Física moderna en la PAU: relatividad, fotón y núcleo

La física moderna cae al final del examen, cuando ya has gastado media hora en gravitatorio, electromagnetismo y ondas, y es precisamente el bloque más agradecido: nada de vectores, nada de geometría, sustituciones directas en tres o cuatro fórmulas si sabes cuál toca en cada caso. El problema no es que sea difícil, es que se llega justo de tiempo y con tres confusiones clásicas sin resolver: masa en reposo con masa relativista, la intensidad de la luz con la energía del fotón, y defecto de masa con energía de enlace. Aquí las desatascamos las tres, con dos problemas resueltos paso a paso.

Qué te va a pedir el examen

• «Calcule el factor de Lorentz γ» para una velocidad dada, o «razone si hace falta corrección relativista».
• «Determine la energía cinética máxima» de los electrones emitidos en un efecto fotoeléctrico, o «calcule la frecuencia umbral».
• «Calcule el defecto de masa y la energía de enlace» de un núcleo, o «determine la energía de enlace por nucleón».
• «Escriba la reacción nuclear completa» de una desintegración alfa o beta e identifique el elemento hijo.
• «Razone qué ocurre» si se dobla la intensidad de la luz incidente, o si se acerca la velocidad de una partícula a la de la luz.

Los tres primeros son cálculo con fórmula fija. Los dos últimos son concepto, y es donde se pierden más puntos porque la intuición clásica va en contra.

La explicación mínima suficiente

Relatividad especial: masa en reposo y cuándo corregir

La relatividad especial de Einstein (1905) parte de dos postulados: las leyes de la física son las mismas en cualquier sistema de referencia inercial, y la velocidad de la luz en el vacío, c = 3·10⁸ m/s, es la misma para todos los observadores, se muevan como se muevan entre ellos. De ahí sale una consecuencia que rompe la intuición clásica: el tiempo, la longitud y la masa dejan de ser absolutos.

El factor que gobierna todas las correcciones relativistas es el factor de Lorentz:

γ = 1 / √(1 − v²/c²)

Cuando v es pequeña frente a c, γ ≈ 1 y la física clásica es una aproximación válida. Cuando v se acerca a c, γ crece sin límite.

Masa en reposo (m₀) frente a masa relativista (m). m₀ es la que mide un observador respecto al cual el objeto está parado: es una propiedad del objeto, invariante, la misma para cualquier observador. La masa relativista es m = γ·m₀: crece con la velocidad, y por eso ningún objeto con masa en reposo puede llegar a alcanzar c, haría falta una energía infinita para seguir acelerándolo. De aquí sale la energía relativista total, E = γ·m₀·c² = m·c², con la energía en reposo E₀ = m₀·c² como caso particular cuando v = 0. La energía cinética relativista es la diferencia entre las dos: Ec = E − E₀ = (γ − 1)·m₀·c².

¿Cuándo hace falta corregir? La regla que usa el examen: si v < 0,1·c, la corrección relativista cambia el resultado en menos de un 0,5 % y la física clásica basta. Si v ≥ 0,1·c, la diferencia ya es significativa y toca usar las fórmulas relativistas. La tabla lo deja claro comparando la energía cinética clásica (½·m₀·v²) con la relativista, las dos como fracción de m₀·c²:

v/c	γ	Ec clásica / m₀c²	Ec relativista / m₀c²
0,1	1,0050	0,0050	0,0050
0,5	1,1547	0,1250	0,1547
0,9	2,2942	0,4050	1,2942

A 0,1·c las dos coinciden hasta el cuarto decimal: por eso ahí no hace falta corregir. A 0,5·c ya difieren un 24 %, y a 0,9·c la clásica se queda en menos de un tercio del valor real.

Efecto fotoeléctrico y dualidad onda-corpúsculo

El efecto fotoeléctrico ya lo trabajamos a fondo, con la ecuación completa y el potencial de frenado, en efecto fotoeléctrico en la PAU. El resumen que necesitas aquí: la luz llega en fotones de energía E = h·ν, cada fotón interacciona con un solo electrón, y el balance de energía es

h·ν = W₀ + Ec,máx

con W₀ el trabajo de extracción del metal (una propiedad del material) y Ec,máx la energía cinética máxima del electrón arrancado. Si h·ν < W₀, no sale ningún electrón, por mucha luz que pongas: la intensidad solo cambia el número de fotones por segundo, no la energía de cada uno.

La dualidad onda-corpúsculo es la idea que conecta el fotoeléctrico con el resto del bloque: la luz se comporta como onda (interferencia, difracción) y como partícula (el fotón). Y al revés, una partícula con masa, como un electrón, lleva asociada una onda cuya longitud calculó De Broglie:

λ = h / p = h / (m·v)

Cuanto mayor es la masa o la velocidad, menor es λ y menos se nota el comportamiento ondulatorio; por eso una pelota no difracta y un electrón sí.

Un segundo problema de efecto fotoeléctrico, resuelto rápido

Un cátodo tiene un trabajo de extracción de 2,14 eV y se ilumina con luz ultravioleta de 250 nm. Calcula la energía cinética máxima de los electrones emitidos y la longitud de onda umbral. Datos: h = 6,63·10⁻³⁴ J·s, c = 3·10⁸ m/s, 1 eV = 1,6·10⁻¹⁹ J.

Paso 1. Energía del fotón incidente. E = h·c/λ = (6,63·10⁻³⁴ · 3·10⁸) / (250·10⁻⁹) = 7,96·10⁻¹⁹ J ≈ 4,97 eV.

Paso 2. Energía cinética máxima. Ec,máx = E − W₀ = 4,97 − 2,14 = 2,83 eV (equivale a 4,53·10⁻¹⁹ J).

Paso 3. Longitud de onda umbral. De W₀ = h·c/λ₀ despejas λ₀ = h·c/W₀ = (6,63·10⁻³⁴ · 3·10⁸) / (2,14 · 1,6·10⁻¹⁹) ≈ 5,81·10⁻⁷ m = 581 nm.

Paso 4. Contrasta. 250 nm < 581 nm, así que la luz incidente tiene más frecuencia que la umbral: hay emisión garantizada, coherente con que Ec,máx haya salido positiva. El desarrollo con potencial de frenado y más pasos de comprobación está en el post dedicado al fotoeléctrico.

Física nuclear: defecto de masa y energía de enlace

El núcleo de un átomo pesa menos que la suma de sus protones y neutrones por separado. Esa diferencia es el defecto de masa:

Δm = Z·m_p + N·m_n − m_núcleo

con Z el número de protones, N el número de neutrones y m_núcleo la masa real del núcleo. Esa masa que «falta» no ha desaparecido: se ha convertido en la energía que mantiene unido el núcleo, la energía de enlace, según la equivalencia de Einstein:

ΔE = Δm·c²

En unidades de masa atómica esto se simplifica: 1 u equivale a 931,5 MeV/c² (el dato del formulario de la PAU), así que basta con multiplicar el defecto de masa en u por 931,5 para tener la energía de enlace en MeV, sin pasar por julios.

El dato que de verdad importa es la energía de enlace por nucleón (ΔE dividida entre el número másico A): cuanto mayor es, más estable es el núcleo. El hierro y los elementos cercanos son los núcleos más estables que existen, y por eso tanto la fisión de núcleos muy pesados como la fusión de núcleos muy ligeros liberan energía: en los dos casos, el producto final tiene más energía de enlace por nucleón que el de partida.

Problema resuelto: energía de enlace del helio-4

Un núcleo de helio-4 (⁴₂He, Z = 2, N = 2) tiene una masa de 4,0026 u. La masa de un protón libre es 1,0073 u y la de un neutrón libre, 1,0087 u. Calcula el defecto de masa y la energía de enlace por nucleón. Dato: 1 u = 931,5 MeV/c².

Paso 1. Masa de los nucleones por separado. 2 protones + 2 neutrones = 2·1,0073 + 2·1,0087 = 2,0146 + 2,0174 = 4,0320 u.

Paso 2. Defecto de masa. Δm = 4,0320 − 4,0026 = 0,0294 u.

Paso 3. Energía de enlace total. ΔE = 0,0294 · 931,5 = 27,39 MeV.

Paso 4. Energía de enlace por nucleón. El helio-4 tiene A = 4 nucleones: ΔE/A = 27,39 / 4 = 6,85 MeV/nucleón.

Paso 5. Contrasta. 6,85 MeV/nucleón es un valor alto para un núcleo tan ligero, coherente con que el helio-4 es excepcionalmente estable: por eso aparece entero en las desintegraciones alfa, como una unidad, en lugar de emitirse nucleón a nucleón.

Cómo leer una desintegración radiactiva

Cada tipo de desintegración cambia el número másico A y el número atómico Z de una forma fija:

• Alfa (α, un núcleo de helio ⁴₂He): A baja 4 unidades, Z baja 2. Ejemplo: ²³⁸₉₂U → ²³⁴₉₀Th + ⁴₂He.
• Beta menos (β⁻, un electrón): un neutrón se convierte en un protón, A no cambia y Z sube 1. Ejemplo: ¹⁴₆C → ¹⁴₇N + β⁻ (con su antineutrino).
• Beta más (β⁺) o captura electrónica: un protón se convierte en neutrón, A no cambia y Z baja 1.
• Gamma (γ): el núcleo libera energía sin cambiar A ni Z, pasa de un estado excitado a uno de menor energía.

En cualquier desintegración se conservan el número másico total y el número atómico total a los dos lados de la flecha: es la comprobación rápida de que la reacción está bien escrita, igual que ajustar una ecuación química.

La actividad de una muestra radiactiva decae de forma exponencial, N = N₀·e^(−λ·t), con λ la constante de desintegración y N₀ el número de núcleos inicial. El periodo de semidesintegración T, el tiempo en el que N se reduce a la mitad, se relaciona con λ por T = ln2/λ ≈ 0,693/λ.

Para llevarte

• m₀ es del objeto, invariante; m = γ·m₀ crece con la velocidad y depende de quién mida.
• Corrige por relatividad si v ≥ 0,1·c; por debajo, la física clásica es una aproximación suficiente.
• La intensidad de la luz cambia el número de fotones, no su energía: por debajo de la frecuencia umbral no hay emisión, sea cual sea la intensidad.
• El defecto de masa Δm es una masa; la energía de enlace ΔE = Δm·c² es la energía que se libera al formar el núcleo.
• La energía de enlace por nucleón mide la estabilidad de un núcleo, no la energía de enlace total.
• En cualquier desintegración, A y Z se conservan sumando a los dos lados de la flecha.

Errores que restan

• Confundir masa en reposo con masa relativista, o meter un factor γ cuando el enunciado ya te da la masa que corresponde.
• Aplicar corrección relativista donde no toca, complicando con fórmulas relativistas un problema con v pequeña, o al revés, usar física clásica con v ≥ 0,1·c.
• Creer que más intensidad arranca electrones por debajo de la frecuencia umbral. Es el error rey del fotoeléctrico: si h·ν < W₀, no hay emisión, da igual cuánta luz pongas.
• Confundir el defecto de masa con la energía de enlace. Son magnitudes distintas: una es una masa (en u o en kg), la otra una energía (en MeV o en J), relacionadas por ΔE = Δm·c².
• Equivocar la resta al calcular Δm, sobre todo olvidar la masa del neutrón o mezclar masas atómicas con masas nucleares sin descontar los electrones.
• Escribir mal una desintegración, sin bajar A en 4 y Z en 2 en una alfa, o sin subir Z en 1 en una beta menos.
• No comprobar la conservación de A y Z a los dos lados de la reacción antes de dar el elemento hijo por bueno.

El catálogo completo de despistes del examen está en errores típicos de Física en selectividad.

Autochequeo

1. Un electrón se acelera hasta v = 0,05·c. ¿Hace falta aplicar corrección relativista para calcular su energía cinética?
2. Iluminas un metal con luz por debajo de su frecuencia umbral y triplicas la intensidad. ¿Sale algún electrón?
3. Un núcleo tiene una masa menor que la suma de sus nucleones libres. ¿Esa diferencia de masa es ya la energía de enlace, o hay que multiplicarla por algo?
4. En una desintegración beta menos, ¿el número atómico Z sube, baja o se queda igual?
5. Dos núcleos, A y B, tienen la misma energía de enlace total, pero A tiene más nucleones que B. ¿Cuál es más estable?

Soluciones orientativas: 1) No, v = 0,05·c está por debajo del 0,1·c de corte, la corrección es menor del 0,5 %, vale la física clásica. 2) No, por debajo de la frecuencia umbral no hay emisión aunque subas la intensidad; solo hay emisión si h·ν ≥ W₀. 3) Hay que multiplicarla: Δm es una masa, la energía de enlace es ΔE = Δm·c² (o Δm en u por 931,5 para tenerla en MeV directamente). 4) Sube, porque un neutrón se convierte en protón y se emite un electrón. 5) B, porque con menos nucleones repartiendo la misma energía de enlace total, su energía de enlace por nucleón es mayor.

Preguntas frecuentes

¿Por qué en el efecto fotoeléctrico más intensidad no da electrones más rápidos?

Porque la intensidad es el número de fotones por segundo, no la energía de cada uno. Cada electrón absorbe un solo fotón, y la energía de ese fotón depende solo de su frecuencia, E = h·ν. Más intensidad significa más electrones arrancados, pero todos con la misma energía cinética máxima.

¿Cuándo tengo que usar las fórmulas relativistas y cuándo me vale la física clásica?

La referencia que usa el examen es v = 0,1·c. Por debajo, la diferencia entre la energía cinética clásica y la relativista es menor de un 0,5 % y la física clásica sirve. A partir de ahí, la diferencia crece rápido: a 0,5·c ya es de un 24 %, y hay que trabajar con el factor de Lorentz γ.

¿Qué diferencia hay entre defecto de masa y energía de enlace?

El defecto de masa, Δm, es la diferencia entre la masa de los nucleones separados y la masa real del núcleo: se mide en unidades de masa (u o kg). La energía de enlace es esa masa convertida en energía mediante ΔE = Δm·c² (o Δm en u por 931,5 para tenerla en MeV): se mide en MeV o en julios. Son dos magnitudes de naturaleza distinta, relacionadas pero no intercambiables.

¿Por qué la energía de enlace por nucleón importa más que la energía de enlace total?

Porque es lo que compara la estabilidad entre núcleos de tamaños distintos. Un núcleo grande puede tener una energía de enlace total enorme solo por tener muchos nucleones, sin ser especialmente estable. Dividir entre A da la energía media que cuesta arrancar un nucleón, y esa es la magnitud que explica por qué el hierro es tan estable y por qué la fisión y la fusión liberan energía.

Repaso jugable

Este bloque todavía no tiene batería propia en el arcade: las cuatro que existen ahora mismo son de historia, lengua, biología y filosofía. En cuanto haya una de física la enlazamos aquí.

Sigue por aquí

Este post cierra el bloque de física moderna, después de campo gravitatorio y eléctrico, ondas y óptica y el desarrollo completo del efecto fotoeléctrico. Si quieres reforzar cómo organizas el estudio de la asignatura, tienes cómo aprobar Física en la PAU, cómo estudiar Física para la selectividad, planning de Física para la PAU y los problemas típicos de Física en selectividad.

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