Fuerza de Lorentz: ejercicios de campo magnético PAU

En un ejercicio de fuerza de Lorentz, calcular el módulo no termina el problema. Debes indicar la dirección, el sentido y qué componente de la velocidad interviene. Un resultado numérico correcto puede acompañar a un dibujo físicamente imposible.

Aquí tienes tres problemas originales: una carga positiva con velocidad perpendicular, un electrón que gira en sentido opuesto y una trayectoria helicoidal. Son práctica de bachillerato, no preguntas oficiales. Para organizar el resto del repaso, consulta la guía para estudiar Física. Las instrucciones particulares de tu PAU dependen de la comunidad y la convocatoria.

Separa el vector, el módulo y el modelo

La fuerza electromagnética es F = q(E + v × B). Si solo actúa el campo magnético, F = q(v × B) y su módulo es |q|vB sen θ, donde θ es el ángulo entre velocidad y campo.

La fuerza magnética es perpendicular a la velocidad: no realiza trabajo. En un campo uniforme, sin otras fuerzas, la componente paralela de la velocidad permanece constante. La perpendicular produce el giro, con radio r = mv⊥/(|q|B) en el régimen no relativista.

Para el sentido, fija unos ejes. La regla de la mano derecha se aplica al producto v × B; si q es negativa, invierte el resultado. No introduzcas una carga negativa en una fórmula de módulo para obtener un radio negativo.

Ejercicio 1: una carga positiva entra perpendicularmente

Enunciado propio. Un ion de carga q = +3,20 × 10⁻¹⁹ C y masa m = 6,64 × 10⁻²⁷ kg entra con v = 2,00 × 10⁵ m/s en dirección +x. El campo es uniforme, B = 0,400 T, en dirección +z. No hay campo eléctrico y despreciamos otras fuerzas. Calcula la fuerza inicial y el radio.

Paso 1. Dibuja los vectores. La velocidad y el campo son perpendiculares. Por tanto, sen θ = 1. El producto de vectores unitarios es i × k = −j.

Como la carga es positiva, la fuerza inicial apunta hacia −y. Si dibujas +z saliendo del papel y +x a la derecha, la fuerza apunta hacia abajo en el papel.

Paso 2. Calcula el módulo.

F = |q|vB = (3,20 × 10⁻¹⁹)(2,00 × 10⁵)(0,400).

F = 2,56 × 10⁻¹⁴ N.

Puedes expresar el vector inicial como F = −2,56 × 10⁻¹⁴ j N. Especificar «inicial» importa: la dirección de la velocidad cambia durante el giro y la fuerza cambia con ella.

Paso 3. Relaciona con el movimiento circular.

|q|vB = mv²/r, de donde r = mv/(|q|B).

r = [(6,64 × 10⁻²⁷)(2,00 × 10⁵)] / [(3,20 × 10⁻¹⁹)(0,400)].

r = 1,04 × 10⁻² m, aproximadamente 1,04 cm.

El radio no es un desplazamiento con signo. El sentido del giro queda descrito mediante el vector fuerza y el dibujo, no mediante un radio negativo.

Ejercicio 2: el electrón invierte el sentido

Enunciado propio. Un electrón entra con velocidad 3,00 × 10⁶ m/s en dirección +x en un campo B = 0,0200 T orientado hacia +z. Usa q = −1,60 × 10⁻¹⁹ C y m = 9,11 × 10⁻³¹ kg. No hay otras fuerzas. Calcula fuerza inicial, radio y periodo en el modelo no relativista.

Paso 1. Conserva el producto vectorial. Sigue siendo i × k = −j. Pero ahora multiplicas por una carga negativa: la fuerza inicial apunta a +y. No cambian los ejes porque haya cambiado la partícula.

Paso 2. Obtén el módulo de la fuerza.

F = (1,60 × 10⁻¹⁹)(3,00 × 10⁶)(0,0200) = 9,60 × 10⁻¹⁵ N.

El vector inicial es F = +9,60 × 10⁻¹⁵ j N.

Paso 3. Calcula el radio.

r = [(9,11 × 10⁻³¹)(3,00 × 10⁶)] / [(1,60 × 10⁻¹⁹)(0,0200)].

r = 8,54 × 10⁻⁴ m, es decir, 0,854 mm.

Paso 4. Calcula el periodo.

T = 2πr/v = 2πm/(|q|B).

T = 2π(9,11 × 10⁻³¹) / [(1,60 × 10⁻¹⁹)(0,0200)] = 1,79 × 10⁻⁹ s.

Al sustituir el radio, la rapidez se simplifica. Esa independencia de T respecto a v corresponde a este modelo no relativista y campo uniforme; no es una regla sin condiciones. La rapidez dada es aproximadamente un 1 % de la velocidad de la luz, coherente con la aproximación utilizada.

Ejercicio 3: velocidad oblicua y hélice

Enunciado propio. Un protón de masa 1,67 × 10⁻²⁷ kg y carga +1,60 × 10⁻¹⁹ C entra en un campo uniforme de 0,200 T con rapidez 4,00 × 10⁵ m/s. Su velocidad forma 30,0° con B. Calcula el radio, el periodo y el avance paralelo por vuelta. Desprecia otras fuerzas.

Paso 1. Descompón la velocidad respecto al campo.

v⊥ = v sen 30° = 2,00 × 10⁵ m/s.

v∥ = v cos 30° = 3,46 × 10⁵ m/s.

El seno corresponde a la componente perpendicular porque el ángulo se mide respecto a B. Si el ángulo se diera respecto al plano perpendicular, la descomposición cambiaría.

Paso 2. Utiliza v⊥ en el radio.

r = mv⊥/(|q|B) = [(1,67 × 10⁻²⁷)(2,00 × 10⁵)] / [(1,60 × 10⁻¹⁹)(0,200)].

r = 1,04 × 10⁻² m.

Usar la rapidez total daría el doble: sería una circunferencia demasiado grande para la componente que realmente gira.

Paso 3. Calcula el tiempo de una vuelta.

T = 2πm/(|q|B) = 3,28 × 10⁻⁷ s.

Paso 4. Calcula el paso de la hélice.

h = v∥T ≈ (3,4641 × 10⁵)(3,2790 × 10⁻⁷) = 0,114 m.

La partícula gira y avanza unos 11,4 cm por vuelta a lo largo del campo. Conserva cifras adicionales hasta el final para evitar que el redondeo intermedio cambie el último decimal.

Dos casos límite que detectan errores

Si v es paralela a B, sen 0° = 0: no hay fuerza magnética y la trayectoria es rectilínea en ausencia de otras fuerzas. No hay una circunferencia de radio cero.

Si v es perpendicular, la componente paralela vale cero: la hélice se reduce a una circunferencia. En ambos casos la energía cinética se mantiene si solo actúa B. Decir «la fuerza es cero porque no hace trabajo» sería incorrecto: en la circunferencia hay fuerza y el trabajo sigue siendo nulo.

Para cambiar de bloque, puedes practicar ondas y óptica o repasar los errores de Física.

Preguntas frecuentes

¿La fuerza magnética cambia la rapidez de una partícula?

La fuerza magnética por sí sola no cambia la rapidez: es perpendicular a la velocidad y no realiza trabajo. Puede cambiar la dirección del movimiento. Un campo eléctrico sí puede modificar la energía cinética.

¿Qué velocidad utilizo en el radio de una trayectoria helicoidal?

La componente perpendicular al campo: r = mv⊥/(|q|B). La componente paralela determina el avance a lo largo del campo, no ese radio.

¿Cómo cambia el sentido de la fuerza para un electrón?

Primero calcula la dirección de v × B como si la carga fuera positiva y después invierte el sentido, porque el electrón tiene carga negativa.

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Referencia conceptual: OpenStax, University Physics Volume 2: Motion of a Charged Particle in a Magnetic Field. Los enunciados, valores y desarrollos son originales de redbachiller.