Distancia entre planos paralelos: normal e exercicios

A diferenza entre constantes só serve con normais comparables

Para calcular a distancia entre dous planos paralelos, primeiro hai que escribir as súas ecuacións cun mesmo vector normal. Restar termos independentes de ecuacións que están escaladas de maneira distinta pode dar un número sen significado xeométrico.

Nesta práctica resolveremos tres situacións orixinais: dous planos escritos con factores diferentes, a proxección perpendicular dun punto e unha familia de planos cunha distancia prescrita. Os exemplos permiten comprobar o resultado mediante puntos concretos, non só cunha fórmula final.

A normal non ten que ser unitaria

Un plano de ecuación ax+by+cz+d=0 ten vector normal n=(a,b,c), sempre que ese vector non sexa nulo. O seu módulo é |n|=√(a²+b²+c²).

A distancia dun punto P=(x₀,y₀,z₀) ao plano é:

D = |ax₀+by₀+cz₀+d|/√(a²+b²+c²).

O denominador converte a expresión orientada do numerador nunha lonxitude. Se multiplicamos toda a ecuación por un número non nulo, numerador e denominador cambian polo mesmo factor absoluto, polo que a distancia se conserva.

O capítulo de rectas e planos no espazo de OpenStax desenvolve esta relación coa perpendicularidade. Aquí aplicámola a datos propios e comprobamos cada interpretación. Para situar a práctica no bloque, consulta a guía de Matemáticas II para Galicia.

Dous planos teñen normais proporcionais se son paralelos ou coincidentes. Cómpre revisar tamén os termos independentes para distinguir ambos os casos.

Exercicio 1: dous planos con ecuacións escaladas

Considera os planos:

π: 2x − y + 2z − 6 = 0.

σ: 4x − 2y + 4z + 6 = 0.

As normais son (2,−1,2) e (4,−2,4), claramente proporcionais. Dividimos toda a segunda ecuación entre dous:

σ: 2x − y + 2z + 3 = 0.

Agora ambos os planos usan n=(2,−1,2), cuxo módulo é 3. Os termos independentes son −6 e +3. Polo tanto:

D(π,σ) = |3−(−6)|/3 = 3 unidades.

A resta directa dos termos das ecuacións iniciais, sen igualar normais, sería incorrecta. A ecuación dun mesmo plano admite moitos factores e a distancia non pode depender da escritura escollida.

Comprobemos cun punto. P=(3,0,0) pertence a π porque 6−6=0. A súa distancia a σ é |6+3|/3=3. Como os planos son paralelos, a distancia perpendicular desde calquera punto de π ata σ é a mesma.

Podemos obter un punto Q de σ desprazándonos desde P na dirección normal: Q=P−n=(1,1,−2). Na ecuación de σ, 2−1−4+3=0. O vector PQ=(−2,1,−2) é perpendicular aos planos e mide 3. A conta coincide coa distancia calculada.

Exercicio 2: achar o pé da perpendicular desde un punto

Sexa R=(2,1,4). Queremos calcular a súa distancia a π e o punto H de π máis próximo a R.

A expresión do plano no punto é:

2·2 − 1 + 2·4 − 6 = 5.

Así, D(R,π)=5/3. Para obter H, desprazamos R un múltiplo da normal:

H = R − [(n·R−6)/|n|²]n.

Neste caso, |n|²=9 e o coeficiente é 5/9. Polo tanto:

H=(2,1,4)−(5/9)(2,−1,2).

H=(8/9,14/9,26/9).

Non confundas o coeficiente 5/9 coa distancia 5/3. O coeficiente multiplica unha normal que mide 3; a lonxitude do desprazamento é (5/9)·3=5/3.

Comprobamos que H pertence ao plano:

2·(8/9) − 14/9 + 2·(26/9) − 6 = 54/9−6 = 0.

Ademais, R−H=(5/9)n, polo que o segmento RH é perpendicular ao plano. As dúas comprobacións son necesarias: estar no plano non garante ser o punto máis próximo se o desprazamento non é normal.

Por que é o máis próximo? Calquera outro punto X do plano permite escribir RX=RH+HX, onde RH é perpendicular a HX. Polo teorema de Pitágoras, |RX|²=|RH|²+|HX|²≥|RH|². A igualdade só ocorre cando X=H.

Exercicio 3: dous planos a unha distancia dada

Considera agora a familia:

τₜ: 2x − y + 2z + t = 0.

Busca os valores de t para que a distancia entre τₜ e π sexa 4. Os vectores normais xa coinciden, de modo que:

|t−(−6)|/3 = 4.

|t+6| = 12.

Un valor absoluto produce dúas posibilidades:

t+6=12 → t=6.

t+6=−12 → t=−18.

Ambos os planos están a 4 unidades de π, en lados opostos respecto da orientación da normal. Non debemos eliminar unha solución por ser negativa: t é un coeficiente da ecuación, non unha distancia.

Para comprobar, toma de novo P=(3,0,0), que está en π. Na familia, o numerador da distancia vale |6+t|. Con t=6 é 12; con t=−18 tamén é 12. Ao dividir entre 3 recuperamos 4 en ambos os casos.

Se t=−6, a familia coincide con π e a distancia é cero. Este caso axuda a revisar o signo da fórmula: o parámetro que reproduce o termo independente orixinal debe anular a separación.

Que facer se os planos non son paralelos

En tres dimensións, dous planos non paralelos córtanse nunha recta. A distancia mínima entre os seus conxuntos de puntos é cero porque comparten puntos. Non corresponde aplicar a fórmula de diferenza de constantes como se fosen paralelos.

O primeiro control, polo tanto, é comparar normais. O segundo é normalizar as ecuacións cando sexan proporcionais. Só despois calculamos a separación ou detectamos coincidencia.

Na libreta de erros, conserva unha liña para cada control: paralelismo, ecuacións coa mesma normal, distancia e comprobación cun punto. Así poderás distinguir un erro de escala dun erro de signo.

Preguntas frecuentes

Podo restar directamente os termos independentes?

Só despois de escribir os planos cun mesmo vector normal. Se as ecuacións usan factores distintos, primeiro debes normalizalas de maneira coherente.

O vector normal debe medir unha unidade?

Non. A fórmula divide polo seu módulo. Para calcular o pé perpendicular, o coeficiente do desprazamento utiliza o módulo ao cadrado.

Unha distancia dada pode producir dous planos paralelos?

Si. No exemplo, os dous valores do parámetro sitúan planos en lados opostos do plano de referencia coa mesma separación.

Comproba a escala antes de medir

Multiplica a ecuación de σ por tres e repite o primeiro cálculo: a distancia debe continuar sendo 3. Despois verifica o pé H mediante pertenza e perpendicularidade. Para seguir practicando xeometría do espazo, consulta o curso de Matemáticas II para Galicia e revisa os contidos e as opcións de compra.