Condensadors en sèrie: càrrega i energia resoltes

Condensadors en sèrie: càrrega, tensió i energia

Dos condensadors connectats a una mateixa font no sempre tenen la mateixa tensió. La connexió determina quines magnituds comparteixen i com es reparteixen. En aquesta pràctica original calcularem una associació en sèrie, comprovarem el balanç d’energia i la compararem amb una connexió en paral·lel.

La guia de Física a Catalunya situa la preparació de l’assignatura. Aquí es desenvolupa un model de circuit concret, sense afirmar que aparegui en una convocatòria determinada ni presentar els exercicis com a oficials. Totes les dades numèriques són pròpies.

Dibuixa la connexió abans de substituir

Considerem dos condensadors ideals inicialment descarregats, C1 = 2,0 µF i C2 = 6,0 µF. Es connecten en sèrie a una font ideal de 12 V i s’espera fins a l’estat estacionari. El conductor intermedi queda aïllat d’altres connexions i té càrrega neta inicial nul·la.

El capítol d’OpenStax sobre associacions de condensadors permet contrastar les relacions utilitzades. Per a aquesta sèrie, les càrregues tenen la mateixa magnitud i les tensions sumen la de la font.

No afirmem que totes les plaques tinguin el mateix signe. Cada condensador presenta càrregues oposades a les seves plaques. Quan escrivim Q en les operacions, ens referim a la magnitud positiva de la càrrega.

Exercici 1: capacitat equivalent

La relació de la sèrie és 1/Ceq = 1/C1 + 1/C2. Amb les dades, 1/Ceq = 1/2 + 1/6 = 2/3, si les capacitats s’expressen en microfarads. Per tant, Ceq = 1,5 µF.

La comprovació immediata és que la capacitat equivalent és menor que qualsevol de les dues capacitats individuals: 1,5 és inferior a 2,0 i a 6,0. Si haguessis sumat directament i obtingut 8,0 µF, hauries aplicat la regla del paral·lel a una connexió diferent.

Per evitar errors d’unitats, pots fer tot el càlcul amb 2,0·10⁻⁶ F i 6,0·10⁻⁶ F. Obtindràs 1,5·10⁻⁶ F. El prefix micro no és una etiqueta decorativa: representa un factor de deu elevat a menys sis.

Exercici 2: càrrega i repartiment de tensió

La magnitud de la càrrega és Q = Ceq·V = 1,5 µF·12 V = 18 µC. Aquesta és la magnitud de càrrega de cada condensador de la sèrie, sota les condicions de l’enunciat.

Per al primer, V1 = Q/C1 = 18/2 = 9 V. Per al segon, V2 = Q/C2 = 18/6 = 3 V. La suma és 12 V, com exigeix la connexió a la font.

El condensador de menor capacitat suporta més tensió perquè comparteix la mateixa magnitud de càrrega amb l’altre. No reparteixis automàticament els 12 V en dues parts iguals. Això només donaria el resultat correcte si les capacitats fossin iguals en aquest model.

La comprovació inversa és Q1 = 2 µF·9 V = 18 µC i Q2 = 6 µF·3 V = 18 µC. Si les càrregues calculades fossin diferents, hauríem contradit una condició de la sèrie.

Exercici 3: energia emmagatzemada

El capítol acadèmic sobre energia d’un condensador presenta U = CV²/2. La farem servir per calcular l’energia final emmagatzemada, no tota l’energia subministrada durant el procés de càrrega.

En C1, U1 = 0,5·2,0·10⁻⁶·9² = 81·10⁻⁶ J, és a dir, 81 µJ. En C2, U2 = 0,5·6,0·10⁻⁶·3² = 27 µJ. L’energia total és 108 µJ.

Amb l’equivalent obtenim U = 0,5·1,5·10⁻⁶·12² = 108 µJ. La coincidència entre els dos procediments comprova tant les tensions com les unitats.

No calculis l’energia de cada condensador amb 12 V: cadascun només suporta una part de la tensió. Tampoc sumis càrregues i les anomenis energia, perquè les magnituds i les unitats són diferents.

Exercici 4: canvia la connexió a paral·lel

En un assaig nou, tornem a començar amb els condensadors descarregats i els connectem en paral·lel a 12 V. No estem redistribuint la càrrega de l’assaig anterior: és una configuració inicial distinta.

Ara tots dos tenen 12 V. Les càrregues són Q1 = 2 µF·12 V = 24 µC i Q2 = 6 µF·12 V = 72 µC. La capacitat equivalent és 8 µF i la càrrega total és 96 µC.

L’energia final és 0,5·8,0·10⁻⁶·12² = 576 µJ. També pots sumar 144 µJ i 432 µJ de cada condensador. La diferència respecte dels 108 µJ de la sèrie procedeix del canvi de connexió sota la mateixa tensió de font.

Què passaria en desconnectar la font?

Si desconnectem una associació ideal ja carregada i l’aïllem sense modificar-ne la geometria ni les connexions, no hem introduït cap mecanisme de descàrrega en el model. No podem afirmar que la tensió passi instantàniament a zero només perquè retirem la font.

Un circuit real pot tenir fuites i altres elements. El nostre enunciat ideal no proporciona dades per calcular aquest procés. Aquest límit és important: les fórmules estacionàries no descriuen per si soles una evolució temporal.

Autocorrecció del circuit

A la llibreta d’errors, anota la connexió, la magnitud compartida i la comprovació final. Per a sèrie, comprova càrregues i suma de tensions; per a paral·lel, comprova tensions i suma de càrregues.

Abans de repetir nombres, explica amb paraules per què en sèrie el condensador petit té més tensió. Si la justificació només diu «perquè surt a la fórmula», torna al fet que comparteixen Q.

Preguntes freqüents

Els condensadors en sèrie tenen sempre la mateixa tensió?

No. En aquest model comparteixen la magnitud de càrrega, mentre que la tensió es reparteix segons les capacitats.

Es pot calcular l’energia total amb la capacitat equivalent?

Sí, emprant la tensió total corresponent. El resultat ha de coincidir amb la suma de les energies dels condensadors individuals.

Retirar la font descarrega instantàniament un condensador ideal?

No. Cal un mecanisme de descàrrega. El model aïllat ideal no introdueix aquest procés només per desconnectar la font.

Continua amb els circuits

Dibuixa les dues connexions i resol-les sense consultar les xifres finals. El curs de Física per a Catalunya està disponible per comprar. Consulta la fitxa per valorar-ne els continguts i organitzar el repàs.