Regla de Simpson: pesos, exactitud y cota de error

No todas las reglas de integración numérica dan el mismo peso a los puntos interiores. En Simpson, los coeficientes alternan porque cada pareja de tramos se aproxima mediante una parábola. Usar los pesos de trapecios produce otra regla, aunque los nodos sean los mismos.

Esta práctica original trabaja exactitud, ponderación y una cota de error con la cuarta derivada. Es una ampliación del cálculo integral, no una afirmación sobre el contenido de todas las convocatorias. Resolveremos ejemplos propios que permiten comparar la aproximación con una integral conocida.

Organiza parejas de tramos iguales

Dividimos [a,b] en n subintervalos de anchura h = (b − a)/n. En la regla compuesta de Simpson que usamos aquí, n debe ser positivo y par.

Los pesos de los valores f(x₀), …, f(xₙ) son 1 en los dos extremos, 4 en los índices interiores impares y 2 en los interiores pares. La suma ponderada se multiplica por h/3.

Así, para n = 4:

S₄ = (h/3)[f(x₀) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + 4f(x₃) + f(x₄)].

La referencia de OpenStax sobre integración numérica presenta la fórmula y su cota con derivada cuarta. Los datos y desarrollos siguientes son originales.

No importa que haya cinco valores en la tabla: corresponden a cuatro tramos. Contar nodos como si fueran intervalos cambia h y rompe el cálculo antes de empezar.

Primer ejercicio: una cúbica calculada exactamente

Aproxima la integral de f(x) = 3x³ − 2x + 5 entre 0 y 2 con dos tramos. Comprueba después el resultado mediante una primitiva.

Aquí h = 1 y los nodos son 0, 1 y 2. Los valores son f(0) = 5, f(1) = 6 y f(2) = 25. Por tanto:

S₂ = (1/3)(5 + 4·6 + 25) = 18.

Una primitiva es 3x⁴/4 − x² + 5x. Entre cero y dos proporciona 12 − 4 + 10 = 18.

La coincidencia no es un efecto del redondeo. La regla es exacta para polinomios de grado como máximo tres bajo estas condiciones. Su cuarta derivada es cero, por lo que la cota de error que estudiaremos también se anula.

Aunque la construcción utilice parábolas por parejas, alcanza exactitud cúbica. No concluyas de ello que todas las funciones se integran exactamente ni que basta mirar si una gráfica «parece suave».

Segundo ejercicio: una cuarta potencia detecta el error

Calcula la integral de g(x) = x⁴ entre 0 y 2 usando dos y cuatro tramos. El valor exacto es 2⁵/5 = 32/5 = 6,4.

Con n = 2, h = 1 y valores 0, 1 y 16, obtenemos S₂ = (1/3)(0 + 4·1 + 16) = 20/3, aproximadamente 6,666667. El error absoluto es 4/15, aproximadamente 0,266667.

Con n = 4, h = 0,5. Los valores en los cinco nodos son 0; 0,0625; 1; 5,0625 y 16.

La suma ponderada es 0 + 4·0,0625 + 2·1 + 4·5,0625 + 16 = 38,5. Multiplicando por 0,5/3 obtenemos 77/12, aproximadamente 6,416667.

El error absoluto es 1/60, aproximadamente 0,016667. En este caso, duplicar el número de tramos divide el error por dieciséis.

Conserva los valores exactos o suficientes cifras durante la suma. Si redondeas 0,0625 a 0,1 antes de aplicarle su peso cuatro, introduces un error adicional que no procede de la regla matemática.

Tercer ejercicio: garantiza una tolerancia

Para g(x) = x⁴ en [0,2], queremos un error absoluto no superior a 0,001. Usa la cota de Simpson en vez de detenerte cuando dos resultados parezcan próximos.

Si f tiene cuarta derivada continua y |f⁽⁴⁾(x)| ≤ M en todo [a,b], la cota es:

|integral − Sₙ| ≤ M(b − a)⁵/(180n⁴).

Aquí g⁽⁴⁾ = 24 y b − a = 2. La cota se simplifica a 64/(15n⁴).

Exigimos 64/(15n⁴) ≤ 0,001, es decir, n⁴ ≥ 4266,6667. El límite real está entre ocho y nueve, pero n debe ser par. El primer valor admisible es n = 10.

Con n = 8, la cota vale 0,00104167, todavía mayor que la tolerancia. Con n = 10 vale 0,000426667, que sí la cumple.

No elijas n = 9 aunque satisfaga numéricamente la desigualdad: no pertenece a los valores permitidos por esta regla compuesta. Tampoco confundas una cota suficiente con un error medido; en otras funciones puede ser conservadora.

Cuarto ejercicio: una tabla no proporciona todas las garantías

Un modelo de caudal en litros por minuto da estos valores en los tiempos 0; 0,5; 1; 1,5 y 2 minutos: 2; 3; 5; 4 y 6.

Hay cuatro tramos iguales, así que la estimación de volumen mediante Simpson es:

V ≈ (0,5/3)(2 + 4·3 + 2·5 + 4·4 + 6) = 23/3 L, aproximadamente 7,667 L.

La unidad resulta de multiplicar litros por minuto por minutos. No son litros por minuto: hemos aproximado una cantidad acumulada.

¿Podemos garantizar el error con la fórmula anterior solo a partir de estos cinco datos? No. Necesitamos información adicional que acote la cuarta derivada del caudal entre nodos.

Una tabla compatible con una interpolación suave no demuestra que la función real sea exactamente esa interpolación. Podrían existir variaciones entre muestras que no se observan en los puntos disponibles.

Elige una regla compatible con los datos

Si los tiempos no están igualmente espaciados, no puedes aplicar sin cambios los pesos 1,4,2,4,1 con una única h. Debes adaptar el método o usar otro procedimiento adecuado a esa tabla.

Si el número de tramos es impar, tampoco corresponde directamente a esta versión de Simpson. No cambies la fórmula eliminando un dato sin explicar qué intervalo dejas sin integrar.

La práctica de trapecios trabaja interpolación lineal y una cota con segunda derivada. Aquí los pesos alternos, la exactitud cúbica y la cuarta derivada son el núcleo del ejercicio. No son fórmulas intercambiables.

En la libreta de errores conserva cuatro comprobaciones: tramos pares, separación uniforme, pesos correctos y fundamento de la cota. Una respuesta decimal larga no sustituye ninguna de ellas.

Preguntas frecuentes

¿Cuántos tramos exige esta regla compuesta de Simpson?

Un número positivo y par de tramos iguales; el número de nodos es uno más que el de tramos.

¿Simpson es exacto para cualquier función suave?

No. Es exacto para polinomios de grado como máximo tres; para otras funciones puede existir error.

¿Cinco datos de caudal bastan para garantizar el error?

No por sí solos. Permiten calcular una estimación, pero una cota de error requiere información adicional sobre la función entre nodos.

Justifica la precisión después de ponderar los nodos

Aplica Simpson al primer ejercicio con cuatro tramos y explica por qué sigue dando 18. Después cambia x⁴ por una función cuya cuarta derivada no sea constante y plantea cómo obtendrías una cota válida en todo el intervalo. Para continuar con análisis, consulta el curso de Matemáticas II para Navarra, cuya ficha muestra contenidos y condiciones de compra.