Probabilidad e inferencia estadística en Matemáticas CCSS

El bloque de estadística y probabilidad es la mitad del examen de Matemáticas CCSS y casi nadie lo cuenta así. Aquí no se falla por no saber la fórmula: se falla por no saber qué te están preguntando. Una probabilidad condicionada se confunde con una intersección, el teorema de Bayes se aplica al revés, un nivel de confianza del 95 % se interpreta como si fuera la probabilidad de acertar, y el contraste de hipótesis se queda en un número sin la frase que responde a la pregunta del enunciado, que es donde están los puntos.

Este post cierra ese hueco: probabilidad condicionada y Bayes, distribución normal y tipificación, intervalo de confianza para la media y contraste de hipótesis, con las cuentas resueltas de principio a fin y la conclusión redactada como la pide el corrector. El rival es la prueba, no tú.

Qué te va a pedir el examen

Los enunciados de este bloque usan verbos muy reconocibles, y cada uno te dice qué mecanismo sacar:

«Calcule la probabilidad de que…» con una condición dentro («de los que», «sabiendo que», «entre los»): probabilidad condicionada, no conjunta.
«Si [ha ocurrido el efecto], calcule la probabilidad de que [la causa haya sido]…»: teorema de Bayes.
«Sabiendo que X sigue una distribución normal…, calcule P(X < a)»: tipificación y tabla de la normal.
«Halle un intervalo de confianza para la media (o la proporción) al [nivel] %»: intervalo de confianza, con el valor crítico que corresponde a ese nivel.
«Contraste, al nivel de significación del [α], si…» / «¿Hay evidencia suficiente para afirmar que…?»: contraste de hipótesis, y la respuesta final es una frase, no un número.

Si el verbo pide una probabilidad con una condición dentro de la frase, ya sabes que no vas a multiplicar sin más: vas a dividir.

La explicación mínima suficiente

Probabilidad condicionada frente a intersección

No son el mismo número, y confundirlos tira el ejercicio entero. La intersección P(A∩B) es la fracción de toda la población que cumple las dos condiciones a la vez. La condicionada P(A|B) es la fracción, pero solo dentro del grupo B, del que ya sabes que se cumple.

Un ejemplo con conteos, para verlo sin fórmulas. Se encuesta a 200 personas sobre el uso del transporte público y su opinión sobre una nueva línea:

	Usa transporte público	No lo usa	Total
A favor	90	30	120
En contra	20	60	80
Total	110	90	200

P(a favor ∩ usa) = 90/200 = 0,45. Es la proporción sobre las 200 personas.

P(a favor | usa) = 90/110 = 0,8182. Es la proporción, pero solo dentro de las 110 que usan el transporte: te has movido a la columna «usa» y ahí calculas.

Los dos números describen algo real y los dos son correctos, pero responden preguntas distintas. El enunciado te dice cuál te pide con el lenguaje: «y», «a la vez», «además» apuntan a intersección; «de los que», «entre los», «sabiendo que», «si resulta que» apuntan a condicionada.

El teorema de Bayes, sin invertirlo

Cuando hay varias causas posibles (A₁, A₂, …, Aₙ, incompatibles entre sí y que cubren todos los casos) y un efecto B que puede darse con cualquiera de ellas, hay dos preguntas simétricas:

Hacia delante, probabilidad total: P(B) = P(A₁)·P(B|A₁) + P(A₂)·P(B|A₂) + … + P(Aₙ)·P(B|Aₙ). Es la suma de todos los caminos del árbol que acaban en B.
Hacia atrás, teorema de Bayes: P(Aᵢ|B) = [P(Aᵢ)·P(B|Aᵢ)] / P(B). El numerador es un solo camino del árbol (el que pasa por la causa que preguntan); el denominador es la probabilidad total, es decir, todos los caminos.

Invertir Bayes es escribir P(B|Aᵢ) donde va P(Aᵢ|B), o construir el numerador con solo un factor cuando son dos. La forma de no confundirse es preguntarte, antes de escribir nada: el dato que me dan, ¿es la probabilidad del efecto sabiendo la causa, o me piden la causa sabiendo que el efecto ya pasó?

Ejemplo resuelto con tabla. Un centro de atención al cliente reparte las llamadas entre tres oficinas: Norte atiende el 45 % de las llamadas, Sur el 35 % y Este el 20 %. El porcentaje de llamadas que acaba en una reclamación formal es del 4 % en Norte, del 7 % en Sur y del 10 % en Este. Si una llamada termina en reclamación, ¿cuál es la probabilidad de que la haya atendido la oficina Este?

Oficina	P(oficina)	P(reclamación\|oficina)	P(oficina ∩ reclamación)
Norte	0,45	0,04	0,0180
Sur	0,35	0,07	0,0245
Este	0,20	0,10	0,0200
Total	1,00	—	0,0625

Paso 1, probabilidad total: P(reclamación) = 0,0180 + 0,0245 + 0,0200 = 0,0625.

Paso 2, Bayes: P(Este|reclamación) = 0,0200 / 0,0625 = 0,3200.

Comprobación: las tres probabilidades a posteriori suman 1. P(Norte|reclamación) = 0,0180/0,0625 = 0,2880; P(Sur|reclamación) = 0,0245/0,0625 = 0,3920; 0,2880 + 0,3920 + 0,3200 = 1,0000. Si la suma no da 1, hay un error de numerador o de denominador antes de llegar aquí.

La distribución normal y la tipificación

Una variable normal N(μ, σ) no se consulta directamente en la tabla: primero se tipifica, es decir, se traduce a la normal estándar N(0, 1) restando la media y dividiendo entre la desviación típica.

Z = (X − μ) / σ

Ejemplo: la altura de un grupo de alumnos sigue una N(165, 8) en centímetros. ¿Probabilidad de que un alumno mida menos de 175 cm?

Z = (175 − 165) / 8 = 10/8 = 1,25

P(X < 175) = P(Z < 1,25) = 0,8944, valor que se lee directamente en la tabla de la normal estándar.

El error más caro aquí no es de concepto, es de operación: restar la media y olvidarse de dividir entre σ, o dividir entre la varianza (σ²) en vez de la desviación típica (σ), sobre todo cuando el enunciado da la distribución como N(165, 64) usando la varianza. Lee siempre qué te está dando el segundo parámetro antes de tipificar.

El intervalo de confianza para la media

Cuando no conoces la media poblacional μ pero sí la desviación típica σ (o la aproximas con una muestra grande), estimas μ con un intervalo centrado en la media muestral x̄:

IC = ( x̄ − z·(σ/√n) , x̄ + z·(σ/√n) )

El valor z es el crítico que corresponde al nivel de confianza que pide el enunciado: z = 1,96 para el 95 % y z = 2,575 para el 99 %. Cuanto mayor el nivel de confianza, mayor el valor de z y más ancho el intervalo: subir la confianza no lo estrecha, lo ensancha.

Ejemplo resuelto. En una muestra aleatoria de 64 alumnos de 2º de Bachillerato se mide el tiempo diario de estudio, con media muestral x̄ = 2,8 horas. Se sabe, por estudios previos, que la desviación típica poblacional es σ = 1,2 horas. Halla el intervalo de confianza al 95 % para la media poblacional.

Nivel de confianza 95 % → z = 1,96 (el valor crítico estándar para dos colas al 95 %).

Error típico: σ/√n = 1,2/√64 = 1,2/8 = 0,15.

Margen de error: 1,96 × 0,15 = 0,294.

IC = (2,8 − 0,294 ; 2,8 + 0,294) = (2,506 ; 3,094), es decir, (2,51 ; 3,09) horas redondeando a dos decimales.

Lectura correcta: con un nivel de confianza del 95 %, la media poblacional del tiempo de estudio diario está entre 2,51 y 3,09 horas. El 95 % no dice «hay un 95 % de probabilidad de que la media exacta caiga en este intervalo concreto que ya he calculado»: describe la fiabilidad del método, no una apuesta sobre un número que ya es fijo.

El contraste de hipótesis para la media

Un contraste compara una hipótesis nula H₀ (lo que se asume por defecto, normalmente el valor conocido o histórico) contra una hipótesis alternativa H₁ (lo que se quiere comprobar), y decide con el estadístico:

Z = (x̄ − μ₀) / (σ/√n)

Después se compara Z con el valor crítico del nivel de significación α: si |Z| supera al crítico, se rechaza H₀; si no lo supera, no hay evidencia suficiente para rechazarla. Para un contraste bilateral (H₁: μ ≠ μ₀) al 95 % de confianza (α = 0,05), el crítico es z = 1,96; al 99 % (α = 0,01), z = 2,575. Elegir mal aquí suele ser mezclar el nivel de significación con el de confianza, o coger el crítico de una cola cuando el contraste es bilateral.

Ejemplo resuelto, con la conclusión redactada. La nota media histórica de un examen es μ₀ = 6,5. Tras aplicar un nuevo método de preparación a 100 alumnos, la nota media de la muestra es x̄ = 6,8, con desviación típica poblacional conocida σ = 1,5. Contrasta, al nivel de significación del 5 %, si la nota media ha cambiado.

Paso 1. Hipótesis. H₀: μ = 6,5 (el método no ha cambiado la nota media). H₁: μ ≠ 6,5 (contraste bilateral, porque la pregunta es si «ha cambiado», no si «ha subido»).

Paso 2. Valor crítico. α = 0,05, bilateral → z_crítico = 1,96.

Paso 3. Estadístico. Z = (6,8 − 6,5) / (1,5/√100) = 0,3 / (1,5/10) = 0,3/0,15 = 2,00.

Paso 4. Decisión. |Z| = 2,00 > 1,96, cae en la región de rechazo.

Paso 5. Conclusión, con palabras. Con un nivel de significación del 5 %, se rechaza la hipótesis nula: hay evidencia estadística suficiente para afirmar que la nota media de los alumnos que han seguido el nuevo método es distinta de 6,5.

Esa última frase, con el nivel de significación, el verbo (se rechaza / no se rechaza) y la conclusión referida al enunciado, es la que puntúa. El valor de Z sin esa frase es un cálculo a medias.

Para llevarte

P(A∩B) mide sobre toda la población; P(A|B) mide solo dentro del grupo B. Si el enunciado dice «de los que» o «sabiendo que», es condicionada.
Bayes responde hacia atrás: la probabilidad de una causa dado que ya sabes el efecto. El denominador es siempre la probabilidad total.
Para usar la tabla de la normal, primero tipificas: Z = (X − μ)/σ. Revisa si el segundo parámetro que te dan es la desviación típica o la varianza.
El intervalo de confianza se construye con x̄ ± z·(σ/√n). Más nivel de confianza, más z, intervalo más ancho, no más estrecho.
El contraste de hipótesis no termina en el número de Z: termina en una frase que dice si se rechaza H₀, con qué nivel de significación y qué significa eso en el problema.
Los valores críticos que hay que tener automatizados: z = 1,96 para el 95 % y z = 2,575 para el 99 %, ambos bilaterales.

Errores que restan

Confundir P(A∩B) con P(A|B). Se usa el dato de la intersección en el sitio de la condicionada o al revés, y el resto del ejercicio arrastra el error aunque las operaciones posteriores estén bien hechas.
Invertir el teorema de Bayes. Escribir P(B|Aᵢ) en el resultado final, o construir el numerador con un solo factor en vez de P(Aᵢ)·P(B|Aᵢ). Se detecta comprobando que las probabilidades a posteriori de todas las causas suman 1.
Tipificar mal. Restar la media y no dividir entre σ, o dividir entre la varianza en vez de la desviación típica. Si la Z que sale es mayor que 4 o menor que −4, algo se ha dividido mal: son valores muy poco frecuentes.
Elegir mal el valor crítico. Mezclar el nivel de confianza con el de significación (95 % de confianza es α = 0,05, no z = 0,95), o usar el crítico de una cola en un contraste bilateral. Antes de mirar la tabla, escribe qué nivel te piden y si es bilateral.
Interpretar mal el nivel de confianza. Decir que el 95 % es «la probabilidad de que la media esté en mi intervalo» trata la media poblacional como si fuera aleatoria, cuando el intervalo, una vez calculado, o la contiene o no la contiene. El 95 % describe el método: repitiendo el muestreo, el 95 % de los intervalos construidos así contendrían la media real.
No redactar la conclusión del contraste. Dejar el ejercicio en el valor de Z sin decir si se rechaza H₀, con qué nivel de significación y qué quiere decir en los términos del problema. Es donde reparten los puntos los criterios de corrección.

Autochequeo

Responde sin mirar arriba y comprueba después.

Un enunciado dice: «el 70 % de los alumnos que estudian con resúmenes aprueba la asignatura». ¿Es P(aprobar ∩ resúmenes) o P(aprobar | resúmenes)?
Dos talleres reparan coches: el A hace el 60 % de las reparaciones y el B el 40 %. El 5 % de las del taller A y el 2 % de las del B tienen que repetirse. Si una reparación se repite, ¿la probabilidad de que sea del taller A se calcula dividiendo por P(repetir) o multiplicando por ella?
X sigue una N(50, 5). ¿Qué operación haces primero para calcular P(X > 58): restar la media y dividir entre 5, o dividir entre 5 y luego restar la media?
Si subes el nivel de confianza del 95 % al 99 %, ¿el intervalo se hace más ancho o más estrecho?
Un contraste da Z = 1,80 con crítico 1,96 al 95 %. ¿Se rechaza H₀? ¿Qué frase escribes como conclusión?

Soluciones orientativas: 1) P(aprobar | resúmenes): «de los que» marca condicionada, no conjunta. 2) Dividiendo: Bayes es P(A)·P(repetir|A) dividido entre P(repetir), nunca multiplicado. 3) Restar la media y dividir entre 5 en ese orden: Z = (58−50)/5 = 1,6. 4) Más ancho: mayor confianza exige un z mayor. 5) No se rechaza, porque 1,80 no supera a 1,96: «con un nivel de significación del 5 %, no hay evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula» (no es lo mismo que demostrar que H₀ es cierta).

Preguntas frecuentes

¿Cómo distingo si un dato del enunciado es una probabilidad condicionada o una conjunta?

Por el lenguaje. «De los que», «entre los», «sabiendo que», «si resulta que» indican condicionada, P(A|B): el dato ya está restringido a un grupo. «Y», «a la vez», «además» indican conjunta, P(A∩B): el dato es sobre toda la población. Si tienes dudas, comprueba con una tabla de contingencia o un árbol: las ramas de un mismo nodo suman 1, y eso solo cuadra si has puesto cada probabilidad en su sitio.

¿Se puede usar el teorema de Bayes sin probabilidad total?

No de forma independiente: el denominador de Bayes, P(B), es exactamente la probabilidad total de B. Si te piden solo la probabilidad de la causa dado el efecto, igualmente tienes que calcular antes la probabilidad total, aunque el enunciado no lo pida como apartado aparte.

¿Qué significa realmente el nivel de confianza de un intervalo?

Es una propiedad del método, no una probabilidad sobre el intervalo ya calculado. Si repitieras el muestreo muchas veces y construyeras un intervalo cada vez con el mismo procedimiento, el 95 % (o el 99 %) de esos intervalos contendrían la media poblacional real. Una vez tienes tu intervalo concreto, la media está dentro o no está, sin término medio: lo que puedes afirmar es que confías en el método al 95 %.

¿Cómo sé si un contraste de hipótesis es bilateral o de una cola?

Depende de la pregunta. Si el enunciado pregunta si la media «ha cambiado» o «es distinta de», es bilateral (H₁: μ ≠ μ₀) y usas el crítico de dos colas, 1,96 al 95 % o 2,575 al 99 %. Si pregunta si «ha aumentado» o «ha disminuido», es de una cola y el crítico cambia. La mayoría de los contrastes de Matemáticas CCSS que preguntan «¿ha cambiado?» son bilaterales: lee bien el verbo antes de fijar la hipótesis alternativa.

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Este bloque no tiene todavía minijuego propio en el arcade: las cuatro baterías que hay hoy son de historia, lengua, biología y filosofía. Para seguir practicando Matemáticas CCSS con el mismo método, tienes la muestra de la asignatura, con apuntes, claves y autochequeo de otros temas del temario.

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