no es 15 personas salvo que el grupo tenga exactamente cien.

Referencia conceptual: fuente académica consultada. Los enunciados, datos y soluciones son originales.

Relaciona esta práctica con el tema de base. La libreta de errores sirve para organizar las correcciones de tus intentos; no es una colección de estos ejercicios.

Preguntas frecuentes

¿A intersección B significa exactamente esos dos sucesos?

No. Incluye también los casos en los que ocurre C; para obtener exactamente A y B se resta la intersección triple.

¿Cómo se calcula la probabilidad de al menos dos sucesos?

Se suman las tres regiones de exactamente dos y la región triple, cada una una sola vez.

¿Que cada porcentaje esté entre cero y cien garantiza datos compatibles?

No. Las regiones resultantes también deben ser no negativas y sumar el total; una región negativa revela incompatibilidad.

Comprobar las ocho regiones antes de sumar probabilidades

Repite el diagrama empezando por la intersección triple y comprueba la suma de sus ocho regiones. Para ampliar la práctica de probabilidad con otras áreas de la asignatura, consulta Matemáticas II de Galicia y la información de compra del curso. Consulta la ficha del curso, disponible para comprar; allí se indican contenidos y condiciones actuales.