Ciclotrón: periodo, sincronización y energía en ejercicios

Una partícula puede recorrer círculos cada vez mayores y tardar lo mismo en completar cada vuelta. Esa propiedad permite sincronizar un ciclotrón clásico, pero solo dentro de un modelo concreto. Confundir radio con periodo lleva a atribuir al imán una aceleración energética que no produce.

Esta práctica original estudia el periodo, la sincronización y la energía de una partícula cargada. Es una ampliación de la fuerza de Lorentz, con movimiento no relativista, campos ideales y datos redondeados declarados. No pretende describir todos los diseños de aceleradores actuales.

Separa el papel del campo eléctrico y del magnético

Dentro de cada región semicircular del modelo actúa un campo magnético uniforme perpendicular a la velocidad. Su fuerza desvía la partícula, pero no realiza trabajo porque es perpendicular al desplazamiento instantáneo.

En el pequeño hueco entre las regiones actúa un campo eléctrico alterno. Allí cambia la energía cinética. Despreciamos el tiempo de paso por el hueco frente al tiempo de recorrido semicircular y cualquier pérdida por colisiones o radiación.

La explicación de OpenStax sobre el ciclotrón distingue ambas funciones y señala el límite de la sincronización clásica cuando aparecen efectos relativistas. Los cálculos siguientes usan valores propios.

Tomaremos para una partícula positiva m = 1,67·10⁻²⁷ kg, q = 1,60·10⁻¹⁹ C y B = 0,400 T. El signo positivo fija el sentido del giro; para calcular magnitudes usaríamos |q| si la carga fuera negativa.

Primer ejercicio: deduce el periodo antes de sustituir

La magnitud de la fuerza magnética es |q|vB. Para una órbita circular igualamos esa fuerza a mv²/r. No se añade una segunda fuerza llamada centrípeta: la fuerza magnética proporciona la resultante radial.

Despejamos r = mv/(|q|B). El periodo es longitud de una vuelta dividida por rapidez: T = 2πr/v. Sustituyendo r obtenemos:

T = 2πm/(|q|B).

La rapidez se cancela. Con los datos declarados resulta T = 1,6395·10⁻⁷ s, aproximadamente 0,164 microsegundos. La frecuencia de vuelta es f = 1/T = 6,0994 MHz.

La cancelación no significa que la rapidez carezca de importancia física. Cambia el radio y la energía; simplemente no aparece en este periodo bajo las hipótesis no relativistas y de B uniforme.

Comprueba también las unidades. El resultado debe ser un tiempo, mientras que |q|B/m tiene dimensión de frecuencia angular. Confundir esta última con f hace perder el factor 2π.

Segundo ejercicio: sincroniza la tensión sin duplicar la frecuencia

Dentro de una región la partícula recorre media circunferencia. Por eso tarda T/2, aproximadamente 8,1976·10⁻⁸ s, antes de volver al hueco.

La polaridad del campo eléctrico debe invertirse durante ese intervalo para que el siguiente paso vuelva a acelerar en la dirección adecuada. Una señal alterna cuyo periodo es T cambia de signo cada medio periodo.

Por tanto, la frecuencia de la tensión es f, no 2f, en este modelo de sincronización. Hay dos pasos aceleradores por vuelta, pero esa frecuencia de eventos no es la frecuencia de un ciclo completo de la señal.

Dibuja una tabla temporal: en t = 0 una polaridad acelera el primer cruce; en t = T/2 la polaridad opuesta acelera el siguiente; en t = T la señal repite su estado inicial. Así se ve por qué contar inversiones y contar ciclos son tareas distintas.

El razonamiento supone que el paso por el hueco es breve y que se llega en la fase adecuada. Una señal de frecuencia correcta no garantiza aceleración si la fase inicial es incorrecta.

Tercer ejercicio: radio máximo y energía de salida

El borde útil está a R = 0,0800 m. Calcula la rapidez y energía cinética correspondientes a ese radio.

De la ecuación circular obtenemos v = |q|BR/m = 3,0659·10⁶ m/s. Usando K = mv²/2 resulta 7,8486·10⁻¹⁵ J.

Para expresar la energía en electronvoltios dividimos por 1,60·10⁻¹⁹ J/eV, de acuerdo con la precisión de los datos. Obtenemos 4,9054·10⁴ eV, aproximadamente 49,05 keV.

No son 49,05 MeV. Escribir correctamente el prefijo importa tanto como calcular el cociente: kilo multiplica por mil y mega por un millón.

La rapidez es aproximadamente el 1 % de la de la luz. El tratamiento no relativista es adecuado para la precisión escolar de este ejemplo; no estamos afirmando que la expresión sea exacta a cualquier energía.

También puedes obtener K directamente como q²B²R²/(2m). Ambas rutas deben dar el mismo valor, y esa coincidencia sirve para detectar un cuadrado perdido en B o R.

Cuarto ejercicio: cruces discretos y límite geométrico

Supón que cada cruce aporta exactamente 500 eV, con energía inicial despreciable. Tras N cruces, K = N·500 eV. ¿Cuántos incrementos completos caben antes de superar el límite calculado?

Dividimos 49 053,89/500 = 98,1078. Tras 98 cruces la energía es 49 000 eV, todavía por debajo del límite. Tras 99 cruces alcanzaría 49 500 eV y lo superaría.

La respuesta a «cuántos incrementos completos no superan el límite» es 98. Si la pregunta fuera «cuántos serían necesarios para alcanzar al menos el límite», el entero sería 99, pero ese último estado ya no corresponde a una órbita contenida en el radio útil.

Este ejemplo no determina por sí solo el mecanismo de extracción ni la trayectoria detallada durante el hueco. Es un balance ideal de incrementos discretos frente a una restricción geométrica.

Cada ganancia energética procede del campo eléctrico. La fuerza magnética no se convierte en un motor que aporta esos 500 eV por describir una trayectoria curva.

Compara dos cambios sin mezclar sus efectos

Si duplicamos la rapidez con B fijo, el radio se duplica, la energía cinética se cuadruplica y T permanece igual en el modelo clásico.

Si duplicamos B manteniendo la misma rapidez, el radio se reduce a la mitad y el periodo también. La energía cinética no cambia por esa comparación de estados con la misma rapidez; lo que cambia es la curvatura.

Con una masa distinta y la misma carga, T cambia proporcionalmente a m. Por eso no se puede afirmar que cualquier especie cargada se sincroniza con una única frecuencia sin considerar su relación carga/masa.

Vuelve a los ejercicios de fuerza de Lorentz para practicar dirección y magnitud. Aquí la tarea nueva es relacionar periodo, señal alterna y escalones energéticos. En la libreta de errores separa frecuencia de giro, frecuencia de cruces y frecuencia angular.

Preguntas frecuentes

¿El campo magnético aumenta la energía cinética dentro del ciclotrón?

No en este modelo. Desvía la partícula sin realizar trabajo; la ganancia energética se produce por el campo eléctrico en el hueco.

¿Dos cruces por vuelta obligan a duplicar la frecuencia de la tensión alterna?

No. Una señal de periodo T invierte su polaridad cada T/2, coincidiendo con los cruces del modelo ideal.

¿El periodo clásico permanece constante a cualquier energía?

No. La independencia respecto a la rapidez corresponde al modelo no relativista con campo uniforme; no puede extrapolarse sin límite.

Sincroniza primero y comprueba el límite después

Recalcula T si B pasa a 0,800 T y decide qué ocurre con la frecuencia de la señal. Después explica por qué el aumento relativista del periodo impide extrapolar la sincronización clásica sin modificaciones. Para continuar con campos y energía, consulta el curso de Física para Murcia, cuya ficha muestra contenido y condiciones actuales de compra.