Probabilidade sen reposición: rutas e condicións PAU

Sen reposición, a segunda extracción lembra a primeira

Cando escollemos dous obxectos dunha bolsa e non devolvemos o primeiro, cambia a composición dispoñible para a segunda elección. A probabilidade do segundo resultado pode depender do primeiro. Non debemos aplicar unha multiplicación de probabilidades independentes só porque as extraccións sexan aleatorias.

O exercicio seguinte emprega unha bolsa hipotética con cinco fichas azuis e tres verdes, todas igualmente probables ao extraer. Os datos e as preguntas son orixinais. O capítulo de OpenStax sobre terminoloxía de probabilidade proporciona a referencia académica para interpretar os sucesos.

En cada apartado aclararemos se hai reposición. Non se trata dunha pregunta oficial nin dunha predición sobre unha convocatoria autonómica.

Espazo mostral e sucesos

Hai oito fichas. Extraemos dúas sucesivamente e sen reposición. A e V indicarán a cor azul e verde, respectivamente; a orde representa primeira e segunda extracción.

As rutas de cores posibles son AA, AV, VA e VV. Non teñen necesariamente a mesma probabilidade. Enumerar catro rutas non autoriza a asignarlles un cuarto a cada unha.

A primeira extracción ten P(A) = 5/8 e P(V) = 3/8. Tras unha azul quedan catro azuis e tres verdes; tras unha verde quedan cinco azuis e dúas verdes. O total dispoñible para o segundo paso é sete en ambos os casos.

Podes representar a situación cunha árbore. A probabilidade dunha ruta calcúlase multiplicando a do primeiro paso pola probabilidade condicionada do segundo. As probabilidades das rutas alternativas que forman un suceso súmanse.

Primeiro exercicio: dúas fichas azuis

Calcula a probabilidade de extraer dúas azuis. A ruta é AA: primeiro unha azul e despois outra azul entre as sete restantes.

P(AA) = (5/8) × (4/7) = 20/56 = 5/14, aproximadamente 0,3571. O segundo factor non é 5/8 porque xa se retirou unha ficha azul.

Un alumno calcula (5/8)². Esa conta correspondería a dúas extraccións con reposición, sempre que a ficha se devolvese e a selección volvese ser uniforme. Non describe o experimento actual.

Outro alumno suma 5/8 + 4/7. A suma non representa a cadea de dúas condicións que deben ocorrer na mesma ruta. Ademais, daría un valor superior a un, unha advertencia inmediata de que a operación non pode ser unha probabilidade.

Segundo exercicio: exactamente unha azul

Agora queremos unha azul e unha verde, sen importar a orde. Hai dúas rutas disxuntas: AV e VA.

P(AV) = (5/8) × (3/7) = 15/56. P(VA) = (3/8) × (5/7) = 15/56. Sumando, a probabilidade é 30/56 = 15/28, aproximadamente 0,5357.

Contar só AV deixaría fóra a metade das situacións favorables. Multiplicar automaticamente por dous tampouco é un método universal: aquí funciona porque calculamos e comprobamos que ambas as rutas teñen a mesma probabilidade.

Podes verificar o resultado mediante combinacións. Hai 5 × 3 = 15 pares formados por unha ficha de cada cor, entre un total de 8 × 7/2 = 28 pares non ordenados. Obtemos de novo 15/28.

Non mestures o reconto ordenado dun numerador co reconto non ordenado dun denominador. Se distingues AV e VA no numerador, tamén debes contar pares ordenados no espazo mostral.

Terceiro exercicio: polo menos unha azul

O contrario de obter polo menos unha azul é obter dúas verdes. Esta é unha ocasión útil para empregar o complemento.

P(VV) = (3/8) × (2/7) = 6/56 = 3/28. Polo tanto, P(polo menos unha azul) = 1 − 3/28 = 25/28, aproximadamente 0,8929.

A resposta non é 15/28: esa era a probabilidade de exactamente unha azul. «Polo menos unha» inclúe tamén a ruta AA.

Comproba coa suma de rutas: 20/56 + 15/56 + 15/56 = 50/56 = 25/28. Os dous métodos coinciden. O complemento é máis curto porque só necesita calcular unha ruta desfavorable.

Cuarto exercicio: unha condición sobre as dúas fichas

Sabemos agora que saíu polo menos unha azul. Cal é a probabilidade de que as dúas sexan azuis?

O novo espazo de referencia exclúe VV. O suceso AA está incluído no suceso polo menos unha azul. Aplicamos a probabilidade condicionada:

P(AA | polo menos unha azul) = (20/56)/(50/56) = 2/5 = 0,40.

Non debemos responder 5/14, que era a probabilidade sen esa información adicional. A condición modifica o denominador, non a composición física da bolsa durante un novo experimento.

Tampouco é equivalente saber que a primeira ficha é azul. Nese caso a probabilidade de que tamén sexa azul a segunda sería 4/7. A frase «polo menos unha» non identifica a orde en que apareceu.

Dependencia non significa falta de azar

As extraccións seguen sendo aleatorias. O que falla é a independencia entre as cores sucesivas: retirar unha ficha modifica as probabilidades do segundo paso.

Se devolvemos a primeira ficha e mesturamos antes da segunda selección uniforme, o modelo cambia. Entón a probabilidade de dúas azuis sería 25/64, aproximadamente 0,3906, e non 5/14.

A diferenza non é un erro de redondeo. Corresponde a dous experimentos distintos. Antes de calcular, subliña no enunciado «con reposición» ou «sen reposición».

Relaciona esta práctica coa preparación de Matemáticas II en Galicia. Na libreta de erros garda unha árbore cos denominadores e a interpretación de cada ruta.

Preguntas frecuentes

Dúas extraccións aleatorias son sempre independentes?

Non. Sen reposición, a composición dispoñible cambia e as probabilidades do segundo paso dependen do resultado do primeiro.

Exactamente unha azul significa polo menos unha azul?

Non. Polo menos unha inclúe unha ou dúas azuis; exactamente unha exclúe a ruta de dúas azuis.

Saber que saíu algunha azul equivale a saber que a primeira foi azul?

Non. A primeira información non identifica a posición. As probabilidades condicionadas resultantes teñen denominadores diferentes.

Continúa coas árbores de probabilidade

Reconstrúe as catro rutas e comproba que suman un antes de resolver a condición final. O curso de Matemáticas II para Galicia permite continuar coa probabilidade; consulta os contidos e as condicións na ficha.