Velocitat orbital i d'escapament: exercicis resolts

Velocitat orbital i d’escapament: compara el mateix radi

La velocitat necessària per mantenir una òrbita circular no és la mateixa que la necessària per escapar. Totes dues depenen de la gravetat, però responen a condicions energètiques diferents. En aquesta pràctica original calcularem les dues velocitats al mateix radi i comprovarem per què difereixen.

La guia de Física per a Catalunya permet situar el tema dins la matèria. Les dades del cos central són didàctiques: no s’atribueixen a la Terra ni a cap planeta real. Tampoc es presenta el problema com una pregunta oficial o una previsió de convocatòria.

Dades i hipòtesis del model

Considerem un cos central esfèric de radi R = 6,0·10⁶ m i paràmetre gravitatori μ = GM = 3,2·10¹⁴ m³/s². Un satèl·lit de massa negligible respecte del cos central es troba a r = 8,0·10⁶ m del centre.

Ignorem atmosfera, altres cossos i rotació. El potencial gravitatori es pren nul a l’infinit. La velocitat d’escapament es defineix com la mínima velocitat inicial per arribar a l’infinit amb velocitat límit nul·la, sense propulsió posterior.

El capítol d’OpenStax sobre energia gravitatòria fonamenta aquest criteri. El capítol sobre òrbites de satèl·lits desenvolupa la condició de moviment circular.

Exercici 1: distància al centre i altura

Calcula l’altura del satèl·lit respecte de la superfície. La dada r no és aquesta altura: representa la distància des del centre.

Per tant, h = r − R = 8,0·10⁶ − 6,0·10⁶ = 2,0·10⁶ m. Equivalentment, el satèl·lit és a 2 000 km de la superfície.

A les fórmules de gravetat has d’utilitzar r = 8,0·10⁶ m, no h = 2,0·10⁶ m. Substituir l’altura com si fos el radi quadruplica el quocient μ/r i altera totes les velocitats.

Fes un esquema amb tres punts: centre, superfície i satèl·lit. Etiqueta R, h i r, i comprova que r = R + h. Aquesta línia senzilla pot evitar una equivocació que després no es detecta només mirant les unitats.

Exercici 2: velocitat circular

En una òrbita circular, la força gravitatòria proporciona l’acceleració centrípeta. Igualant μm/r² = mv²/r, la massa del satèl·lit es cancel·la i obtenim vc = √(μ/r).

Substituint, vc = √(3,2·10¹⁴ / 8,0·10⁶) = √(4,0·10⁷) = 6 324,6 m/s, aproximadament. Podem expressar-ho com 6,32 km/s.

La comprovació dimensional és útil: μ/r té unitats m²/s², i la seva arrel té unitats m/s. Si el resultat conserva metres quadrats o segons quadrats, falta l’arrel o la conversió.

No concloguis que un satèl·lit amb el doble de massa necessita el doble de velocitat circular al mateix radi. La massa s’ha cancel·lat en aquest model; això no significa que la seva energia total també sigui independent de la massa.

Exercici 3: velocitat d’escapament

La condició mínima és una energia mecànica inicial nul·la: mv²/2 − μm/r = 0. Aïllant, ve = √(2μ/r).

Amb el mateix radi, ve = √(8,0·10⁷) = 8 944,3 m/s, aproximadament 8,94 km/s. La raó és ve/vc = √2, no dos.

Aquest resultat no implica que calgui accelerar sempre radialment per definir el llindar energètic. En el model sense obstacles i sense atmosfera, la comparació d’energies és la que determina el valor. Si es demanés una trajectòria concreta o una maniobra, caldrien més condicions.

Tampoc restis la velocitat circular i la d’escapament per obtenir automàticament qualsevol canvi de velocitat de qualsevol maniobra. Si l’impuls és tangencial i en el mateix sentit del moviment circular, al mateix punt, la diferència sí dona el canvi necessari per al llindar d’escapament: aproximadament 2,62 km/s.

Exercici 4: què canvia si el radi es duplica?

Considera ara r2 = 1,6·10⁷ m, el doble del radi inicial. La velocitat circular passa a vc2 = vc/√2, aproximadament 4,47 km/s. La velocitat d’escapament passa a ve2 = ve/√2, aproximadament 6,32 km/s.

Les velocitats disminueixen, però no es redueixen a la meitat. La dependència és amb l’arrel inversa del radi. Aquesta comprovació proporcional és més ràpida que substituir totes les dades de nou i permet anticipar el sentit del canvi.

Observa una coincidència d’aquest exemple: la velocitat d’escapament al doble del radi coincideix amb la circular al radi inicial. És conseqüència algebraica dels factors dos i arrel quadrada, no una igualtat general entre les dues definicions al mateix punt.

Energia i interpretació

En l’òrbita circular inicial, l’energia mecànica per unitat de massa és −μ/(2r) = −2,0·10⁷ J/kg. És negativa perquè el moviment està lligat gravitatòriament amb la referència de potencial escollida.

En el llindar d’escapament, l’energia mecànica per unitat de massa és zero. Augmentar només fins a la velocitat circular no elimina l’energia negativa de l’òrbita.

No confonguis energia zero amb absència de gravetat. A qualsevol distància finita del model continua havent-hi interacció gravitatòria; el zero expressa un balanç energètic amb una referència definida.

Autocorrecció abans d’acabar

Comprova el radi utilitzat, les unitats, la raó √2 i el signe de l’energia circular. Registra a la llibreta d’errors si has confós altura i radi o si has duplicat la velocitat quan només canviava un factor sota l’arrel.

Preguntes freqüents

La velocitat d’escapament és el doble de la circular?

No. Al mateix radi i sota aquest model, és l’arrel quadrada de dos vegades la velocitat circular.

A la fórmula s’utilitza l’altura o la distància al centre?

S’utilitza la distància al centre. L’altura s’ha de sumar al radi del cos central per obtenir aquesta distància.

Energia mecànica zero significa que no hi ha gravetat?

No. És el llindar energètic d’escapament amb potencial nul a l’infinit, no una absència de força a distància finita.

Continua amb la gravitació

Explica les dues velocitats a partir de les seves condicions, sense memoritzar-les com dues fórmules desconnectades. El curs de Física per a Catalunya està disponible per comprar; consulta la fitxa per veure’n els continguts.