Independencia nunha táboa de dobre entrada: PAU

Unha táboa permite comprobar a independencia, non supoñela

Dous sucesos son independentes cando coñecer que ocorreu un non cambia a probabilidade do outro. Que as etiquetas describan cousas diferentes non garante esa propiedade. Unha táboa de dobre entrada proporciona as cantidades necesarias para comprobala.

Traballaremos con seleccións uniformes dentro de conxuntos hipotéticos. As probabilidades serán exactas para eses conxuntos: non estamos facendo unha inferencia estatística sobre toda unha poboación nin atribuíndo unha relación causal. Os exemplos son orixinais e permiten separar independencia, condición e incompatibilidade.

As tres probabilidades que necesitamos

Para dous sucesos A e B, a independencia pode comprobarse mediante:

P(A ∩ B) = P(A)·P(B).

Se P(A) é positiva, tamén podemos comparar P(B | A) con P(B). A primeira usa como denominador só os casos de A; a segunda usa todo o conxunto.

O capítulo de sucesos independentes e excluíntes de OpenStax presenta estas condicións. Nos exercicios aplicámolas a táboas novas, con recontos e preguntas que non requiren asumir independencia ao comezo.

Se necesitas situar a actividade entre outros bloques, consulta a guía de Matemáticas II para Galicia. Aquí centrámonos na lectura da táboa, non nunha fórmula de Bayes nin nunha árbore de extraccións sucesivas.

Exercicio 1: unha táboa que si cumpre a condición

Nun conxunto de 200 persoas, A significa que utilizan bicicleta e B que pertencen a unha biblioteca. Escollemos unha persoa ao azar, dando a todas a mesma probabilidade.

	B	Non B	Total
A	24	56	80
Non A	36	84	120
Total	60	140	200

As probabilidades marxinais proceden dos totais:

P(A) = 80/200 = 0,40.

P(B) = 60/200 = 0,30.

A intersección é a cela común das dúas condicións:

P(A ∩ B) = 24/200 = 0,12.

Como 0,40·0,30 = 0,12, os dous sucesos son independentes na selección uniforme definida polo exercicio.

Comprobemos o mesmo resultado cunha probabilidade condicionada:

P(B | A) = 24/80 = 0,30.

Coincide coa probabilidade de B no conxunto completo. Tamén entre quen non pertence a A temos P(B | non A) = 36/120 = 0,30. As tres proporcións son coherentes.

O erro máis frecuente consiste en dividir 24 entre 200 cando a pregunta di “entre as persoas que utilizan bicicleta”. Ese denominador calcularía a intersección, non a condición. Antes de dividir, escribe con palabras cal é o grupo no que estás escollendo.

Exercicio 2: os mesmos totais non garanten independencia

Mantemos os totais de 200 persoas, 80 en A e 60 en B, pero modificamos as celas:

	B	Non B	Total
A	36	44	80
Non A	24	96	120
Total	60	140	200

P(A) e P(B) seguen sendo 0,40 e 0,30. O seu produto segue sendo 0,12. Porén:

P(A ∩ B) = 36/200 = 0,18.

Como 0,18 non é 0,12, os sucesos non son independentes neste conxunto. Os totais marxinais, por si sós, non determinan o contido da intersección.

Agora:

P(B | A) = 36/80 = 0,45.

P(B | non A) = 24/120 = 0,20.

Coñecer se a persoa está en A cambia a probabilidade de B. Esta comparación confirma a dependencia e mostra a súa dirección na táboa: B é máis frecuente dentro de A.

Non concluímos que utilizar bicicleta cause a pertenza á biblioteca. A táboa describe unha asociación entre etiquetas no conxunto indicado. Explicar causas requiriría outra información e outro deseño de estudo.

Tampouco debemos tratar a diferenza entre 0,18 e 0,12 como unha proba estatística completa para unha poboación externa. O exercicio define un conxunto finito e unha selección uniforme; a conclusión é exacta para ese modelo.

Exercicio 3: completar unha cela para obter independencia

Consideramos esta nova táboa, na que x representa un reconto descoñecido non negativo:

	B	Non B
A	18	x
Non A	12	20

Queremos determinar x para que os sucesos sexan independentes. O total é N = 50 + x. Os totais de A e B son 18 + x e 30.

Aplicamos a condición sen supoñer o valor de x:

18/(50+x) = [(18+x)/(50+x)]·[30/(50+x)].

Multiplicando polos denominadores positivos:

18(50+x) = 30(18+x).

900 + 18x = 540 + 30x.

360 = 12x; x = 30.

O total final é 80. Comprobamos:

P(A) = 48/80 = 0,60.

P(B) = 30/80 = 0,375.

P(A ∩ B) = 18/80 = 0,225.

0,60·0,375 = 0,225, como requiría o problema. A comprobación final é importante porque x era un reconto e debía ser compatible coa táboa.

Neste caso tamén se observa a igualdade dos produtos cruzados: 18·20 = 30·12. É unha comprobación abreviada para esta táboa 2×2, pero entender as probabilidades permite reconstruíla sen memorizar unha regra illada.

Incompatibles non significa independentes

Se dous sucesos non poden ocorrer á vez, a súa intersección ten probabilidade cero. Se ambos teñen probabilidade positiva, o produto P(A)P(B) será positivo e, polo tanto, non pode coincidir con cero.

Así, dous sucesos incompatibles con probabilidades positivas son dependentes. Coñecer que ocorreu un elimina a posibilidade do outro. A excepción formal aparece se algún ten probabilidade cero; por iso a condición de positividade non é un detalle prescindible.

Na libreta de erros, separa as palabras “independente” e “incompatible” e escribe unha condición matemática para cada unha. A diferenza entre produto e intersección explica por que non son sinónimos.

Preguntas frecuentes

Dous sucesos con etiquetas distintas son independentes?

Non necesariamente. Hai que comprobar a condición de independencia coas probabilidades do modelo ou cos datos proporcionados.

Os mesmos totais marxinais dan sempre a mesma intersección?

Non. Os dous primeiros exercicios manteñen os totais e cambian a intersección, polo que só unha das táboas cumpre a independencia.

Dous sucesos incompatibles de probabilidade positiva son independentes?

Non. A intersección vale cero e o produto das súas probabilidades é positivo, así que a igualdade de independencia non se cumpre.

Xustifica o denominador antes de comparar

Refai as tres táboas sen consultar as respostas e explica en cada cálculo se escolles dentro de A, dentro de B ou no conxunto completo. Para continuar con probabilidade condicionada e problemas resoltos, consulta o curso de Matemáticas II para Galicia e revisa os contidos e as opcións de compra.