Regla de trapecios: integración numérica y cota de error

Dos aproximaciones numéricas pueden coincidir y seguir estando equivocadas. Repetir una suma con más puntos aporta información, pero no demuestra por sí solo que el error sea pequeño. Para convertir una estimación en una garantía necesitas condiciones sobre la función y una cota justificada.

Esta práctica original utiliza trapecios para aproximar integrales. Es una ampliación del cálculo integral: no sustituye las instrucciones de tu convocatoria ni afirma que todos los exámenes pidan integración numérica. Resolverás una función conocida, una tolerancia y un caso que muestra por qué comparar resultados no basta.

Construye la suma sin perder los extremos

Dividimos [a,b] en n tramos iguales de anchura h = (b − a)/n. La regla compuesta de trapecios suma, en cada tramo, h multiplicado por la media de los valores extremos.

Al agrupar los términos, los extremos globales cuentan una vez y los puntos interiores dos:

Tn = h/2 · [f(a) + 2f(a+h) + … + 2f(b−h) + f(b)].

La referencia académica sobre integración numérica presenta esta regla y una cota de error cuando la segunda derivada está acotada. Los ejemplos siguientes y sus datos son propios.

Si f cambia de signo, Tn aproxima la integral con signo, no necesariamente un área geométrica. Tampoco puedes aplicar la fórmula de anchura única a una tabla con separaciones diferentes sin adaptarla: en ese caso cada trapecio debe usar su propia anchura.

Ejercicio 1: dos aproximaciones que podemos comprobar

Aproxima la integral de f(x) = 2 + x² entre 0 y 2 mediante n = 2 y n = 4. Después compárala con el valor exacto.

Para n = 2, h = 1. Los puntos son 0, 1 y 2; los valores de la función son 2, 3 y 6. Por tanto:

T2 = (1/2)(2 + 2·3 + 6) = 7.

Para n = 4, h = 0,5. Los valores en 0; 0,5; 1; 1,5 y 2 son 2; 2,25; 3; 4,25 y 6. La suma queda:

T4 = (0,5/2)(2 + 2·2,25 + 2·3 + 2·4,25 + 6) = 6,75.

El valor exacto, obtenido con la primitiva 2x + x³/3, es 20/3, aproximadamente 6,666667. Los errores absolutos son 1/3 para T2 y 1/12 para T4.

Ambas estimaciones sobrestiman. En este caso f″(x) = 2 es positiva: los segmentos que unen puntos de la curva quedan por encima de ella. Esa información sobre curvatura justifica el sentido del error.

Duplicar n ha dividido el error por cuatro en este ejemplo. La observación es coherente con una dependencia de orden 1/n², pero no convierte cualquier comparación de dos tablas en una prueba general.

Ejercicio 2: elegir n para una tolerancia garantizada

Para la misma función e intervalo, se pide que el error absoluto no supere 0,005. Usa una cota, en lugar de probar valores hasta que dos sumas parezcan próximas.

Si f tiene segunda derivada continua y |f″(x)| ≤ M en [a,b], la cota para trapecios es:

|integral − Tn| ≤ M(b − a)³/(12n²).

Aquí podemos elegir M = 2 y b − a = 2. La expresión se reduce a 4/(3n²). Exigimos 4/(3n²) ≤ 0,005.

Al despejar resulta n² ≥ 266,6667, de modo que n debe ser al menos 17. No redondees 16,33 al entero más cercano si ese entero incumple la desigualdad: necesitas un número entero que quede por encima.

Para n = 16, la cota es aproximadamente 0,0052083, mayor que la tolerancia. Para n = 17, es aproximadamente 0,0046136, ya admisible.

En esta función cuadrática la cota coincide con el error real, pero no necesitas esa coincidencia para utilizarla como garantía. En otras funciones la cota puede ser conservadora y mayor que el error efectivo.

La cifra M debe limitar la segunda derivada en todo el intervalo. Evaluarla en un punto cómodo no basta si no has demostrado que allí se alcanza el máximo o que el valor elegido domina todos los demás.

Ejercicio 3: dos resultados iguales que no garantizan exactitud

Considera en [0,2] la función:

g(x) = x²(x−0,5)²(x−1)²(x−1,5)²(x−2)².

Los nodos de la regla con n = 2 son 0, 1 y 2. En todos ellos g vale cero, así que T2 = 0. Los nodos de n = 4 añaden 0,5 y 1,5, donde también vale cero. Por tanto, T4 = 0.

¿Permite la igualdad T2 = T4 concluir que la integral es cero? No. La función es un polinomio no negativo y es positiva, por ejemplo, alrededor de x = 0,25. Su integral en el intervalo es estrictamente positiva.

No necesitamos desarrollar el polinomio completo para demostrar ese hecho. La continuidad y la positividad en un pequeño intervalo bastan para establecer que existe una contribución positiva que los nodos elegidos no detectan.

El contraejemplo no invalida la convergencia de trapecios para funciones continuas al refinar indefinidamente la partición. Muestra algo más concreto: dos aproximaciones finitas coincidentes no son una garantía universal de error cero.

Una tabla de caudal: conserva las unidades

Un modelo da un caudal en litros por minuto de 2, 5, 4 y 3 en los minutos 0, 1, 2 y 3. Una estimación trapezoidal del volumen transferido es (1/2)(2 + 2·5 + 2·4 + 3) = 11,5 L.

La unidad de caudal se multiplica por minutos y deja litros. No son 11,5 litros por minuto: has estimado una cantidad acumulada, no un nuevo caudal.

Con solo esa tabla no conocemos necesariamente una cota para la segunda derivada del caudal entre muestras. El cálculo proporciona una estimación bajo la interpolación lineal usada; una garantía de precisión necesita información adicional.

Comprueba qué demuestra cada resultado

Relaciona la estimación con la guía de integrales y áreas. Aquí la tarea específica es aproximar sin primitiva y justificar una precisión, no elegir un método de integración simbólica.

En la libreta de errores separa una suma mal ponderada de una garantía no demostrada. Ambas pueden producir una respuesta numérica aparentemente convincente, pero se corrigen con comprobaciones diferentes.

Preguntas frecuentes

¿Dos aproximaciones de trapecios iguales demuestran que la integral es exacta?

No. Pueden coincidir sin detectar valores de la función entre nodos. Una garantía de error requiere hipótesis y un argumento adicional.

¿La constante de la cota puede obtenerse mirando un solo punto?

Solo si justificas que ese valor limita la segunda derivada en todo el intervalo. Una evaluación aislada no proporciona esa garantía por sí sola.

¿La regla de trapecios calcula siempre un área geométrica?

No. Aproxima la integral con signo. Si la función toma valores negativos, el resultado no equivale sin más al área geométrica total.

Refina la partición y justifica la tolerancia

Repite el primer ejercicio con ocho tramos y compara su error con la cota. Después explica con el polinomio g por qué «ha salido lo mismo dos veces» no basta. Para continuar, consulta el curso de Matemáticas II de Galicia, cuya ficha muestra contenido, precio y condiciones actuales de compra.