Proxección vectorial e compoñente escalar: exercicios

Unha proxección vectorial ten dirección e sentido

O produto escalar permite medir a compoñente dun vector na dirección doutro. O resultado pode expresarse como unha compoñente escalar ou como un vector proxectado. Confundir ambos os obxectos produce respostas cun número correcto e unha interpretación incompleta.

Traballaremos con vectores orixinais do plano euclidiano, empregando unha base ortonormal. A referencia académica é o capítulo de OpenStax sobre o produto escalar. Non atribuiremos o problema a unha convocatoria oficial.

Todos os vectores do exercicio son adimensionais. Se representasen forzas ou desprazamentos, sería necesario conservar as unidades correspondentes e interpretar a proxección no contexto físico.

Datos orixinais e fórmulas

Sexan u = (4, 1) e v = (1, 2). Queremos proxectar u sobre a recta que ten a dirección de v. Como v non é nulo, podemos empregar a fórmula:

proxección de u sobre v = [(u·v)/(v·v)]v.

O coeficiente que multiplica v non é, en xeral, a compoñente escalar de u na dirección unitaria de v. Esa compoñente é (u·v)/|v|. A diferenza entre ambos os denominadores importa.

A fórmula vectorial produce un vector paralelo a v. O resto r = u − proxección debe ser perpendicular a v. Esta segunda condición proporciona unha comprobación independente do cálculo.

Primeiro exercicio: calcular a proxección

O produto escalar u·v é 4 × 1 + 1 × 2 = 6. O produto v·v é 1² + 2² = 5. Por tanto, o coeficiente é 6/5.

Multiplicamos cada coordenada de v: proxección = (6/5, 12/5). Non debemos responder só 6/5 se a pregunta pide o vector proxectado.

A compoñente escalar na dirección unitaria de v é 6/√5, aproximadamente 2,683. Coincide coa lonxitude da proxección neste caso porque o coeficiente é positivo. Se o sentido fose contrario ao de v, a compoñente escalar sería negativa e a lonxitude seguiría sendo non negativa.

Un erro posible é dividir entre |v| na fórmula vectorial e despois multiplicar por v sen normalizalo. Iso daría un vector demasiado longo. Ou utilizas o denominador v·v con v, ou empregas o vector unitario e a compoñente escalar: as dúas vías deben ser coherentes.

Segundo exercicio: verificar a perpendicularidade

Calculamos r = u − proxección = (4 − 6/5, 1 − 12/5) = (14/5, −7/5).

Agora r·v = (14/5) × 1 + (−7/5) × 2 = 0. O resto é perpendicular á dirección de proxección, como debe ocorrer.

A reconstrución tamén funciona: (6/5, 12/5) + (14/5, −7/5) = (4, 1). Conseguimos unha descomposición de u nunha parte paralela a v e outra perpendicular.

Estas comprobacións detectan erros distintos. A suma verifica que non cambiamos o vector orixinal; o produto escalar cero verifica a ortogonalidade. Unha suma correcta por si soa non demostra que a descomposición sexa unha proxección ortogonal.

Terceiro exercicio: cambiar o vector de dirección

Substitúe v por w = 2v = (2, 4). A recta de dirección non cambia. Debería cambiar a proxección?

Calculamos u·w = 12 e w·w = 20. O coeficiente é 12/20 = 3/5. Multiplicando por w obtemos (6/5, 12/5), exactamente o mesmo vector proxectado.

O coeficiente pasou de 6/5 a 3/5, pero a dirección elixida ten agora o dobre de módulo. Ambos os cambios compénsanse. Isto mostra por que o coeficiente illado non describe por si só o vector final.

Se usamos −v, o coeficiente cambia de signo e o vector de dirección tamén. A proxección sobre a mesma recta mantense, aínda que a compoñente escalar orientada cambia de signo por cambiar a orientación de referencia.

Cuarto exercicio: o punto máis próximo dunha recta

Considera agora o punto P = (4, 1) e a recta que pasa pola orixe con dirección v = (1, 2). Cal é o punto Q da recta máis próximo a P?

O vector de posición de Q é a proxección anterior: Q = (6/5, 12/5). O segmento PQ ten vector r, perpendicular á recta. A distancia é |r| = √[(14/5)² + (−7/5)²] = √245/5 = 7/√5, aproximadamente 3,130.

Podemos comprobar que unha alternativa máis afastada na recta non mellora a distancia. Se engadimos t·v a Q, o novo vector ata P é r − t·v. Como r·v = 0, a súa lonxitude ao cadrado é |r|² + t²|v|², sempre igual ou maior ca |r|².

O mínimo corresponde a t = 0. Esta xustificación conecta o cálculo da proxección coa propiedade xeométrica do pé da perpendicular.

Cando a recta non pasa pola orixe

A fórmula aplicada directamente ao vector de posición de P funciona porque a recta do apartado anterior pasa pola orixe. Se unha recta pasa por outro punto A, primeiro debes formar P − A.

Despois proxectas ese vector sobre a dirección e recuperas o punto da recta sumando A. Esquecer esa translación podería dar un vector paralelo correcto e un punto situado nunha recta diferente.

Non fai falta memorizar dúas operacións sen relación: escolles A como referencia, resolves a descomposición respecto dela e volves ás coordenadas orixinais.

Na libreta de erros anota se confundiches compoñente, coeficiente, vector ou punto. Relaciona a práctica coa preparación de Matemáticas II en Galicia.

Preguntas frecuentes

A proxección vectorial é o mesmo que a compoñente escalar?

Non. A primeira é un vector; a segunda é un número orientado que se obtén respecto dunha dirección unitaria.

Multiplicar o vector de dirección por dous cambia a proxección sobre a recta?

Non. Cambia o coeficiente da fórmula, pero o vector proxectado mantense porque a recta é a mesma.

Podo proxectar directamente P se a recta non pasa pola orixe?

Non sen adaptar a referencia. Debes usar o vector desde un punto A da recta ata P e sumar A ao recuperar o punto proxectado.

Continúa coa xeometría vectorial

Comproba sempre a suma e a perpendicularidade antes de interpretar a distancia. O curso de Matemáticas II para Galicia permite continuar con vectores e rectas; consulta os contidos e as condicións na ficha.