Sumas geométricas: índices, resto y términos mínimos

Sumar una progresión geométrica no consiste únicamente en reconocer una razón y aplicar una fórmula. Hay que saber qué término es el primero de la suma, cuántos términos entran y si la pregunta pide una suma finita o un límite. Una razón mayor que uno no impide sumar cinco términos; sí impide obtener una suma infinita convergente cuando el primer término es distinto de cero.

Esta práctica es una ampliación de sucesiones y límites con ejercicios originales. No se presupone que todas sus aplicaciones estén incluidas en el programa de cada comunidad. Los números se eligen para poder comprobar los resultados por suma directa y por una identidad algebraica independiente.

La fórmula sale de una resta

Sea Sₙ = a + ar + ar² + … + arⁿ⁻¹. Multiplicamos por r y restamos: Sₙ − rSₙ = a − arⁿ. Los términos interiores se cancelan. Si r ≠ 1, obtenemos:

Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r).

Aquí a es el primer término incluido, no siempre el coeficiente que aparece delante de la potencia en un sumatorio. El exponente del último término es n − 1, pero al restar aparece rⁿ.

La explicación de OpenStax sobre sumas geométricas muestra esta cancelación. Nuestros ejercicios añaden control de índices, resto y número mínimo de términos.

Si r = 1, todos los términos son a y Sₙ = na. No se sustituye uno en una expresión que divide entre 1 − r. Si a = 0, todos los términos son cero, incluso para razones cuyo valor absoluto no es menor que uno.

Ejercicio 1: suma finita y comprobación directa

Enunciado. Calcula la suma de los cinco primeros términos de la progresión que empieza en 6 y tiene razón 1/2.

Paso 1. Escribe los términos. Son 6; 3; 1,5; 0,75 y 0,375. Hay cinco, no seis. El último es 6(1/2)⁴.

Paso 2. Fórmula. S₅ = 6[1 − (1/2)⁵]/(1 − 1/2) = 12(1 − 1/32) = 11,625.

Paso 3. Comprueba. La suma directa de los cinco valores también da 11,625.

Paso 4. Compara con el límite. Como |r| < 1, la suma infinita es 6/(1 − 1/2) = 12. La diferencia entre el límite y S₅ es 0,375.

Esa diferencia no es simplemente el siguiente término: el sexto vale 0,1875. El resto incluye ese sexto término y todos los posteriores. Su suma es 0,1875 + 0,09375 + … = 0,375.

Un resultado menor que 12 encaja con términos positivos. Pero estar cerca del límite no demuestra que el error sea aceptable para cualquier pregunta: hace falta una tolerancia explícita.

Ejercicio 2: cuántos términos garantizan un error

Enunciado. En la misma progresión, busca el menor n para que la diferencia entre la suma infinita y Sₙ sea como máximo 0,020.

Paso 1. Resto exacto. 12 − Sₙ = 12(1/2)ⁿ. Pedimos 12/2ⁿ ≤ 0,020.

Paso 2. Reordena. 2ⁿ ≥ 600. Las potencias cercanas son 2⁹ = 512 y 2¹⁰ = 1024.

Paso 3. Comprueba el candidato. Para n = 10, el resto es 12/1024 = 0,01171875, menor que 0,020.

Paso 4. Demuestra que es mínimo. Para n = 9, el resto es 12/512 = 0,0234375, mayor que 0,020. Por tanto, el mínimo es diez términos.

No redondees el valor nueve hacia abajo por aproximar un logaritmo. La respuesta es un entero y debe cumplir la desigualdad. Comprobar también el entero anterior demuestra la condición de mínimo.

Si la condición fuera error relativo respecto a la suma límite, el denominador sería 12. En ese caso el error relativo es (1/2)ⁿ. No es lo mismo pedir 0,020 unidades de error absoluto que un 2 % de error relativo.

Ejercicio 3: razón negativa y aproximación alternante

Enunciado. Una progresión empieza en 4 y tiene r = −1/2. Calcula S₄, S₅ y la suma infinita.

Paso 1. Cuatro términos. 4 − 2 + 1 − 0,5 = 2,5.

Paso 2. Cinco términos. Añadimos 0,25 y resulta 2,75.

Paso 3. Límite. S = 4/[1 − (−1/2)] = 4/(3/2) = 8/3, aproximadamente 2,6667.

Paso 4. Compara lados. S₄ está por debajo del límite y S₅ por encima. Los errores con signo S − S₄ y S − S₅ son 1/6 y −1/12, respectivamente.

La sucesión de sumas parciales no tiene por qué aumentar para acercarse al límite. Aquí alterna a ambos lados. El tamaño absoluto del error sí disminuye por un factor 1/2 al añadir cada término.

Que el signo oscile no impide la convergencia: lo que importa para esta progresión no trivial es |r| < 1. Una razón −2 también alterna, pero sus términos no tienden a cero y no proporciona una suma infinita convergente.

Ejercicio 4: el sumatorio empieza en otro índice

Enunciado. Suma 3(1/2)ᵏ para k desde 3 hasta 7, ambos incluidos.

Paso 1. Cuenta términos. Son los índices 3, 4, 5, 6 y 7: hay 7 − 3 + 1 = 5 términos.

Paso 2. Primer término real. Para k = 3 vale 3/8. No es 3 y tampoco 3/2.

Paso 3. Aplica la fórmula. Con a = 3/8 y r = 1/2, la suma es (3/8)(1 − 1/32)/(1/2) = 93/128, o 0,7265625.

Paso 4. Comprobación con denominador común. Los términos son 48/128, 24/128, 12/128, 6/128 y 3/128. Sus numeradores suman 93.

Usar n = 7 incorporaría términos que no aparecen en la pregunta. La diferencia entre último índice y número de términos es una fuente habitual de errores que la primera línea del desarrollo puede evitar.

Finita no significa convergente

La suma 2 + 4 + 8 + 16 vale 30. Se obtiene con a = 2, r = 2 y n = 4. No hay ninguna prohibición de aplicar la identidad finita porque r sea mayor que uno.

En cambio, la serie infinita 2 + 4 + 8 + … no tiene suma finita. La expresión a/(1 − r) solo representa la suma infinita de una progresión no trivial cuando |r| < 1. Sustituir r = 2 y obtener −2 no convierte una suma de términos positivos crecientes en negativa.

Para conectar sumas parciales y límites, consulta la guía de límites y funciones. Puedes anotar fallos de índice y tolerancia en la libreta de errores.

Preguntas frecuentes

¿Una razón mayor que uno impide sumar una progresión?

No impide una suma finita. Para una suma infinita convergente de una progresión con primer término distinto de cero se exige valor absoluto de la razón menor que uno.

¿El último índice es siempre el número de términos?

No. Del índice tres al siete, ambos incluidos, hay cinco términos. Primero hay que identificar el primer término incluido.

¿El resto es igual al siguiente término?

En general no. El resto incluye todos los términos posteriores. En el primer ejercicio el siguiente término vale 0,1875 y el resto completo vale 0,375.

Cuenta los términos antes de cancelar

Escribe el primero y el último, identifica n y decide si se pide una suma finita o una suma límite. Si se exige una precisión, comprueba el resto y el entero anterior al mínimo propuesto. Para continuar con álgebra y análisis, consulta Matemáticas II de Galicia, disponible para compra según su ficha. Contrasta siempre el alcance del programa de tu comunidad.