Cuerpo negro: Wien y Stefan–Boltzmann con ejercicios

La radiación térmica plantea dos preguntas distintas: dónde está el máximo de un espectro y cuánta energía se emite en total por segundo. Una longitud de onda no responde a la segunda pregunta, y una potencia no identifica por sí sola el máximo. Separarlas permite entender dos leyes sin convertirlas en fórmulas intercambiables.

Esta es una práctica de ampliación de Física con tres ejercicios originales. No afirma que estas leyes formen parte de todas las PAU. Utilizamos cuerpos negros ideales, temperaturas uniformes y superficies expresamente dadas. Si tu programa no incluye radiación térmica, puedes usarla para entrenar proporciones, potencias y balances, sin atribuirla a un examen oficial.

Qué significa cada magnitud antes de sustituir

Un cuerpo negro ideal absorbe la radiación incidente y tiene una emisión térmica característica. La distribución del ejercicio está expresada por unidad de longitud de onda. Su máximo cumple la ley de Wien:

λmáx T = b, con b = 2,898 × 10⁻³ m K.

La potencia total emitida por una superficie A cumple:

P = σAT⁴, con σ = 5,670 × 10⁻⁸ W m⁻² K⁻⁴.

La temperatura T debe estar en kelvin en ambas expresiones. λmáx señala un punto de la distribución, mientras que P suma la contribución de todo el espectro. No debemos interpretar el cuerpo como si emitiera únicamente fotones de λmáx.

Además, el máximo depende de cómo se represente la distribución. Aquí usamos longitud de onda; transformar simplemente λmáx en c/λmáx no proporciona el máximo de una distribución definida por unidad de frecuencia.

Ejercicio 1: localizar el máximo y comparar temperaturas

Dos emisores ideales A y B tienen temperaturas de 3000 K y 6000 K. Calcula el máximo por longitud de onda y decide si duplicar la temperatura duplica esa longitud.

Para A:

λmáx,A = 2,898 × 10⁻³ / 3000 = 9,66 × 10⁻⁷ m = 966 nm.

Para B:

λmáx,B = 2,898 × 10⁻³ / 6000 = 4,83 × 10⁻⁷ m = 483 nm.

La longitud del máximo se reduce a la mitad. Es una relación inversa, no directa. El emisor más caliente tiene su máximo desplazado hacia longitudes menores.

El primer resultado está en el infrarrojo cercano y el segundo en el intervalo visible. Esto no significa que A carezca de emisión visible ni que B emita solo a 483 nm. Estamos localizando máximos de distribuciones continuas, no asignando una única línea a cada cuerpo.

La comprobación más corta consiste en multiplicar cada resultado por su temperatura. Ambos productos deben recuperar b con las mismas unidades.

Ejercicio 2: una subida de temperatura no aumenta linealmente la potencia

Una superficie emisora negra de 0,0040 m² pasa de 1000 K a 1500 K. Calcula las potencias emitidas y su razón.

En el primer estado:

P₁ = 5,670 × 10⁻⁸ × 0,0040 × 1000⁴ = 226,8 W.

En el segundo:

P₂ = 5,670 × 10⁻⁸ × 0,0040 × 1500⁴ = 1148,175 W.

Podemos comunicar el segundo resultado como aproximadamente 1,15 kW. Conservamos más cifras durante la cuenta para comprobar la razón:

P₂/P₁ = (1500/1000)⁴ = 1,5⁴ = 5,0625.

La temperatura ha aumentado un 50 %, pero la potencia se ha multiplicado por aproximadamente 5,06. Un incremento relativo en la base de una potencia no se transmite con el mismo porcentaje al resultado.

Si utilizaras 727 °C y 1227 °C directamente, no obtendrías esta razón. Los valores Celsius tienen un origen distinto; las leyes requieren temperatura absoluta. Tampoco debes confundir 0,0040 m² con una longitud de 0,0040 m: la superficie entra como área.

Ejercicio 3: cambiar el radio y considerar el entorno

Dos esferas ideales tienen radios R₁ = 0,010 m y R₂ = 0,020 m, y temperaturas T₁ = 1200 K y T₂ = 600 K. Calcula la razón entre sus potencias totales emitidas.

La superficie completa de una esfera es 4πR², no πR². Al formar la razón se cancelan 4π y σ:

P₁/P₂ = (R₁/R₂)² × (T₁/T₂)⁴.

El primer factor es (1/2)² = 1/4; el segundo es 2⁴ = 16. Por tanto, P₁/P₂ = 4.

La esfera pequeña emite cuatro veces la potencia de la grande bajo estos datos. Mirar solo el área habría llevado a la conclusión contraria: el efecto térmico supera al geométrico.

Ahora considera únicamente la segunda esfera en un recinto grande negro a 300 K, con intercambio radiativo ideal entre ella y el entorno. La potencia neta que pierde por radiación es:

Pneta = σA(T₂⁴ − Tentorno⁴).

Dividiendo por su emisión total:

Pneta/Pemitida = 1 − (300/600)⁴ = 15/16 = 0,9375.

La pérdida radiativa neta representa el 93,75 % de su potencia emitida. La diferencia corresponde a la radiación absorbida del entorno. No hemos incluido conducción, convección ni otras aportaciones de energía: si existieran, el balance completo necesitaría incorporarlas.

Tres comprobaciones para no mezclar los resultados

La ley de Wien debe producir metros cuando b está en m K y T en K. La relación de Stefan–Boltzmann debe producir vatios con la superficie en m². Estas unidades permiten detectar que se ha sustituido un radio donde se pedía un área.

En un cociente entre emisores, escribe primero los factores geométrico y térmico. Simplificar antes de usar la calculadora aclara qué cambio domina y reduce errores de exponentes.

En un balance, distingue emisión y pérdida neta. A igual temperatura que un entorno negro en equilibrio radiativo, la diferencia de cuartas potencias es cero, aunque el cuerpo siga emitiendo y absorbiendo. Una pérdida neta nula no equivale a ausencia de radiación.

Puedes relacionar esta ampliación con la guía de Física moderna y anotar los cambios de unidad en la libreta de errores.

La referencia conceptual consultada es OpenStax: radiación de cuerpo negro. Los casos, cifras, comprobaciones y desarrollos de esta práctica son originales.

Preguntas frecuentes

¿La ley de Wien da toda la radiación emitida?

No. Localiza el máximo de la distribución expresada por unidad de longitud de onda. El cuerpo emite también en otras longitudes; la potencia total se calcula mediante otra relación.

¿Puedo introducir grados Celsius en la cuarta potencia?

No. Las leyes de Wien y Stefan–Boltzmann utilizan temperatura absoluta en kelvin. Elevar una temperatura Celsius a la cuarta potencia cambia el resultado físico.

¿La potencia emitida equivale siempre a la pérdida neta de energía?

No. Un cuerpo también puede absorber radiación de su entorno. Para obtener el intercambio neto hay que considerar ambas contribuciones bajo las condiciones del modelo.

Decide si buscas un máximo, una emisión o un balance

Clasifica cada apartado antes de calcular: posición del máximo, potencia total o intercambio neto. Después identifica temperatura, superficie y entorno. Para continuar con Física, consulta la ficha del curso de Cataluña, donde figuran contenido, precio y condiciones actuales. Contrasta siempre el programa de tu comunidad: esta ampliación no acredita una exigencia oficial común a todas las convocatorias.