Rolle e valor medio: hipóteses e puntos con exercicios

Unha función pode tomar o mesmo valor nos extremos dun intervalo e non ter ningunha tanxente horizontal no interior. Non contradí Rolle se falta unha das súas hipóteses. Antes de resolver f′(c) = 0 hai que comprobar se o teorema se pode aplicar.

Esta práctica relaciona Rolle co teorema do valor medio diferencial. Os casos son orixinais e distinguen garantía de existencia, cálculo dos puntos e contraexemplos. Non confundiremos este resultado co valor medio dunha función calculado mediante unha integral.

Que debes comprobar e que podes concluír

Para aplicar Rolle en [a,b], con a < b, esiximos continuidade no intervalo pechado, derivabilidade no aberto e igualdade f(a) = f(b). A conclusión é que existe polo menos un c interior con f′(c) = 0. Non asegura que haxa exactamente un.

O teorema do valor medio mantén continuidade e derivabilidade, pero non esixe a igualdade dos extremos. Garante un c interior onde f′(c) = [f(b) − f(a)]/(b − a). A derivada nese punto coincide coa pendente da secante entre os extremos.

Escribe por separado as hipóteses e a conclusión. Unha ecuación derivada pode atopar puntos candidatos, pero non substitúe a comprobación do intervalo. Tampouco un punto situado nun extremo serve como c interior.

Exercicio 1: Rolle e dous puntos válidos

Considera f(x) = x³ − 9x no intervalo [−3,3]. Comproba se se pode aplicar Rolle e calcula todos os puntos interiores que satisfán a conclusión.

Primeiro paso: regularidade. É un polinomio, así que é continuo no intervalo pechado e derivable no aberto. Aquí non hai denominadores que se anulen nin unións de tramos que revisar.

Segundo paso: extremos. f(−3) = −27 + 27 = 0 e f(3) = 27 − 27 = 0. Os valores coinciden. Isto permite invocar Rolle, non só afirmar que a gráfica parece simétrica.

Terceiro paso: derivada. f′(x) = 3x² − 9. Ao impor f′(c) = 0, obtemos c² = 3, polo que c = −√3 e c = √3.

Cuarto paso: intervalo. Ambos están entre −3 e 3, xa que √3 ≈ 1,732. As dúas solucións son válidas. O teorema prometía polo menos unha; atopar dúas é perfectamente compatible con esa promesa.

Quinto paso: interpretar. As tanxentes neses puntos teñen pendente cero, paralelas á secante que une os extremos, tamén horizontal. Non estamos afirmando que f(c) sexa cero: f(√3) = −6√3 e f(−√3) = 6√3.

Esta última comprobación evita confundir raíz da función con raíz da derivada. Rolle garante unha derivada nula, non unha terceira raíz da función. Neste polinomio tamén hai unha raíz en cero, pero f′(0) = −9: esa raíz non é un dos puntos que buscabamos.

Exercicio 2: unha secante inclinada

Considera g(x) = x² + 2x + 5 no intervalo [1,4]. Aplica o teorema do valor medio e calcula o punto correspondente.

Primeiro paso: hipóteses. De novo é un polinomio. Cumpre continuidade en [1,4] e derivabilidade en (1,4). Non precisamos que os valores extremos coincidan.

Segundo paso: valores. g(1) = 8 e g(4) = 29. A pendente da secante é (29 − 8)/(4 − 1) = 21/3 = 7.

Terceiro paso: ecuación. Como g′(x) = 2x + 2, buscamos 2c + 2 = 7. A solución é c = 5/2 = 2,5, que pertence ao aberto (1,4).

Cuarto paso: verificación. g′(2,5) = 7. A secante é y = 7x + 1. A tanxente no punto c ten a mesma pendente, aínda que pasa por outro punto e non coincide con esa recta.

Podemos calculala: g(2,5) = 16,25 e a tanxente é y − 16,25 = 7(x − 2,5), é dicir, y = 7x − 1,25. As dúas rectas son paralelas e distintas. O teorema non di que a gráfica sexa unha recta nin que a tanxente e a secante teñan o mesmo termo independente.

Neste caso a solución é única porque a ecuación 2c + 2 = 7 só ten unha raíz. Esa unicidade vén da función concreta; non forma parte da garantía xeral do teorema.

Exercicio 3: dúas maneiras distintas de perder unha hipótese

Primeiro estudamos h(x) = |x − 2| en [0,4]. Os extremos valen dous e a función é continua. Poderiamos concluír que existe unha derivada nula?

Non aplicamos Rolle porque h non é derivable en x = 2. Á esquerda a derivada vale −1 e á dereita, +1; no vértice non existe. Polo tanto, ningún punto interior ten derivada cero. O cambio de dirección ocorre nunha esquina, non nunha tanxente horizontal.

Agora considera unha función definida por k(x) = x para 0 ≤ x < 1 e k(1) = 0, no intervalo [0,1]. Temos k(0) = k(1) = 0 e a derivada vale 1 en todo o aberto (0,1).

Falla a continuidade no extremo dereito: o límite pola esquerda é 1, pero k(1) = 0. A derivabilidade no aberto non arranxa ese salto no extremo. Non hai un c interior con k′(c) = 0.

Os dous casos mostran por que hai dúas comprobacións diferentes. No primeiro falla a derivabilidade interior; no segundo, a continuidade no pechado. Non abonda con escribir «é derivable entre os extremos» e esquecer o comportamento nos propios extremos.

Que significa que non poidamos aplicar o teorema

Se falta unha hipótese, o teorema deixa de garantir a conclusión. Iso non implica que a conclusión sexa falsa para todas as funcións que incumpren esa hipótese. Hai que estudar o caso concreto.

Por exemplo, modifica k para que sexa cero en [0,1/2] e teña un salto máis adiante. Haberá puntos con derivada cero no tramo constante, aínda que a función non cumpra continuidade en todo o intervalo. Atopalos directamente non converte a función nun exemplo válido de aplicación de Rolle.

Como autocorrección, escribe tres frases distintas: «cumpre as hipóteses», «existe un punto» e «hai exactamente dous puntos». Identifica cal está xustificada polo teorema e cal necesita resolver a ecuación concreta. Esa separación mellora unha resposta máis que debuxar unha curva sen comprobar condicións.

Referencia académica consultada: OpenStax: Rolle e teorema do valor medio. Os enunciados e os cálculos son orixinais.

Podes relacionar estas condicións coa guía de límites e derivadas e anotar que hipótese esqueciches na libreta de erros.

Preguntas frecuentes

Rolle garante un único punto con derivada cero?

Non. Garante polo menos un punto interior; a función concreta pode ter un, varios ou infinitos puntos que satisfagan esa conclusión.

Se f(a) e f(b) coinciden xa podo aplicar Rolle?

Non. Tamén debes comprobar continuidade no intervalo pechado e derivabilidade no aberto.

O punto c pode ser un dos extremos?

Non. A conclusión destes teoremas sitúa c no intervalo aberto entre a e b.

Escribir as hipóteses antes de resolver a derivada

Repite os tres casos tapando os resultados e identifica primeiro que podes garantir. Para conectar estas xustificacións cos demais bloques, consulta a ficha de Matemáticas II de Galicia, dispoñible para comprar, cos contidos, o prezo e as condicións actuais.