Ondas y óptica en la PAU: ecuación y criterio de signos

Ondas y óptica son el bloque más corto de Física, pero es el que peor se lee: la ecuación de una onda parece un jeroglífico hasta que sabes qué buscar en ella, y el criterio de signos de espejos y lentes tiene fama de trampa porque, en realidad, lo es si no lo fijas antes de empezar. Este post desatasca dos cosas muy concretas: sacarle a la ecuación de una onda armónica la amplitud, la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad sin confundir la velocidad de propagación con la de un punto del medio, y aplicar un criterio de signos único para decidir si una imagen es real o virtual, derecha o invertida, sin mezclarlo con otro a mitad de problema.

Los cuatro posts de método de Física ya están escritos: por dónde empezar y qué peso tiene cada bloque en cómo aprobar Física en la PAU, el calendario semana a semana en el planning de Física para la PAU, los fallos que más puntos cuestan en errores típicos de Física en selectividad y el catálogo de patrones de examen en problemas típicos de Física en selectividad. Este es el post de contenido: entra al detalle de ondas y óptica que esos cuatro solo mencionan de pasada.

Qué te va a pedir el examen

• «Escribe/identifica» la amplitud, la frecuencia, el periodo, la longitud de onda y la velocidad de propagación a partir de la ecuación de una onda armónica.
• «Calcula» la velocidad (o la aceleración) de vibración de un punto del medio en un instante dado, y no la confundas con la velocidad de propagación.
• «Determina» el desfase entre dos puntos del medio o entre dos instantes.
• «Calcula» la posición, el tamaño y la naturaleza de la imagen que forma una lente delgada o un espejo, aplicando un criterio de signos.
• «Dibuja o justifica» con el diagrama de rayos si la imagen es real o virtual, derecha o invertida, mayor o menor que el objeto.

La explicación mínima suficiente

Leer la ecuación de una onda armónica

Una onda armónica que se propaga por una cuerda, un muelle o el aire se escribe así:

y(x,t) = A·sen(ω·t − k·x)

Cada símbolo es un dato, no un adorno:

• A es la amplitud (en metros): el desplazamiento máximo de un punto respecto a su posición de equilibrio.
• ω es la frecuencia angular (en rad/s): ω = 2π/T = 2π·f.
• k es el número de onda (en rad/m): k = 2π/λ.
• (ω·t − k·x) es la fase. El signo menos delante de k·x indica que la onda viaja hacia las x crecientes (hacia la derecha); si la ecuación llevara un signo más, y(x,t) = A·sen(ω·t + k·x), la onda viajaría hacia la izquierda.

Con ω y k despejas todo lo demás: f = ω/(2π), T = 1/f, λ = 2π/k, y la velocidad de propagación v = λ·f = λ/T = ω/k.

Velocidad de propagación frente a velocidad de vibración de la partícula

Aquí está el error que más se repite del bloque. La velocidad de propagación, v = ω/k, describe lo rápido que avanza el frente de onda por el medio: es constante, la misma en todos los puntos y en todo instante. La velocidad de vibración de una partícula del medio es otra magnitud, distinta, que se obtiene derivando y respecto a t manteniendo x fijo:

vy(x,t) = ∂y/∂t = A·ω·cos(ω·t − k·x)

Esa velocidad no es constante: vale cero cuando el punto está en un extremo de su oscilación (cresta o valle) y es máxima, vy,máx = A·ω, cuando el punto pasa por su posición de equilibrio. Un punto del medio no viaja con la onda: sube y baja (u oscila lateralmente) en el sitio.

Problema resuelto. La ecuación de una onda que viaja por una cuerda es y(x,t) = 0,02·sen(4π·t − 2π·x), en unidades del Sistema Internacional (x en metros, t en segundos, y en metros). Calcula la amplitud, la frecuencia, el periodo, la longitud de onda, la velocidad de propagación y la velocidad máxima de vibración de un punto de la cuerda.

Paso 1. Identifica A, ω y k comparando con y(x,t) = A·sen(ω·t − k·x). A = 0,02 m; ω = 4π rad/s; k = 2π rad/m.

Paso 2. Frecuencia y periodo. f = ω/(2π) = 4π/(2π) = 2 Hz. T = 1/f = 0,5 s.

Paso 3. Longitud de onda. λ = 2π/k = 2π/(2π) = 1 m.

Paso 4. Velocidad de propagación. v = λ·f = 1·2 = 2 m/s (comprobación: v = ω/k = 4π/2π = 2 m/s, coincide).

Paso 5. Velocidad máxima de vibración. vy,máx = A·ω = 0,02·4π ≈ 0,25 m/s.

Paso 6. Compara. La onda avanza por la cuerda a 2 m/s, siempre igual. Un punto cualquiera de la cuerda, en cambio, nunca se mueve más rápido de 0,25 m/s, y esa velocidad cambia en cada instante: es cero en los extremos y máxima al cruzar el equilibrio. Son magnitudes distintas aunque compartan unidades, y el examen las pregunta por separado justamente para comprobar que no las mezclas.

El desfase entre dos puntos

El desfase Δφ mide cuánto se retrasa o adelanta la vibración de un punto respecto a otro. Entre dos puntos separados una distancia Δx, en el mismo instante:

Δφ = k·Δx = (2π/λ)·Δx

Si Δφ = 0 (o un múltiplo de 2π), los dos puntos vibran en fase, a la vez. Si Δφ = π (media vuelta), vibran en oposición de fase: cuando uno está en la cresta, el otro está en el valle. Si Δφ = π/2, están en cuadratura, un cuarto de ciclo desfasados.

Con el mismo problema de arriba: dos puntos de la cuerda separados Δx = 0,25 m tienen un desfase Δφ = k·Δx = 2π·0,25 = π/2 rad, es decir 90°: están en cuadratura, ni en fase ni en oposición.

El criterio de signos en espejos y lentes

Este es el punto donde más se pierde el alumno, y donde un signo mal puesto convierte una imagen real en virtual sobre el papel. Hay más de un convenio en circulación; este post usa el criterio cartesiano (a veces llamado criterio DIN), que es el más habitual en los libros de 2º de bachillerato en España:

• El origen de coordenadas está en el centro óptico de la lente o en el vértice del espejo.
• La luz incidente viaja de izquierda a derecha; el objeto se coloca a la izquierda.
• Las distancias se miden desde ese origen: positivas si van en el sentido en que viaja la luz incidente (hacia la derecha), negativas si van en sentido contrario (hacia la izquierda).
• Las alturas por encima del eje óptico son positivas; por debajo, negativas.

Consecuencia directa: la distancia del objeto, s, es casi siempre negativa, porque el objeto está a la izquierda del origen.

Con este criterio, las ecuaciones no son la misma para lentes que para espejos, y confundirlas es el segundo error más caro del bloque:

• Lente delgada: 1/s’ − 1/s = 1/f’
• Espejo: 1/s’ + 1/s = 1/f, con f = R/2

La distancia focal también cambia de signo según el instrumento: en una lente convergente f’ > 0 y en una divergente f’ < 0; en un espejo cóncavo f < 0 y en uno convexo f > 0 (porque el centro de curvatura de un espejo cóncavo queda a la izquierda del vértice, en la zona negativa).

Lo más importante, y donde está la trampa: el signo de s’ significa cosas distintas en cada instrumento, porque en la lente la luz sigue de largo (se transmite) y en el espejo vuelve hacia atrás (se refleja).

	Lente	Espejo
s’ > 0	Imagen real (al otro lado de la lente)	Imagen virtual (detrás del espejo)
s’ < 0	Imagen virtual (mismo lado que el objeto)	Imagen real (delante del espejo)

El aumento lateral también cambia de fórmula: m = s’/s en una lente, m = −s’/s en un espejo. En los dos casos, m > 0 es imagen derecha, m < 0 es invertida, y |m| > 1 es mayor que el objeto, |m| < 1 es menor.

Un problema de óptica resuelto, con diagrama de rayos

Problema. Un objeto de 2 cm de altura se coloca a 30 cm de una lente delgada convergente de distancia focal f’ = 10 cm. Calcula la posición, el tamaño y la naturaleza de la imagen.

Paso 1. Datos con signo. El objeto está a la izquierda de la lente: s = −30 cm. La lente es convergente: f’ = +10 cm.

Paso 2. Aplica la ecuación de la lente. 1/s’ = 1/f’ + 1/s = 1/10 + 1/(−30) = 3/30 − 1/30 = 2/30 = 1/15. Entonces s’ = 15 cm.

Paso 3. Interpreta el signo. s’ = +15 cm, positivo: según la tabla de arriba, en una lente eso es imagen real, formada al otro lado de la lente, a 15 cm.

Paso 4. Aumento y naturaleza. m = s’/s = 15/(−30) = −0,5. Negativo: imagen invertida. |m| = 0,5 < 1: imagen menor que el objeto. Su altura: y’ = m·y = −0,5·2 = −1 cm.

Respuesta. La imagen se forma a 15 cm de la lente, al otro lado del objeto, es real, invertida y mide 1 cm (la mitad que el objeto).

El diagrama de rayos, paso a paso, para reproducirlo en papel. No hay ninguna fórmula que sustituya a comprobarlo con el dibujo, y en el examen suele pedirse aparte:

1. Dibuja el eje óptico (una línea horizontal) y la lente como una línea vertical que lo cruza en el centro óptico O.
2. Marca los dos focos, F a la izquierda y F’ a la derecha de O, cada uno a 10 cm (la distancia focal del problema).
3. Dibuja el objeto como una flecha vertical de pie sobre el eje, a 30 cm a la izquierda de la lente, con su punta hacia arriba (2 cm de alto).
4. Desde la punta del objeto traza el rayo paralelo al eje: va horizontal hasta la lente y, al atravesarla, se desvía para pasar por el foco imagen F’ (el de la derecha).
5. Desde la misma punta traza el rayo por el centro óptico: atraviesa la lente en línea recta, sin desviarse.
6. Si quieres un tercer rayo de comprobación, traza el rayo por el foco objeto F (el de la izquierda): sale de la punta del objeto, pasa por F antes de llegar a la lente y, al atravesarla, sale paralelo al eje.
7. Donde esos rayos se cruzan de nuevo al otro lado de la lente está la punta de la imagen. Baja una perpendicular al eje: esa es la posición y la altura de la imagen. Si los rayos se cruzan de verdad (líneas continuas), la imagen es real, como en este problema; si solo se cruzan sus prolongaciones hacia atrás (líneas discontinuas), la imagen es virtual.

En un espejo el método es el mismo cambiando dos rayos: el que pasaba por el centro óptico pasa ahora por el centro de curvatura C (incide perpendicular al espejo y se refleja sobre sí mismo), y los otros dos (paralelo al eje que refleja hacia el foco, y por el foco que refleja paralelo) se comportan igual que en la lente, pero reflejando hacia el mismo lado del objeto en vez de atravesando.

Para llevarte

• La ecuación y(x,t) = A·sen(ω·t − k·x) es una lista de datos: A es la amplitud, ω da la frecuencia y el periodo, k da la longitud de onda, y el signo delante de k·x da el sentido de propagación.
• La velocidad de propagación v = ω/k es constante y describe a la onda entera; la velocidad de vibración de una partícula, vy = ∂y/∂t, cambia en cada instante y su máximo es A·ω. No son la misma magnitud aunque compartan unidades.
• El desfase entre dos puntos se calcula con Δφ = k·Δx: 0 es en fase, π es en oposición, π/2 es en cuadratura.
• Fija un criterio de signos antes de empezar el problema de óptica y no lo cambies a mitad: origen en el centro óptico o el vértice, positivo en el sentido de la luz incidente.
• La ecuación de la lente lleva un menos (1/s’ − 1/s = 1/f’); la del espejo lleva un más (1/s’ + 1/s = 1/f). No son intercambiables.
• El signo de s’ no significa lo mismo en una lente que en un espejo: en la lente, positivo es real; en el espejo, negativo es real. Compruébalo siempre con el diagrama de rayos.

Errores que restan

• Confundir la velocidad de propagación con la de vibración de la partícula. v = ω/k es constante; vy = ∂y/∂t cambia con el tiempo y su máximo es A·ω. Dar A·ω como si fuera la velocidad de la onda (o al revés) es el fallo más frecuente del bloque.
• Sacar mal A, ω o k de la ecuación. Confundir T con 2π/T, u olvidar dividir ω entre 2π al calcular la frecuencia, arrastra el error a todo el problema.
• Mezclar el criterio de signos de la lente con el del espejo. Usar 1/s’ − 1/s = 1/f en un espejo (o 1/s’ + 1/s = 1/f’ en una lente) da un resultado numérico que parece correcto pero no lo es.
• Olvidar que el objeto es negativo. Con el objeto a la izquierda del origen, s es negativa casi siempre; ponerlo en positivo cambia el signo de toda la solución.
• Dar por real una imagen virtual, o al revés, por no mirar la tabla del instrumento correcto. En una lente, s’ > 0 es real; en un espejo, s’ < 0 es real. Son criterios opuestos y ahí está la trampa.

El catálogo completo de despistes de la asignatura, no solo de este bloque, está en errores típicos de Física en selectividad.

Autochequeo

1. La ecuación de una onda es y(x,t) = 0,05·sen(10π·t − 4π·x) en el SI. ¿Cuál es la velocidad de propagación? a) 0,05 m/s b) 2,5 m/s c) 10π m/s
2. Un punto de esa misma cuerda pasa por su posición de equilibrio. ¿Con qué rapidez se mueve en ese instante? a) 2,5 m/s (la de propagación) b) A·ω ≈ 1,57 m/s (la máxima de vibración) c) 0 m/s
3. Dos puntos de una cuerda están separados Δx = λ/2. ¿Cómo vibran entre sí? a) En fase b) En cuadratura c) En oposición de fase
4. Colocas un objeto delante de un espejo cóncavo, más allá del centro de curvatura. Con el criterio cartesiano (origen en el vértice, positivo en el sentido de la luz incidente), ¿qué signo tiene la distancia del objeto, s? a) Positivo b) Negativo c) Depende del tamaño del objeto
5. Resuelves 1/s’ + 1/s = 1/f para un espejo y obtienes s’ negativa. ¿Qué tipo de imagen es? a) Real b) Virtual c) No se puede saber sin el diagrama
6. En el diagrama de rayos de una lente convergente, el rayo que pasa por el centro óptico… a) se desvía hacia el foco imagen b) sigue recto, sin desviarse c) sale paralelo al eje

Soluciones y por qué. 1) b: v = ω/k = 10π/4π = 2,5 m/s; (a) confunde v con la amplitud, (c) deja el resultado a medio calcular. 2) b: al pasar por el equilibrio la rapidez transversal es máxima, A·ω; (a) es el error clásico de confundir las dos velocidades, (c) sería la rapidez en los extremos de la oscilación, no en el equilibrio. 3) c: Δφ = k·Δx = (2π/λ)·(λ/2) = π, oposición de fase. 4) b: el objeto está a la izquierda del vértice, en el sentido contrario al positivo, así que s es negativa da igual su tamaño. 5) a: en un espejo, s’ < 0 indica imagen real, delante del espejo; en una lente sería justo lo contrario. 6) b: el rayo por el centro óptico no se desvía; (a) describe el rayo paralelo al eje y (c) describe el rayo por el foco objeto.

Preguntas frecuentes

¿Qué diferencia hay entre la velocidad de propagación y la velocidad de vibración de una partícula del medio?

v = ω/k (o λ·f) es constante y describe cómo avanza el frente de onda por el medio. La velocidad de vibración de una partícula, vy = ∂y/∂t, cambia con el tiempo: vale cero en los extremos de su oscilación y es máxima, A·ω, al pasar por el equilibrio. Comparten unidades pero son magnitudes distintas, y el examen suele pedir las dos por separado para comprobar que no las confundes.

¿Qué criterio de signos usa este post para espejos y lentes?

El criterio cartesiano (también llamado DIN): origen en el centro óptico o el vértice, eje positivo en el sentido de la luz incidente y alturas positivas por encima del eje. Es el más habitual en los libros de 2º de bachillerato en España, pero comprueba siempre cuál usa tu profesor o tu comunidad, porque hay más de un convenio en circulación y mezclar dos a mitad de problema es la fuente de error más común del bloque.

¿Por qué el signo de s’ significa cosas distintas en una lente que en un espejo?

Porque la luz atraviesa la lente (sigue hacia la derecha) pero se refleja en el espejo (vuelve hacia la izquierda). Con el mismo convenio de signos, eso hace que la imagen real de una lente caiga en el lado positivo (s’ > 0) y la de un espejo en el lado negativo (s’ < 0). Por eso no conviene memorizar “positivo es real” sin más: depende del instrumento, y hay que comprobarlo con la tabla o con el diagrama de rayos.

¿Cómo sé si una onda viaja hacia la derecha o hacia la izquierda con solo mirar la ecuación?

Con y(x,t) = A·sen(ω·t − k·x), el signo menos delante de k·x indica que la onda viaja en el sentido positivo del eje x, hacia la derecha. Si la ecuación llevara un signo más, y(x,t) = A·sen(ω·t + k·x), viajaría hacia la izquierda.

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Este post completa el bloque de ondas y óptica que cómo aprobar Física en la PAU solo esbozaba; si quieres el mapa completo de los cuatro bloques y por dónde empezar, está ahí. Para llevarlo a un calendario semanal tienes el planning de Física para la PAU, y para más patrones de examen resueltos, los problemas típicos de Física en selectividad. Puedes practicar con una muestra real en la muestra de Física, y si te examinas en la Comunidad de Madrid, la preparación de Física para la PAU de Madrid sigue la estructura real de ese examen. Para ver cómo se prepara la PAU en conjunto, la página de la PAU reúne todas las asignaturas y comunidades. Y si quieres que te acompañemos hasta junio, reserva tu plaza: 12 € por asignatura, hoy no pagas nada.