Movimiento armónico simple: energía y velocidad PAU

Un oscilador pasa dos veces por casi todas sus posiciones durante un periodo: una al ir y otra al volver. En ambas puede tener la misma rapidez y energía cinética, pero velocidades de signo contrario. Esa diferencia explica por qué una cuenta energética correcta no siempre basta para escribir la ecuación del movimiento.

Trabajaremos con un bloque unido a un muelle horizontal ideal, sin rozamiento ni fuerza impulsora. x se mide desde el equilibrio y la energía potencial elástica vale cero allí. Todos los datos son originales. No extrapolamos estas relaciones a un oscilador amortiguado sin revisar el modelo.

Las relaciones que conectan posición y energía

Para un muelle de constante k y masa m, la frecuencia angular es ω=√(k/m). En el movimiento armónico simple, la fuerza es F=−kx y la aceleración a=−ω²x.

La energía potencial es U=kx²/2 y la cinética K=mv²/2. Al conservarse la energía mecánica:

E=K+U=kA²/2,

donde A es la amplitud, una distancia positiva. En los extremos x=±A, la rapidez es cero. En el equilibrio x=0, la energía potencial elegida es cero y toda E es cinética.

Despejando se obtiene |v|=ω√(A²−x²). La raíz proporciona rapidez. Sólo después, con información del sentido de movimiento, puedes asignar un signo a v.

Ejercicio 1: energía y rapidez fuera del equilibrio

Un bloque de m=0,200 kg oscila con k=50,0 N·m⁻¹ y amplitud A=0,0800 m. Calcula E, U, K y rapidez cuando x=+0,0400 m.

Paso 1. Energía total: E=50,0·0,0800²/2=0,160 J.

Paso 2. Energía potencial: U=50,0·0,0400²/2=0,0400 J.

Paso 3. Energía cinética: K=0,160−0,0400=0,120 J.

Paso 4. Rapidez: |v|=√(2K/m)=√(0,240/0,200)=√1,20≈1,095 m·s⁻¹, que redondeamos a 1,10 m·s⁻¹.

La posición positiva no obliga a una velocidad positiva. Si el bloque se acerca al extremo derecho, v>0; si vuelve hacia el equilibrio desde ese extremo, v<0. La energía calculada es compatible con ambos pasos.

La aceleración sí tiene signo determinado por la posición: a=−(50,0/0,200)·0,0400=−10,0 m·s⁻². Siempre apunta hacia el equilibrio en este modelo.

Ejercicio 2: encontrar dónde K y U son iguales

Con el mismo bloque, busca las posiciones donde K=U. La igualdad implica E=2U, por lo que kA²/2=kx².

De aquí, x²=A²/2 y x=±A/√2. Para A=0,0800 m, las dos posiciones son aproximadamente ±0,0566 m.

En ellas K=U=0,0800 J. La rapidez es √(2·0,0800/0,200)=√0,800≈0,894 m·s⁻¹.

No hay una única posición positiva por el hecho de haber usado una amplitud positiva. La energía potencial depende de x²: tiene el mismo valor a la derecha y a la izquierda del equilibrio.

Como comprobación adicional, x=A/2 no reparte la energía a medias. Allí U/E=x²/A²=1/4 y K/E=3/4, precisamente lo ocurrido en el primer ejercicio.

Ejercicio 3: amplitud a partir de condiciones iniciales

Ahora se sabe que, en t=0, el mismo sistema está en x₀=+0,0300 m y tiene v₀=−0,400 m·s⁻¹. No utilices la amplitud anterior: estas condiciones describen otra oscilación.

La energía inicial es E=mv₀²/2+kx₀²/2.

La parte cinética vale 0,200·0,400²/2=0,0160 J. La potencial vale 50,0·0,0300²/2=0,0225 J. La suma es 0,0385 J.

Entonces A=√(2E/k)=√(0,0770/50,0)=√0,001540≈0,03924 m.

El bloque comienza entre el equilibrio y el extremo derecho, moviéndose hacia la izquierda. Su amplitud es mayor que |x₀| porque no empieza en reposo. Asignar A=0,0300 m ignoraría la energía cinética inicial.

La rapidez máxima será √(2E/m)=√0,385≈0,620 m·s⁻¹. El periodo no cambia: depende de m y k, no de esta amplitud en el modelo lineal.

Cuándo hace falta calcular la fase

Si se solicita x(t), no basta con E. Puede usarse x=Acos(ωt+φ) y v=−Aωsin(ωt+φ). Aquí ω=√250≈15,81 rad·s⁻¹.

Para el tercer ejercicio, cosφ=x₀/A es positivo y sinφ=−v₀/(Aω) también es positivo. Por tanto, φ pertenece al primer cuadrante, aproximadamente 0,701 rad. Elegir la fase únicamente con arccos sin revisar v₀ puede producir el sentido inicial contrario.

El periodo es T=2π/ω≈0,397 s. Comprueba las condiciones en t=0 antes de aceptar una ecuación temporal.

Tres controles físicos antes de cerrar

La posición debe satisfacer |x|≤A. Si A²−x² sale negativo, los datos o la cuenta son incompatibles con la oscilación propuesta.

La energía cinética no puede ser negativa. Además, en un sistema ideal sin rozamiento E debe permanecer constante, aunque U y K cambien.

Finalmente, no confundas equilibrio con reposo permanente. El bloque atraviesa x=0 con rapidez máxima si está oscilando. Que la fuerza sea cero en ese instante no elimina la velocidad que ya tiene.

Para conectar esta práctica con el bloque general, consulta el artículo relacionado de Física. Puedes repasar relaciones y conceptos con el recurso gratuito de Física; su descarga no acredita que se permita llevarlo al examen.

Referencia conceptual: OpenStax, apartado consultado. Los enunciados, cifras y desarrollos de esta página son originales; no son ejercicios oficiales ni implican frecuencia de aparición en una convocatoria.

Preguntas frecuentes

¿La energía determina el signo de la velocidad?

No. La energía cinética depende de v². Para elegir el signo necesitas saber hacia dónde se mueve el cuerpo en ese instante.

¿En el equilibrio la aceleración es máxima?

No. En el MAS ideal a=−ω²x, por lo que en x=0 la aceleración es cero y la rapidez alcanza su máximo.

¿Duplicar la amplitud duplica la energía?

No. Con la misma constante elástica, E=kA²/2: duplicar la amplitud cuadruplica la energía.

Reconstruye el movimiento desde su energía

Elige una posición a cada lado del equilibrio y justifica qué magnitudes cambian de signo. Repite después el cálculo de amplitud con una velocidad inicial distinta, manteniendo masa y constante elástica.

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