Circuito RC: carga, descarga y constante de tiempo

Conocer Q = CV permite describir un condensador en un instante. Para saber cuánto tarda en cargarse hace falta añadir una resistencia y un modelo temporal. Ahí aparece una exponencial que cambia de interpretación entre carga y descarga.

Esta práctica de ampliación une circuitos y funciones exponenciales. No afirma que los transitorios RC formen parte de todas las PAU: comprueba el temario y las instrucciones de tu comunidad antes de priorizarla. Los tres ejercicios son originales y usan componentes ideales; los cálculos no constituyen instrucciones para montar un circuito real.

Fija qué está conectado en cada etapa

Durante la carga, una fuente ideal de tensión constante Vₛ alimenta una resistencia R y un condensador C en serie. El condensador empieza descargado en t = 0. Definimos τ = RC, la constante de tiempo, expresada en segundos.

La tensión del condensador es Vc(t) = Vₛ[1 − exp(−t/τ)]. La corriente, positiva en el sentido de carga elegido, es I(t) = (Vₛ/R)exp(−t/τ). La carga de la placa positiva es q(t) = C Vc(t). Estas ecuaciones suponen R y C constantes y despreciamos inductancias, fugas y resistencia interna de la fuente.

Para descargarlo, retiramos la fuente y dejamos cerrado un circuito formado por condensador y resistencia. Si la tensión inicial es V₀, entonces Vc(t) = V₀ exp(−t/τ). Si mantenemos como positiva la dirección de la corriente de carga, la corriente de descarga tiene signo negativo. Su módulo es V₀ exp(−t/τ)/R.

Desconectar la fuente dejando el condensador ideal aislado no es lo mismo que conectarlo a una resistencia para descargarlo. El modelo requiere una trayectoria conductora: cambiar el nombre de una etapa no introduce ese camino.

Ejercicio 1: cargar durante una constante de tiempo

Una fuente de 9,00 V carga un condensador de 100 µF mediante una resistencia de 20,0 kΩ. El condensador parte de tensión cero. Calcula τ, la corriente inicial y las magnitudes al cabo de 2,00 s.

Paso 1. Convierte prefijos. R = 20 000 Ω y C = 100 × 10⁻⁶ F = 0,000100 F. Por tanto, τ = RC = 2,00 s. Multiplicar 20 por 100 sin atender a kilo y micro no daría segundos correctamente.

Paso 2. Calcula el inicio. I(0) = 9,00/20 000 = 0,000450 A = 0,450 mA. Vc(0) = 0 y q(0) = 0. La fuente y la resistencia limitan la corriente; el modelo no predice una corriente infinita.

Paso 3. Evalúa en t = τ. exp(−1) ≈ 0,367879. Vc = 9,00 × 0,632121 = 5,689 V. I = 0,450 × 0,367879 = 0,1655 mA.

La carga es q = 100 µF × 5,689 V = 568,9 µC. El máximo asintótico sería CVₛ = 900 µC. Se ha alcanzado un 63,2 % de la tensión y de la carga finales, mientras que la corriente conserva un 36,8 % de su valor inicial.

Paso 4. Comprueba la suma de tensiones. Vr = IR ≈ 3,311 V. Sumando Vr + Vc obtenemos 9,00 V. Una respuesta con ambas tensiones iguales a 9 V en ese instante incumpliría el balance de la malla.

Ejercicio 2: tiempo para alcanzar el 90 %

Mantén el circuito anterior. ¿Cuánto tarda Vc en alcanzar el 90,0 % de la tensión de la fuente? ¿Cuánto tardaría si duplicamos R y mantenemos C?

Paso 1. Escribe el cociente. Vc/Vₛ = 0,900 = 1 − exp(−t/τ). Así, exp(−t/τ) = 0,100.

Paso 2. Toma logaritmos. −t/τ = ln(0,100), luego t = −τ ln(0,100) = τ ln 10.

Con τ = 2,00 s obtenemos t = 4,605 s, aproximadamente 4,61 s. No uses ln(0,900): eso describiría una fracción restante diferente.

Paso 3. Cambia la resistencia. Si R se duplica, τ pasa a 4,00 s. El tiempo para la misma fracción final se duplica: 9,210 s. La tensión final continúa siendo 9,00 V, aunque la corriente inicial se reduce a la mitad.

La resistencia no fija por sí sola una carga final menor en esta carga ideal a tensión constante. Modifica la rapidez del proceso. Esa distinción evita confundir una gráfica que tarda más en subir con otra que termina necesariamente más abajo.

En el modelo exponencial, alcanzar exactamente el 100 % requiere el límite t → ∞. Decir que a cinco constantes de tiempo está «prácticamente cargado» admite una tolerancia: todavía queda una diferencia de exp(−5) ≈ 0,674 %.

Ejercicio 3: descargar carga y energía

Ahora el condensador está inicialmente a 9,00 V. Lo descargamos mediante la misma resistencia, con la fuente fuera del circuito. Calcula cuándo queda la mitad de la tensión y qué fracción de energía queda entonces.

Paso 1. Usa la ecuación de descarga. 0,500 = exp(−t/τ), de donde t = τ ln 2 = 1,386 s. La carga también se reduce a la mitad porque q = CVc y C no cambia.

Paso 2. Aplica la energía. U = C Vc²/2. La energía inicial es 0,5 × 0,000100 × 9,00² = 0,00405 J, es decir, 4,05 mJ.

Cuando la tensión vale 4,50 V, U = 1,0125 mJ. Es la cuarta parte de la energía inicial, no la mitad. El cuadrado de la tensión cambia la comparación.

Paso 3. Busca la mitad de la energía. U/U₀ = exp(−2t/τ). Para U/U₀ = 0,500, el tiempo es t = (τ/2)ln 2 = 0,6931 s. En ese instante Vc/V₀ = 1/√2 ≈ 0,7071.

Durante esta descarga ideal, la energía que desaparece del condensador se disipa en la resistencia. No desaparece del balance energético. La ecuación describe esa transferencia, sin exigir que el condensador mantenga la misma tensión mientras pierde carga.

Interpreta la gráfica antes de calcular

En la carga, Vc sube y la corriente disminuye. En la descarga, el módulo de ambas magnitudes disminuye. La tensión de un condensador ideal no da un salto finito instantáneo bajo una corriente finita; las condiciones iniciales son parte del problema.

Para comparar dos circuitos mediante τ, comprueba primero que tienen la misma topología y condiciones iniciales. Una fuente con resistencia interna, una asociación de varios elementos o una fuga puede exigir otra resistencia efectiva. No sustituyas cualquier resistencia dibujada sin analizar qué circuito ve el condensador.

Referencia conceptual: fuente académica 1. Los casos y cálculos anteriores son originales.

Puedes situar esta práctica en el tema relacionado. Utiliza la libreta de errores para registrar la hipótesis, unidad o paso que necesites corregir; es un recurso de organización del repaso.

Preguntas frecuentes

¿A una constante de tiempo el condensador está totalmente cargado?

No. Desde tensión inicial cero alcanza aproximadamente el 63,2 % de la tensión final en una carga RC ideal. El valor exacto final se alcanza asintóticamente.

¿Al quedar la mitad de la tensión queda la mitad de la energía?

No. Con capacidad constante, la energía es proporcional al cuadrado de la tensión. A la mitad de tensión queda una cuarta parte de la energía.

¿Retirar la fuente basta para calcular una descarga RC?

No. Debe existir el circuito de descarga a través de una resistencia. Un condensador ideal aislado no se descarga mediante un camino que no se ha definido.

Distingue el tiempo de la carga y el de la energía

Dibuja las curvas de tensión y energía durante la descarga. Señala en ellas los dos tiempos distintos para alcanzar la mitad de sus valores iniciales. Consulta el curso de Física para tu comunidad, disponible para comprar; su ficha muestra contenidos, precio y condiciones actuales.