Núcleo e imagen: qué pierde una transformación lineal

Una matriz puede estudiarse como una regla que transforma vectores. El núcleo recoge qué entradas se transforman en cero; la imagen recoge qué salidas pueden alcanzarse. Esta lectura conecta sistemas y rango con dos preguntas diferentes: si entradas distintas pueden producir la misma salida y si todas las salidas del espacio de llegada son posibles.

Esta práctica es una ampliación de álgebra lineal con ejercicios originales. No afirma que núcleo, imagen y composición formen parte de todos los programas de la PAU. Trabajamos sobre los números reales y declaramos siempre el espacio de entrada y el de llegada.

Tres conjuntos que no son intercambiables

Para T: R³ → R², el dominio es R³ y el espacio de llegada es R². Su núcleo es un subconjunto de R³; su imagen es un subconjunto de R². Aunque ambos puedan tener dimensión uno, no pertenecen al mismo espacio.

El núcleo se obtiene resolviendo T(v) = 0. La imagen se obtiene describiendo todas las salidas T(v). Si T viene dada por una matriz, la imagen es el espacio generado por sus columnas. El rango es su dimensión; la nulidad es la dimensión del núcleo.

La explicación de Nicholson sobre núcleo e imagen fundamenta estas definiciones. Los ejemplos de esta práctica son distintos y se verifican sustituyendo vectores.

Ejercicio 1: una transformación que comprime información

Enunciado. T: R³ → R² está definida por T(x,y,z) = (x + 2y − z, 2x + 4y − 2z). Encuentra núcleo e imagen y da una base de cada uno.

Paso 1. Reconoce la dependencia. La segunda coordenada de salida es dos veces la primera. Si llamamos u = x + 2y − z, toda salida tiene forma (u,2u).

Paso 2. Demuestra que se alcanza cualquier u. Basta tomar (x,y,z) = (u,0,0). Entonces T(u,0,0) = (u,2u). Por tanto, la imagen es exactamente la recta generada por (1,2), no solo un subconjunto de ella.

Paso 3. Resuelve el núcleo. T(x,y,z) = (0,0) equivale a x + 2y − z = 0. La segunda ecuación repite la misma condición.

Despejamos x = −2y + z. Con parámetros s = y y t = z, obtenemos:

(x,y,z) = s(−2,1,0) + t(1,0,1).

Paso 4. Comprueba independencia. Si s(−2,1,0) + t(1,0,1) = (0,0,0), la segunda coordenada impone s = 0 y la tercera t = 0. Esos dos vectores forman una base del núcleo.

La imagen tiene dimensión 1 y el núcleo dimensión 2. La suma es 3, la dimensión del dominio. No se compara con 2, que es la dimensión del espacio de llegada.

Ejercicio 2: todas las entradas que producen una salida

Enunciado. Con la misma T, busca las entradas que dan (3,6) y decide si se puede obtener (3,5).

Paso 1. Una entrada particular. T(3,0,0) = (3,6). Ya sabemos que el primer objetivo es alcanzable.

Paso 2. Añade el núcleo. Toda entrada de forma (3,0,0) + s(−2,1,0) + t(1,0,1) tiene la misma salida. La linealidad hace que los vectores del núcleo añadan cero.

Paso 3. Demuestra que no faltan soluciones. Si T(v) = (3,6), entonces T(v − (3,0,0)) = 0. Su diferencia con la entrada particular pertenece al núcleo. Por tanto, la expresión anterior describe todas las soluciones.

Paso 4. Segundo objetivo. (3,5) no cumple que su segunda coordenada sea el doble de la primera. No pertenece a la imagen y no tiene preimagen.

No confundas «infinitas entradas para una salida» con «todas las salidas posibles». Esta T tiene infinitas preimágenes para cada punto de su recta imagen, pero no alcanza ningún punto fuera de ella.

Ejercicio 3: inyectiva sin ser sobreyectiva

Enunciado. Define S: R² → R³ mediante S(x,y) = (x,y,x − y). Estudia si es inyectiva y sobreyectiva.

Paso 1. Núcleo. S(x,y) = (0,0,0) exige x = 0 e y = 0. Su núcleo contiene solo el vector cero. La nulidad es cero.

Paso 2. Imagen. Toda salida (a,b,c) cumple c = a − b. Y cualquier vector que cumpla esa relación se obtiene tomando x = a e y = b. La imagen es el plano de ecuación c = a − b.

Paso 3. Base. S(x,y) = x(1,0,1) + y(0,1,−1). Los dos vectores son independientes por sus dos primeras coordenadas. El rango es 2.

Paso 4. Propiedades. S es inyectiva: si dos salidas coinciden, coinciden directamente las coordenadas x e y de entrada. No es sobreyectiva sobre R³, porque (0,0,1) no cumple la ecuación del plano.

La igualdad rango = dimensión del dominio no demuestra sobreyectividad sobre cualquier espacio de llegada. Aquí el rango vale 2 y el espacio de llegada tiene dimensión 3.

Ejercicio 4: el orden de composición cambia la pregunta

T admite entradas de tres coordenadas y S produce tres coordenadas, así que T∘S lleva R² a R². En sentido contrario, S∘T lleva R³ a R³. Ambas composiciones existen, pero actúan sobre espacios distintos.

Paso 1. Calcula T∘S. Sustituimos (x,y,x − y) en T. La primera salida es x + 2y − (x − y) = 3y. La segunda es 6y. Por tanto, (T∘S)(x,y) = (3y,6y).

El núcleo es {(x,0): x real}, generado por (1,0). La imagen sigue siendo la recta generada por (1,2).

Paso 2. Calcula S∘T. Escribimos T(x,y,z) = (u,2u). Entonces S(u,2u) = (u,2u,−u). La imagen es la recta generada por (1,2,−1).

Su núcleo coincide con el de T: la salida se anula exactamente cuando u = 0. Su rango es 1 y su nulidad 2.

Paso 3. Interpreta. Aunque S por sí sola conserve toda la información de sus dos coordenadas de entrada, no puede recuperar la información que T ya eliminó. Aplicar después una regla inyectiva no distingue entradas que llegaron al mismo vector intermedio.

No tiene sentido afirmar que las composiciones son iguales comparando solo sus rangos. Tienen distinto dominio, distinto espacio de llegada y distinta regla.

Usa la dimensión como control, no como sustituto

El teorema rango-nulidad establece, en dimensión finita, dimensión del dominio = rango + nulidad. Sirve para detectar una base incompleta, pero no determina qué vectores concretos forman el núcleo o la imagen.

Decir «núcleo de dimensión dos» no equivale a escribir sus ecuaciones. Tampoco «imagen de dimensión uno» identifica una recta sin indicar su dirección. Da una descripción y compruébala con la transformación.

Para revisar la resolución algebraica, consulta matrices y sistemas. Puedes registrar errores de espacios y dimensiones en la libreta de errores.

Preguntas frecuentes

¿Núcleo e imagen viven siempre en el mismo espacio?

No. El núcleo pertenece al dominio y la imagen al espacio de llegada. En una transformación de R³ a R² viven en espacios diferentes.

¿Un núcleo de dimensión dos significa dos vectores?

No. Significa que tiene una base de dos vectores independientes; el subespacio contiene todas sus combinaciones lineales.

¿Tener rango igual a la dimensión del dominio prueba sobreyectividad?

No en general. La sobreyectividad exige que la imagen coincida con todo el espacio de llegada. En el tercer ejercicio el rango es dos y el espacio de llegada tiene dimensión tres.

Escribe primero dónde vive cada vector

Anota dominio y espacio de llegada, busca las entradas anuladas y describe las salidas alcanzables. Después decide inyectividad o sobreyectividad respecto a esos espacios concretos. Para ampliar tu preparación, consulta Matemáticas II de Navarra: su ficha muestra contenidos, precio y compra actuales. Verifica qué partes de esta ampliación exige tu programa.