Resonancia forzada: frecuencia, amplitud y amortiguación

Que un sistema tenga una frecuencia propia no obliga a que todas sus oscilaciones observadas se produzcan a esa frecuencia. Si una fuerza periódica mantiene el movimiento, la respuesta estacionaria sigue la frecuencia de excitación. La amplitud, en cambio, depende de cómo se comparan esa excitación, la rigidez, la masa y el amortiguamiento.

Esta práctica de ampliación utiliza un modelo lineal y tres ejercicios originales. No presupone que la ecuación del oscilador forzado forme parte de todas las convocatorias. La finalidad es distinguir frecuencia impuesta y frecuencia propia, y comprobar cuándo una explicación aproximada sobre resonancia necesita un matiz.

El modelo que vamos a resolver

Un bloque de masa m está unido a un muelle de constante k. El rozamiento viscoso se representa mediante una fuerza −b·v, con b positivo. Una fuerza exterior F₀ cos(ωt) mantiene la excitación. Suponemos parámetros constantes, desplazamientos dentro del régimen lineal y una fuente capaz de sostener la fuerza indicada.

Después de que desaparezca el transitorio, la amplitud de desplazamiento cumple:

A = F₀ / √[(k − mω²)² + (bω)²].

La frecuencia angular propia sin amortiguamiento es ω₀ = √(k/m). El apartado académico sobre oscilaciones forzadas presenta esta respuesta y la distinción entre excitación y frecuencia propia. Aquí calcularemos también, a partir de la expresión, el máximo exacto de amplitud cuando existe.

ω se expresa en radianes por segundo. No es la frecuencia f en hercios: ω = 2πf. La constante b se expresa en kg·s⁻¹, de modo que bω tiene las mismas unidades que k. Ambas contribuciones del denominador son dimensionalmente compatibles.

No uses la energía constante del MAS libre para este sistema. La fuerza exterior aporta energía y el rozamiento la disipa. El régimen estacionario no significa ausencia de intercambio.

Ejercicio 1: una misma frecuencia propia, tres respuestas

Datos originales: m = 1,00 kg, k = 100 N·m⁻¹, b = 2,00 kg·s⁻¹ y F₀ = 1,00 N. Calcula las amplitudes para ω = 6,00; 10,0 y 14,0 rad·s⁻¹.

Primero obtenemos ω₀ = √(100/1) = 10,0 rad·s⁻¹. Este valor pertenece a los parámetros del sistema, no lo elige el motor.

Para ω = 6,00, k − mω² = 64,0 N·m⁻¹ y bω = 12,0 N·m⁻¹. El denominador es √(64² + 12²) = √4240, aproximadamente 65,12 N·m⁻¹. Así, A ≈ 0,01536 m.

Para ω = 10,0, la primera contribución se anula y queda bω = 20,0 N·m⁻¹. La amplitud es 0,0500 m.

Para ω = 14,0, la contribución elástica-inercial vale −96,0 N·m⁻¹. Su signo desaparece al elevar al cuadrado. Como bω = 28,0 N·m⁻¹, el denominador es √(9216 + 784) = 100 N·m⁻¹. Por tanto, A = 0,0100 m.

La respuesta es mayor cerca de la frecuencia propia. Pero estos tres puntos, por sí solos, no demuestran que el máximo exacto se sitúe precisamente en 10,0. Para afirmarlo necesitamos examinar la función, no solo una tabla poco densa.

Ejercicio 2: localizar el máximo de desplazamiento

Como F₀ es constante y positivo, maximizar A equivale a minimizar el cuadrado del denominador:

D(ω) = (k − mω²)² + b²ω².

Su derivada es D′(ω) = 2ω[2m²ω² − 2km + b²]. Para un máximo de respuesta a frecuencia positiva, el candidato es:

ωr² = k/m − b²/(2m²).

Con nuestros datos, ωr = √98 ≈ 9,899 rad·s⁻¹. Sustituimos en la expresión de A: k − mωr² = 2,00 y b²ωr² = 392. El denominador es √396 y la amplitud máxima resulta 0,05025 m, aproximadamente.

El máximo de desplazamiento está ligeramente por debajo de ω₀. La aproximación ωr ≈ ω₀ es útil con amortiguamiento pequeño, pero no debe presentarse como igualdad exacta para todo b.

Si k/m − b²/(2m²) no es positivo, este modelo no presenta ese pico a frecuencia positiva: el candidato anterior deja de ser aplicable. No tiene sentido inventar una frecuencia real tomando la raíz de un número negativo.

Esta precisión se refiere al máximo de amplitud de desplazamiento. No intercambies sin análisis los máximos de desplazamiento, velocidad o potencia absorbida: son magnitudes distintas.

Ejercicio 3: aumentar el amortiguamiento manteniendo la excitación

Ahora b pasa de 2,00 a 4,00 kg·s⁻¹. Mantén m, k, F₀ y ω = 10,0 rad·s⁻¹. Calcula la nueva amplitud.

La diferencia k − mω² sigue siendo cero. El denominador pasa a 4,00 × 10,0 = 40,0 N·m⁻¹. Entonces A = 0,0250 m, la mitad del valor anterior a esa misma frecuencia.

No hemos cambiado la frecuencia angular propia sin amortiguamiento: continúa valiendo √(k/m) = 10,0. Tampoco hemos cambiado la frecuencia de excitación. Lo que cambia es la respuesta y la posición de su máximo exacto.

Para b = 4,00, el candidato es ωr = √92 ≈ 9,592 rad·s⁻¹. No basta con decir que el pico se vuelve más bajo; su posición también puede variar en el modelo.

La comparación de amplitudes a ω fija no equivale a comparar ambos máximos. Son preguntas diferentes y conviene indicar cuál estamos contestando.

Qué periodo se observa después del transitorio

Si el motor fuerza a ω = 14,0 rad·s⁻¹, la oscilación estacionaria tiene periodo T = 2π/14,0 ≈ 0,449 s. No utiliza el periodo propio 2π/10,0 ≈ 0,628 s.

Al inicio puede coexistir un transitorio con la respuesta forzada. La fórmula de amplitud que hemos empleado describe el régimen posterior bajo amortiguamiento positivo; no cualquier instante desde que se conecta el motor.

Tampoco interpretes la singularidad del modelo ideal sin amortiguamiento como una predicción de desplazamientos físicamente infinitos. El caso resonante sin disipación no admite la misma respuesta estacionaria de amplitud finita, y los sistemas reales tienen límites que el modelo lineal no representa.

Preguntas frecuentes

¿La respuesta estacionaria tiene siempre la frecuencia propia del muelle?

No. En este modelo forzado, tras desaparecer el transitorio la oscilación sigue la frecuencia de la fuerza exterior, aunque su amplitud dependa de la frecuencia propia.

¿El máximo de desplazamiento coincide exactamente con la frecuencia propia?

No en general. Con amortiguamiento viscoso y un pico positivo, la frecuencia del máximo es menor; la coincidencia es una aproximación para amortiguamiento pequeño.

¿La fórmula de amplitud describe cualquier instante desde que se conecta el motor?

No. Describe la respuesta estacionaria del modelo. Al principio también puede existir una contribución transitoria que depende de las condiciones iniciales.

Separa la frecuencia impuesta de la respuesta

Compara estos resultados con el ejercicio de energía en MAS libre. Allí no había fuerza impulsora ni disipación; aquí esas dos condiciones cambian el problema.

En la libreta de errores anota qué frecuencia has utilizado y si buscas amplitud a una excitación dada o el máximo de la curva. Para continuar con la preparación general, consulta el curso de Física de Cataluña, cuya ficha muestra contenidos, precio y condiciones actuales; contrasta el alcance concreto de tu examen antes de incorporar esta ampliación.