Sumas telescópicas: índices, resto y convergencia

Una suma puede contener muchos términos y reducirse a unos pocos extremos. La simplificación no consiste en borrar signos parecidos: debes demostrar una identidad, escribir una suma finita y comprobar qué términos sobreviven.

Esta práctica original trabaja sumas telescópicas y el límite de sus sumas parciales. Es una ampliación algebraica vinculada al estudio de sucesiones; no se afirma que todas las convocatorias pidan series infinitas. Los ejercicios separan una identidad finita de una afirmación sobre convergencia.

Cancela dentro de una suma finita

Si aₖ = bₖ − bₖ₊₁, al sumar desde k = 1 hasta N aparece b₁ − b₂ + b₂ − b₃ + … + bN − bN₊₁. Los términos interiores se anulan y queda b₁ − bN₊₁.

La referencia de OpenStax sobre series telescópicas expresa el procedimiento mediante sumas parciales. Los ejemplos siguientes son propios.

El último término no desaparece por tener un índice grande. Para una suma finita debes conservarlo; solo después puedes estudiar su límite si N crece sin cota.

Tampoco puedes separar automáticamente una serie en dos sumas infinitas divergentes. La identidad se obtiene primero con un número finito de términos, donde la cancelación no genera operaciones indeterminadas entre infinitos.

Primer ejercicio: identifica los extremos correctos

Calcula Sₙ = suma desde k = 3 hasta n de 2/[k(k + 1)], con n ≥ 3.

Descomponemos 2/[k(k + 1)] = 2/k − 2/(k + 1). La identidad se comprueba llevando el segundo miembro a común denominador: 2(k + 1 − k)/[k(k + 1)].

La suma empieza con 2/3 − 2/4 y termina con 2/n − 2/(n + 1). Por tanto:

Sₙ = 2/3 − 2/(n + 1).

Para n = 5, el resultado es 2/3 − 2/6 = 1/3. Podemos comprobarlo sumando 1/6 + 1/10 + 1/15 = 1/3.

Si n tiende a infinito, el último término tiende a cero y la suma parcial tiende a 2/3. El valor inicial es 2/3 porque empezamos en k = 3; copiar una fórmula que empieza en uno daría otro resultado.

Segundo ejercicio: controla el resto mediante una desigualdad

¿Cuántos términos hay que sumar en el primer ejercicio para que la diferencia respecto a 2/3 sea menor que 0,01?

El resto es exactamente Rₙ = 2/(n + 1). Queremos 2/(n + 1) < 0,01. Como n + 1 es positivo, resulta n + 1 > 200, es decir, n ≥ 200.

Atención a la desigualdad estricta: n = 199 deja un resto exactamente igual a 0,01 y no cumple «menor». n = 200 deja 2/201, aproximadamente 0,00995025.

Sin embargo, n = 200 es el índice final, no el número de términos sumados. Desde k = 3 hasta k = 200 hay 198 términos. Una respuesta que diga «200 términos» confunde la etiqueta del último término con el tamaño del conjunto.

Si se pidiera un error menor o igual que 0,01, bastaría n = 199 y serían 197 términos. Las palabras del requisito modifican el entero mínimo.

Tercer ejercicio: un desplazamiento de dos posiciones

Calcula la suma desde k = 1 hasta N de 1/[k(k + 2)]. Esta vez no se cancelan todos los términos salvo dos.

La descomposición es 1/[k(k + 2)] = (1/2)(1/k − 1/(k + 2)). Escribe algunos términos para observar el desplazamiento:

(1/2)[1 − 1/3 + 1/2 − 1/4 + 1/3 − 1/5 + … + 1/N − 1/(N + 2)].

Sobreviven dos términos iniciales y dos finales. La expresión queda:

Sₙ = (1/2)[1 + 1/2 − 1/(N + 1) − 1/(N + 2)].

Para N = 2, obtenemos (1/2)(3/2 − 1/3 − 1/4) = 11/24. La suma directa 1/3 + 1/8 devuelve el mismo resultado.

Al hacer N infinito, los términos finales tienden a cero y queda 3/4. La cancelación depende de la distancia entre los índices; no hay una regla universal de conservar solo el primero y el último.

Cuarto ejercicio: telescópica no significa convergente

Considera aₖ = √(k + 1) − √k. Sus términos tienden a cero, pues al racionalizar obtenemos aₖ = 1/(√(k + 1) + √k).

La suma desde k = 1 hasta N es √(N + 1) − 1. Aunque los términos individuales se hacen pequeños, las sumas parciales crecen sin límite. La serie no converge a un número finito.

No hay contradicción. Que aₖ tienda a cero es una condición necesaria para la convergencia de una serie, pero no suficiente. La cancelación ha facilitado precisamente comprobar la divergencia.

Compara con bₖ = 1/(k + 2) − 1/(k + 3). La suma parcial desde uno hasta N es 1/3 − 1/(N + 3), que sí tiende a 1/3. Lo decisivo es el límite de los extremos que sobreviven, no el nombre «telescópica».

Revisa signos, índices y significado del resultado

Si todos los sumandos son positivos, una suma parcial negativa señala un error. Si añades un término positivo, la suma debe aumentar; esta comprobación detecta muchas inversiones de signos en el resto.

En el primer ejercicio, Sₙ es menor que 2/3 y se aproxima desde abajo. La diferencia 2/(n + 1) es positiva y disminuye. Esas tres propiedades deben ser compatibles con la fórmula final.

Una suma infinita convergente es el límite de una sucesión de sumas parciales. No consiste en llegar a un «último término infinito» ni en sustituir el símbolo infinito como si fuera un número ordinario dentro de una fracción.

Compara con las sumas geométricas y sus índices: allí la simplificación usa una razón constante; aquí utiliza diferencias entre términos desplazados. En la libreta de errores escribe el primer y el último sumando completos antes de cancelar.

Preguntas frecuentes

¿Una suma telescópica converge siempre?

No. La cancelación simplifica sus sumas parciales; la convergencia depende del límite de la expresión que sobrevive.

¿El índice final coincide siempre con el número de términos?

No. Desde k = a hasta k = n, ambos incluidos, hay n − a + 1 términos.

¿Puedo borrar el último término antes de estudiar el límite?

No. Primero conserva todos los términos frontera en la suma finita y después calcula su límite si procede.

Conserva los términos frontera hasta tomar el límite

Resuelve el tercer ejercicio empezando en k = 2 y explica por qué cambia la suma límite. Después inventa una diferencia bₖ − bₖ₊₁ cuyas sumas no converjan. Para continuar con álgebra y análisis, consulta el curso de Matemáticas II para Galicia, cuya ficha muestra contenidos y condiciones actuales de compra.