Pulsaciones: frecuencia de batido y envolvente resueltas

Dos sonidos próximos en frecuencia pueden producir una variación lenta de intensidad aunque cada fuente mantenga su propia frecuencia. El sonido parece crecer y disminuir: son pulsaciones o batidos. La operación final es corta, pero entender qué se cuenta evita confundir la diferencia de frecuencias con su mitad o con su media.

Los ejercicios siguientes son originales. Trabajamos en un punto fijo con dos ondas sinusoidales de frecuencias cercanas y amplitudes iguales, salvo cuando se indique otra cosa. El modelo describe superposición lineal; no es una recomendación para exponerse a sonidos intensos ni una afirmación sobre la frecuencia de este contenido en todos los exámenes.

De dos oscilaciones a una envolvente

En el punto de observación tomamos y₁ = A cos(2πf₁t) e y₂ = A cos(2πf₂t), con fases iniciales iguales. La identidad de suma de cosenos da:

y = 2A cos[π(f₂ − f₁)t] cos[2π((f₁ + f₂)/2)t].

El segundo factor oscila rápidamente a la frecuencia media. El primero cambia lentamente cuando las frecuencias son próximas. Su signo puede ser positivo o negativo, pero el tamaño de la oscilación rápida viene dado por la envolvente 2A|cos[π(f₂ − f₁)t]|.

Por eso, la frecuencia de batido es f_b = |f₂ − f₁|. El coseno lento sin valor absoluto tiene frecuencia |f₂ − f₁|/2; no hay contradicción, porque un máximo positivo y un mínimo negativo de ese factor representan ambos una amplitud máxima de la oscilación resultante.

En el modelo ideal, la intensidad media local sobre los ciclos rápidos es proporcional al cuadrado de esa amplitud. Para amplitudes iguales puede bajar hasta cero en los mínimos y alcanzar cuatro veces la intensidad de una sola onda en los máximos. No se debe decir que «doblar la amplitud duplica la intensidad».

Ejercicio 1: contar pulsaciones con una ecuación

En un punto llegan dos ondas con A = 0,20 mm, f₁ = 298 Hz y f₂ = 302 Hz. Las fases iniciales coinciden. Calcula la frecuencia rápida, la frecuencia de batido y los instantes de los dos primeros mínimos posteriores a t = 0.

Paso 1. Media. La frecuencia rápida es (298 + 302)/2 = 300 Hz.

Paso 2. Diferencia. La frecuencia de batido es |302 − 298| = 4 Hz. Hay cuatro intervalos completos entre máximos consecutivos por segundo.

Paso 3. Envolvente. El desplazamiento queda y = 0,40 mm·cos(4πt)·cos(600πt). Su amplitud variable es 0,40 mm·|cos(4πt)|.

Paso 4. Mínimos. La envolvente se anula cuando 4πt = π/2 + nπ. Por tanto, t = 0,125 + 0,250n segundos. Los dos primeros mínimos son 0,125 s y 0,375 s.

Paso 5. Máximos. Aparecen en t = 0; 0,250; 0,500 s, y así sucesivamente. La separación es 0,250 s, cuyo inverso es 4 Hz.

El factor cos(4πt) tarda 0,500 s en repetir su signo y valor, pero su valor absoluto repite el tamaño máximo cada 0,250 s. Esa diferencia es precisamente la que causa el error de responder 2 Hz.

Ejercicio 2: una frecuencia desconocida y dos posibilidades

Una referencia de 440 Hz produce cinco pulsaciones por segundo al sonar junto con una fuente desconocida. Después se sabe que la frecuencia de esta última está por encima de la referencia. Halla su frecuencia.

Paso 1. Escribir la información inicial. |f − 440| = 5.

Paso 2. Resolver las dos ramas. f − 440 = +5 o f − 440 = −5. Las posibilidades son 445 Hz y 435 Hz.

Paso 3. Aplicar el dato adicional. Al estar por encima de 440 Hz, elegimos 445 Hz.

Paso 4. Comprobar. |445 − 440| = 5 Hz y la separación entre máximos de la envolvente es 1/5 = 0,200 s.

Sin el dato «por encima» no se podría escoger una solución única. La información de las pulsaciones mide una distancia entre frecuencias, no el sentido de esa diferencia. Tampoco la media, 442,5 Hz en la solución elegida, es la frecuencia del batido.

Como prueba inversa, si la frecuencia desconocida se redujera desde 445 a 442 Hz mientras la referencia permanece fija, las pulsaciones bajarían de cinco a dos por segundo. Si continuara disminuyendo por debajo de 440 Hz, volverían a aumentar. Una tendencia local no debe extrapolarse atravesando la igualdad sin revisar el valor absoluto.

Ejercicio 3: medir un intervalo sin contar mal los extremos

Una grabación muestra un máximo de la envolvente a 1,20 s y el sexto máximo contando ese primero a 2,45 s. La referencia es 250 Hz y la otra fuente tiene frecuencia menor. Determina la frecuencia desconocida.

Paso 1. Contar intervalos. Entre el primer máximo y el sexto hay cinco intervalos, no seis.

Paso 2. Tiempo total. 2,45 − 1,20 = 1,25 s.

Paso 3. Periodo de batido. T_b = 1,25/5 = 0,250 s.

Paso 4. Frecuencia de batido. f_b = 1/0,250 = 4 Hz.

Paso 5. Elegir la rama. Como f < 250, la frecuencia desconocida es 250 − 4 = 246 Hz.

Si se dividiera el tiempo por seis, se obtendrían 4,8 Hz y una respuesta equivocada de 245,2 Hz. El problema no estaría en la física, sino en contar puntos como si fueran intervalos. Dibuja seis marcas antes de calcular para comprobarlo.

Qué cambia si las amplitudes no son iguales

La diferencia de frecuencias sigue marcando la repetición de la interferencia temporal, pero el mínimo no tiene por qué ser cero. Si las amplitudes son A₁ y A₂, la amplitud máxima es A₁ + A₂ y la mínima es |A₁ − A₂|.

Por ejemplo, para 0,30 mm y 0,10 mm, los extremos de la envolvente son 0,40 mm y 0,20 mm. En el mismo medio y dentro del modelo lineal, el cociente entre las intensidades extremas sería (0,40/0,20)² = 4. No habría silencio perfecto en los mínimos.

No confundas este cociente con una suma de niveles en decibelios de fuentes incoherentes. Aquí seguimos la interferencia temporal de dos componentes próximas y su fase relativa cambia. La descripción del promedio depende del intervalo temporal de medida. Para resolver los ejercicios, declara primero qué magnitud representa la gráfica: desplazamiento instantáneo, envolvente o intensidad promediada sobre los ciclos rápidos.

Referencia conceptual: fuente académica consultada. Los enunciados, datos y soluciones son originales.

Relaciona esta práctica con el tema de base. La libreta de errores sirve para organizar las correcciones de tus intentos; no es una colección de estos ejercicios.

Preguntas frecuentes

¿La frecuencia de batido es la media de las dos frecuencias?

No. Es el valor absoluto de su diferencia; la media aparece en el factor de oscilación rápida.

¿Por qué la envolvente tiene un coseno con la mitad de la diferencia?

Porque su signo alterna, pero la amplitud observable usa el valor absoluto y sus máximos se repiten dos veces por ciclo de ese coseno.

¿Oír cuatro pulsaciones por segundo identifica una única frecuencia desconocida?

No. Respecto a una referencia, la desconocida puede estar cuatro hercios por encima o por debajo; hace falta información adicional.

Escuchar la diferencia y justificarla con la envolvente

Practica contando intervalos entre máximos y explicando por qué aparece el valor absoluto. Para conectar superposición, ondas y los demás bloques, consulta la preparación de Física de Murcia y las condiciones actuales del curso. Consulta la ficha del curso, disponible para comprar; allí se indican contenidos y condiciones actuales.