Programación lineal PAU: paso a paso sin perder puntos

La programación lineal se resuelve siempre con los mismos cinco pasos: definir las variables con palabras, escribir la función objetivo, traducir las restricciones a inecuaciones, dibujar la región factible con sus vértices y evaluar la función en todos ellos. Los puntos que se pierden casi nunca están en el cálculo: están en el planteamiento, en un signo de desigualdad invertido, en una variable sin definir o en una respuesta que se queda en el par de coordenadas. Y la buena noticia es que el planteamiento bien hecho vale más de la mitad de la nota aunque falles el vértice final.

Es el contenido con mejor relación entre esfuerzo y puntos de la asignatura. Cuando hayas hecho cinco problemas con este orden, el sexto sale solo. El rival es la prueba, no tú: aquí tienes el método con un problema resuelto de principio a fin.

Qué te pide el examen, con los verbos del enunciado

En Andalucía la programación lineal cae todos los años dentro del ejercicio 1, que vale 3 puntos, y es exclusiva de esta asignatura: no está en Matemáticas II. En 2026 apareció como apartado B, opcional, frente a un apartado A de sistemas en contexto, así que el ejercicio se prepara por los dos lados. En Aragón es una de las cuestiones optativas de la pregunta 4 y llega siempre disfrazada de empresa: zapatos, sucursales, lotes navideños, barritas de proteínas en 2025 y, en el modelo de 2026, la región dada directamente para minimizar.

Los verbos importan porque los criterios de corrección reparten puntos por partes: representar la región factible y calcular los vértices puntúan aparte del óptimo. Cuando el enunciado dice plantea, representa, determina y justifica, cada verbo es una fracción de la nota. Un número sin justificación no cobra entero.

Los cinco pasos que no cambian

1. Define las variables con palabras y unidades. «x = número de barritas de tipo A; y = número de barritas de tipo B». Parece trivial y es donde se pierden más puntos.
2. Escribe la función objetivo, lo que hay que maximizar o minimizar.
3. Plantea las restricciones como inecuaciones, una por cada límite del enunciado, y añade siempre las de no negatividad, x ≥ 0 e y ≥ 0, aunque el enunciado no las diga.
4. Dibuja la región factible. Para cada inecuación traza la recta cambiando el signo por un igual y decide el semiplano probando un punto sencillo, normalmente el origen. Rotula las rectas y sombrea la región: el dibujo es parte de la respuesta.
5. Calcula los vértices y evalúa. Cada vértice es la intersección de dos rectas frontera, un sistema 2×2. Sustituye todos los vértices en la función objetivo y compara.

Detrás del paso cinco hay un teorema: si existe solución óptima, se alcanza en un vértice de la región factible. Por eso hay que evaluar todos los vértices, no solo los que parecen mejores.

Traducir las palabras a inecuaciones

El enunciado dice…	Escribes…
«al menos», «como mínimo», «no menos de»	≥
«como máximo», «no más de», «a lo sumo»	≤
«dispone como máximo de 300 kg»	ax + by ≤ 300
«el doble de A que de B, como mínimo»	x ≥ 2y

Un signo invertido cambia la región entera y arrastra el óptimo. Traduce frase a frase, en el orden del enunciado, y comprueba que cada dato numérico ha producido una inecuación.

Problema resuelto de principio a fin

Es el estilo de la cuestión de Aragón de 2025. Una empresa fabrica dos barritas: la A deja 0,80 € de beneficio y la B, 1,20 €. Cada barrita A usa 30 g de proteína y 10 g de fruta; cada B, 20 g de proteína y 40 g de fruta. Hay 6.000 g de proteína y 8.000 g de fruta. Por contrato hay que fabricar al menos 50 barritas A. ¿Cuántas de cada tipo maximizan el beneficio?

Paso 1, variables. x = número de barritas A; y = número de barritas B.

Paso 2, función objetivo. B(x, y) = 0,80x + 1,20y, a maximizar.

Paso 3, restricciones. Proteína: 30x + 20y ≤ 6.000, que simplificada queda 3x + 2y ≤ 600. Fruta: 10x + 40y ≤ 8.000, es decir, x + 4y ≤ 800. Contrato: x ≥ 50. No negatividad: y ≥ 0 (la de x ya la cubre el contrato).

Paso 4, región factible. La recta 3x + 2y = 600 corta los ejes en (200, 0) y (0, 300). La recta x + 4y = 800 los corta en (800, 0) y (0, 200). La recta x = 50 es vertical. El origen cumple las dos primeras inecuaciones, así que la región queda por debajo de ambas rectas; no cumple x ≥ 50, así que queda a la derecha de esa vertical, y sobre el eje horizontal.

Vértices. Salen de cortar las fronteras dos a dos:

• x = 50 con y = 0: (50, 0).
• 3x + 2y = 600 con y = 0: (200, 0). Cumple x + 4y ≤ 800, así que es vértice.
• 3x + 2y = 600 con x + 4y = 800: de la segunda, x = 800 − 4y; sustituyendo, 2.400 − 12y + 2y = 600, luego 10y = 1.800, y = 180, x = 80. Vértice (80, 180).
• x = 50 con x + 4y = 800: 4y = 750, y = 187,5. Vértice (50, 187,5). Cumple 3x + 2y ≤ 600, porque 150 + 375 = 525.
• x = 50 con 3x + 2y = 600 daría (50, 225), pero no cumple x + 4y ≤ 800, porque 50 + 900 = 950. Se descarta.

Paso 5, evaluar. B(50, 0) = 40. B(200, 0) = 160. B(80, 180) = 64 + 216 = 280. B(50, 187,5) = 40 + 225 = 265.

Respuesta. El beneficio máximo se alcanza en el vértice (80, 180) y vale 280 €. En los términos del problema: la empresa debe fabricar 80 barritas A y 180 barritas B, con un beneficio máximo de 280 €. Como el número de barritas es entero y el vértice ya lo es, no hay que ajustar nada.

Fíjate: el vértice que parecía prometedor, fabricar el máximo posible de B, da 265 y pierde frente al mixto. Por eso se evalúan todos, y por eso cada corte se comprueba contra el resto de restricciones.

Los casos que despistan

Minimizar. Todo es idéntico salvo que eliges el vértice con menor valor. El modelo de Aragón de 2026 pedía minimizar z = 3x + 2y sobre una región dada, y se resuelve igual.

Región no acotada. Si maximizas y la región crece sin tope en la dirección de la función, no hay máximo, y hay que decirlo. En los problemas con contexto la región casi siempre está acotada por las capacidades.

Solución múltiple. Si dos vértices dan el mismo valor óptimo, todo el segmento que los une es solución. Hay un ejemplo real en el modelo oficial de las Orientaciones de Andalucía, con Z = 4x + 6y.

Errores que restan y cómo evitarlos

• No definir las variables por escrito. Es la primera línea del ejercicio y la primera que mira quien corrige.
• Olvidar x ≥ 0 e y ≥ 0. Escríbelas antes de dibujar, aunque otra restricción las cubra.
• Invertir un signo. Vuelve al enunciado y lee «al menos» o «como máximo» antes de escribir el símbolo.
• No dibujar la región o dibujarla sin rotular. Con regla, rectas nombradas y región sombreada: son puntos que se dan por el procedimiento.
• Evaluar solo algunos vértices o dar como óptimo un punto que no es vértice.
• Responder con el par (x, y). La respuesta es una frase con unidades y contexto.

Autochequeo antes de pasar al siguiente ejercicio

1. ¿Las variables están definidas con palabras y unidades?
2. ¿Cada dato numérico ha producido una inecuación, y están las de no negatividad?
3. ¿Cada vértice cumple todas las restricciones, no solo las dos que lo generan?
4. ¿He evaluado la función objetivo en todos los vértices?
5. ¿La respuesta dice cuántas unidades de cada producto y cuánto vale el óptimo?

Repaso jugable

Sube peldaño a peldaño, de traducir un «al menos» a decidir qué vértice gana. Si fallas uno, sabes en qué paso del método estás flojo.

Preguntas frecuentes

¿Puedo resolverlo con rectas de nivel en vez de evaluar los vértices?

Puedes, pero evaluar en todos los vértices es más seguro: no te juegas la respuesta con la pendiente y la justificación queda escrita.

¿Qué pasa si me equivoco en un vértice pero el planteamiento está bien?

Pierdes la parte del óptimo, no el ejercicio. Variables, función objetivo, restricciones con signos correctos y región dibujada valen más de la mitad de la cuestión. Por eso el orden del método protege la nota.

¿Cómo sé si la región que he dibujado es la correcta?

Prueba el origen en cada inecuación: si la cumple, la región está del lado del origen; si no, del contrario. Y si las restricciones son capacidades máximas, la región debe salir cerrada; si te sale abierta, revisa los signos.

Sigue por aquí

El resto del ejercicio 1, matrices, sistemas y su discusión, está en la muestra de Matemáticas CCSS, con un problema ancla con pistas y solución. Los fallos que más se repiten están en errores típicos en Matemáticas CCSS en selectividad, y la estructura de la prueba en cómo es el examen de Matemáticas CCSS en la PAU. Tienes el plan de la asignatura en Matemáticas CCSS para la PAU de Andalucía y en Matemáticas CCSS para la PAU de Aragón.

Si quieres practicar con corrección hasta junio, puedes reservar tu plaza por 12 € por asignatura. Hoy no pagas nada.