Probabilidad condicionada: tablas y ejercicios PAU resueltos

Para resolver una probabilidad condicionada con una tabla de contingencia, la decisión principal es elegir el grupo sobre el que divides. «Aprueba y utiliza la biblioteca» considera a toda la población; «aprueba sabiendo que utiliza la biblioteca» considera solo a quienes la utilizan.

Estos tres ejercicios originales entrenan esa diferencia, la reconstrucción de casillas y la independencia. Son práctica para Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II: no son preguntas oficiales ni predicen lo que caerá en tu PAU.

Antes de calcular: nombra los sucesos

Una tabla de contingencia cruza dos características. Sus casillas interiores cuentan intersecciones y los márgenes recogen los totales. Si eliges una persona al azar, con todas igualmente probables:

• P(A ∩ B) = número que cumple A y B / total de personas.
• P(A | B) = número que cumple A y B / total que cumple B.
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

La condicionada necesita P(B) > 0. La barra vertical se lee «sabiendo que». Rodea primero el grupo que aparece después de la barra; ese es tu denominador.

Ejercicio 1: la misma casilla, tres respuestas

Enunciado propio. Entre 200 estudiantes, 120 utilizan la biblioteca. De ellos, 90 aprueban una prueba. Entre los 80 que no utilizan la biblioteca, aprueban 40. Se elige un estudiante al azar. Calcula la probabilidad de que utilice la biblioteca y apruebe; de que apruebe sabiendo que la utiliza; y de que la utilice sabiendo que aprueba.

Llama B a «utiliza la biblioteca» y A a «aprueba». Completa antes la tabla:

Estudiantes	Aprueban A	No aprueban	Total
Utilizan biblioteca B	90	30	120
No utilizan biblioteca	40	40	80
Total	130	70	200

Primera pregunta, intersección: P(B ∩ A) = 90/200 = 0,45. Consideras los 200 estudiantes.

Segunda pregunta, condicionada: P(A | B) = 90/120 = 0,75. Solo consideras a los 120 que utilizan la biblioteca.

Tercera pregunta, condición inversa: P(B | A) = 90/130 = 9/13, aproximadamente 0,6923. Ahora solo consideras a los 130 aprobados.

Los tres numeradores son 90. Cambia el conjunto de referencia, y con él la respuesta. Las proporciones observadas no demuestran que usar la biblioteca cause el aprobado: el ejercicio describe una asociación en estos datos.

Ejercicio 2: reconstruye la tabla y usa el complementario

Enunciado propio. En un centro hay 300 estudiantes. El 60 % utiliza una aplicación de repaso. Aprueba el 80 % de quienes la usan y el 50 % de quienes no la usan. Calcula la probabilidad de utilizar la aplicación sabiendo que no se aprueba y la de utilizar la aplicación o aprobar.

Llama R a «utiliza la aplicación» y A a «aprueba».

Paso 1. Convierte los porcentajes en personas. Utilizan la aplicación 0,60 × 300 = 180; no la utilizan 120. Entre los usuarios, aprueban 0,80 × 180 = 144 y no aprueban 36. Entre los no usuarios, aprueban 0,50 × 120 = 60 y no aprueban 60.

Estudiantes	Aprueban A	No aprueban	Total
Usan aplicación R	144	36	180
No usan aplicación	60	60	120
Total	204	96	300

Paso 2. Resuelve la condicionada. La condición es no aprobar: el denominador es 96. Por tanto:

P(R | no A) = 36/96 = 0,375.

El 20 % es P(no A | R), otra pregunta. No debes sustituirlo por el 37,5 % que acabas de calcular.

Paso 3. Calcula la unión. Puedes sumar los márgenes y restar la intersección:

P(R ∪ A) = 180/300 + 204/300 − 144/300 = 240/300 = 0,80.

Comprobación por complementario: quienes ni usan la aplicación ni aprueban son 60. Así, P(R ∪ A) = 1 − 60/300 = 0,80. Coinciden ambos métodos.

Ejercicio 3: ¿independientes o incompatibles?

Enunciado propio. Se elige al azar una de 160 personas. Sea D «practica deporte» y M «toca un instrumento». La distribución es:

Personas	Tocan instrumento M	No tocan instrumento	Total
Practican deporte D	30	50	80
No practican deporte	30	50	80
Total	60	100	160

Calcula P(M | D), comprueba si D y M son independientes y decide si son incompatibles.

Condicionada: P(M | D) = 30/80 = 3/8 = 0,375.

Independencia: P(D) = 80/160 = 1/2; P(M) = 60/160 = 3/8. Su producto es 3/16. La intersección vale P(D ∩ M) = 30/160 = 3/16. Como coinciden, son independientes en esta distribución.

También lo compruebas con P(M | D) = P(M): ambas valen 3/8.

Incompatibilidad: no son incompatibles. Hay 30 personas que cumplen ambos sucesos, así que P(D ∩ M) > 0. Independencia e incompatibilidad responden a preguntas distintas.

Un método para revisar tu solución

Comprueba que cada fila y columna suma su total, que el total general coincide por ambos caminos y que ninguna probabilidad sale fuera de [0,1]. Escribe la condición con palabras antes de elegir el denominador. Conserva fracciones durante el cálculo y redondea al final conforme a lo que pida el enunciado.

Si la tabla se te resiste, el cuaderno gratuito de práctica de probabilidad te permite hacer otra tanda. Puedes ver también la muestra de Matemáticas CCSS.

Para ampliar otros procedimientos, sigue con la guía de probabilidad e inferencia o con cuándo usar el teorema de Bayes. Esta página se centra en tablas; esos artículos cubren otras herramientas.

Preguntas frecuentes

¿Qué denominador lleva una probabilidad condicionada?

El total del grupo que aparece después de «sabiendo que». En P(A | B), cuentas los casos que cumplen A y B y divides entre los que cumplen B, siempre que P(B) sea positiva.

¿P(A | B) y P(B | A) son iguales?

No en general. Comparten la intersección del numerador, pero el denominador es el total de B en la primera y el de A en la segunda.

¿Cómo compruebo independencia con una tabla?

Compara P(A ∩ B) con P(A)·P(B). Si coinciden exactamente, A y B son independientes en el modelo. Evita decidir solo por valores redondeados.

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Referencia conceptual y autoría

La lectura de tablas y probabilidades condicionadas se puede contrastar en OpenStax, Introductory Statistics 2e: Contingency Tables. Los tres conjuntos de datos, enunciados, tablas y soluciones de este artículo son originales de redbachiller.